【正文】 ,且 BC =CE,求證 :△ ABC≌ △ DEC. ? 證明 ∵∠ BCE=∠ ACD, ∴∠ ACB+∠ ACE=∠ DCE+∠ ACE, ∴∠ ACB=∠ DCE, ∵∠ BAE=∠ BCE=90176。若不是 ,請(qǐng)說明理由 . ? 圖 1 圖 2 解析 (1)△ CDF是等腰直角三角形 . ∵∠ ABC=90176。 (2)在 (1)的條件下 ,過 F畫 BC的平行線交 AC于點(diǎn) H,線段 FH與線段 CH的數(shù)量關(guān)系如何 ?請(qǐng)予以 證明 。,∠ C= 20176。與 H重合時(shí) , EC+FE的值最小 ,最小值為 ? . AC BC?24555.(2022江門二模 ,14)如圖 ,△ ABC的外角 ∠ ACD的平分線 CP與內(nèi)角 ∠ ABC的平分線 BP交于點(diǎn) P,若 ∠ P=40176。,故選 C. 思路分析 先求 ∠ FBC+∠ FCB,再求 ∠ ABC+∠ ACB,最后求 ∠ A. 3.(2022從化二模 ,5)如圖 ,已知在△ ABC中 ,CD是 AB邊上的高線 ,BE平分 ∠ ABC,交 CD于點(diǎn) E,BC =5,DE=2,則△ BCE的面積等于 ? ( ) ? 答案 C 如圖 ,作 EF⊥ BC于 F,由角平分線的性質(zhì) ,得 EF=DE=2, ? ∴ S△ BCE=? BC 176。,∴∠ CAD=180176。,∵ AB=AC,∠ BAC=44176。 (2)添加了條件后 ,證明△ ABC≌ △ EFD. ? 解析 (1)答案不唯一 ,∠ B=∠ F或 AB∥ EF或 AC=DE. (2)添加條件 ∠ B=∠ F. 證明 :在△ ABC和△ EFD中 ,? ∴ △ ABC≌ △ EFD(SAS). ,A B E FBFB C F D???? ? ??? ??7.(2022樂昌二模 ,20)如圖 ,在△ ABC中 ,已知 AB=AC,AD平分 ∠ BAC,點(diǎn) M,N分別在 AB,AC邊上 , AM=2MB,AN=2NC. 求證 :DM=DN. ? 證明 ∵ AD平分 ∠ BAC,∴∠ MAD=∠ NAD, ∵ AM=2MB,∴ ? =? ,∵ AN=2NC,∴ ? =? , ∴ ? =? ,又 ∵ AB=AC,∴ AM=AN. 又 AD=AD,∴ △ AMD≌ △ AND,∴ DM=DN. AM23ANAC23一、選擇題 (每小題 3分 ,共 9分 ) B組 2022— 2022年模擬 解析 ∵ △ ABC≌ △ FDE,∴∠ BAC=∠ F=110176。,∴ 2x+y=180,x+y+45+25=180, ∴ x=70,∴∠ ABB39。=CB,∵ B在 A39。 176。C是對(duì)應(yīng)邊 ,點(diǎn) B在 A39。,∴∠ BPD+∠ PBD=90176。,∵ CD平分 ∠ ACB,∴∠ BCD=39176。,則 ∠ BFC等于 ? ( ) ? 176。 176。,CD平分 ∠ ACB,∴∠ ACD=30176。 C.∵ 4+38,∴ 3,4,8不能組成三角形 ,故 C錯(cuò)誤 。 (2)若 BC=6,∠ BAC=50176。 (2)若 EF∥ CD,求 ∠ BDC的度數(shù) . ? 解析 (1)證明 :∵ CD繞點(diǎn) C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90176。60176。. 1212∵ AM=BM,DF=BF,∴ MF是△ ABD的中位線 .∴ MF=? AD=AE且 MF∥ AD. ∴∠ DAB+∠ AMF=180176。 ②在證明的括號(hào)中填寫理由 (請(qǐng)?jiān)?SAS,ASA,AAS,SSS中選擇 ). (2)在 (1)的探究結(jié)論的基礎(chǔ)上 ,請(qǐng)你幫助小婷求出 ∠ CEF的度數(shù) ,并判斷△ CEF的形狀 . 問題拓展 : (3)如圖 2,當(dāng)△ ADE繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度時(shí) ,連接 CE,延長(zhǎng) DE交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P,其他條 件不變 ,判斷△ CEF的形狀并給出證明 . ? 解析 (1)①證明中所敘述的輔助線如圖所示 : ②證明的括號(hào)中的理由是 :AAS. (2)△ CEF是等邊三角形 .證明如下 : 設(shè) AE=a,AC=b,則 AD=2a,AB=2b,DE=? a,BC=? b,CE=a+b. ∵ △ BGF≌ △ DEF,∴ BG=DE=? a.∴ CG=BC+BG=? (a+b). 333 3∵ ? =? =? ,? =? ,∴ ? =? . 又 ∵∠ ACB=∠ ECG,∴ △ ACE∽ △ ECG. ∴∠ CEF=∠ CAB=60176。, ∴∠ F=∠ A.? (3分 ) 又 ∵∠ FBD=∠ ABC,DB=BC,∴ △ FBD≌ △ ABC. ∴ AB=BF.? (6分 ) 8.(2022江蘇南京 ,27,11分 ) 【問題提出】 學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法 (即“ SAS”“ ASA”“ AAS”“ SSS” )和直角三角形全等的 判定方法 (即“ HL” )后 ,我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的 情形進(jìn)行研究 . 【初步思考】 我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為 :在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ ,對(duì) ∠ B進(jìn)行分類 ,可分為“ ∠ B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究 . 【深入探究】 第一種情況 :當(dāng) ∠ B是直角時(shí) ,△ ABC≌ △ DEF. (1)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E=90176。,∴∠ MON=135176。.∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE= ∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)①證明 :如圖 ,連接 OR. 12 12∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , ∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。可得 α的 取值范圍 . 方法歸納 證明三角形全等的一般思路 : :(1)找夾角 ,利用 SAS求解 。. 詳解 :∵ △ BPN的外心在該三角形的內(nèi)部 ,∴ △ BPN是銳角三角形 ,∴∠ BPN和 ∠ BNP都為銳角 , 又 ∵∠ B=50176。. ∵∠ BAC=90176。, ∴ AC=? =10, ∵ E是 AC的中點(diǎn) , ∴ EC=? AC=5. ∵ CF平分 ∠ ACM,∴∠ ACF=∠ FCM, ∴∠ ACF=∠ EFC, ∴ EF=EC=5, ∴ DF=DE+EF=8. 故選 B. 12 22AB BC?28.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,5,2分 )如圖 ,CD是△ ABC的中線 ,點(diǎn) E、 F分別是 AC、 DC的中點(diǎn) ,EF=1,則 BD= . ? 答案 2 解析 ∵ 點(diǎn) E、 F分別是 AC、 DC的中點(diǎn) , ∴ EF是△ ACD的中位線 , ∴ AD=2EF=2, 又 ∵ CD是△ ABC的中線 , ∴ BD=AD=2. 9.(2022江蘇揚(yáng)州 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC的中位線 DE=5 cm,把△ ABC沿 DE折疊 ,使點(diǎn) A落在邊 BC 上的點(diǎn) F處 ,若 A、 F兩點(diǎn)間的距離是 8 cm,則△ ABC的面積為 cm2. ? 答案 40 解析 連接 AF,因?yàn)?DE是中位線 ,且 DE=5 cm,所以 DE∥ BC,且 BC=2DE=10 cm,因?yàn)?A、 F關(guān)于 DE對(duì)稱 ,所以 AF⊥ DE,所以 AF⊥ BC,所以△ ABC的面積為 ? 108=40 cm2. ? 1210.(2022湖南郴州 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,若 E是 AB的中點(diǎn) ,F是 AC的中點(diǎn) ,∠ B=50176。 176。.故選 D. 5.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,點(diǎn) A,B為定點(diǎn) ,定直線 l∥ AB,P是 l上一動(dòng)點(diǎn) ,點(diǎn) M,N分別為 PA ,PB的中 點(diǎn) ,對(duì)于下列各值 : ? ①線段 MN的長(zhǎng) 。,在△ AMN中 ,∠ M+∠ N=180176。 176。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE, 又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 21222383 2思路分析 首先利用 AC的長(zhǎng)及 ∠ C的正弦求出 AD的長(zhǎng) ,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角 形中 30度角的性質(zhì)確定 DE和 AE的數(shù)量關(guān)系 ,最后求出 AE的長(zhǎng) . 2.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。,AD∥ BC. ∴∠ DAF=∠ BEA. ∵ DF⊥ AE, ∴∠ AFD=90176。 (3)作直線 PQ. 所以直線 PQ就是所求作的垂線 . ? 請(qǐng)回答 :該作圖的依據(jù)是 . 答案 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 。,則 ∠ 1+ ∠ 2的度數(shù)為 . ? 答案 64176。, ∵∠ B=40176。,∠ AED=60176。+25176。,∠ C=25176。 (2)求證 :△ DEF是等腰三角形 . ? 證明 (1)∵ △ ACE是由△ ACB折疊得到的 , ∴ AD=BC=EC,AE=AB=DC, ∵ DE=ED, ∴ △ ADE≌ △ CED. (2)由△ ADE≌ △ CED得 ∠ AED=∠ CDE, 即 ∠ FED=∠ FDE,∴ FE=FD, ∴ △ DEF是等腰三角形 . 思路分析 (1)由矩形的對(duì)邊相等知 AD=BC, AB=DC,由折疊可得 BC=EC,AB=AE,等量代換可 得 AD=CE,AE=CD,還有 DE=ED,由“ SSS”可證△ ADE≌ △ CED. (2)由△ ADE≌ △ CED可得 ∠ AED=∠ CDE,故由等角對(duì)等邊 ,可證 FE=FD,即得△ DEF是等腰三 角形 . 4.(2022廣州 ,18,9分 )如圖 ,AB與 CD相交于點(diǎn) E,AE=CE,DE=BE. 求證 :∠ A=∠ C. ? 證明 在△ AED和△ CEB中 , ? ∴ △ AED≌ △ CEB(SAS), ∴∠ A=∠ C. ,A E C EA E D C E BD E B E???? ? ?????方法總結(jié) 要證角相等 ,可先證兩三角形全等 ,由全等三角形的性質(zhì)可得兩對(duì)應(yīng)角相等 ,而證明 三角形全等應(yīng)根據(jù)邊邊邊 ,邊角邊 ,角邊角 ,角角邊 ,斜邊直角邊 (僅適用于直角三角形 ),找全條 件進(jìn)行證明 . 5.(2022廣州 ,18,9分 )如圖 ,點(diǎn) E,F在 AB上 ,AD=BC,∠ A=∠ B,AE=BF. 求證 :△ ADF≌ △ BCE . ? 證明 ∵ AE=BF,∴ AE+EF=BF+EF,∴ AF=BE. 在△ ADF和△ BCE中 , ? ∴ △ ADF≌ △ BCE(SAS). ,A D B CA F B E???? ? ?????6.(2022廣州 ,21,12分 )如圖 ,利用尺規(guī) ,在△ ABC的邊 AC上方作 ∠ CAE=∠ ACB,在射線 AE上截取 AD=BC,連接 CD,并證明 :CD∥ AB.(尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) ? 解析 如圖為所求作的圖形 . ? 證法一 :∵∠ CAE=∠ ACB,∴ AD∥ BC, 又 ∵ AD=BC,∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ CD∥ AB. 證法二 :∵∠ ACB=∠ CAE,CB=AD,AC=CA, ∴ △ ABC≌ △ CDA, ∴∠ BAC=∠ DCA,∴ CD∥ AB. 7.(2022梅州 ,20,9分 )如圖 ,已知△ : ①以 A為圓心 ,AB長(zhǎng)為半徑畫弧 。, ∴∠ C的外角的度數(shù)是 180176。,AB=3? ,AD=3,點(diǎn) M,N分別為線段 BC,AB上 的動(dòng)點(diǎn) (含端點(diǎn) ,但點(diǎn) M不與點(diǎn) B重合 ),點(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,則 EF長(zhǎng)度的最大值為 . ? 3答案 3 解析 連接 DN,因?yàn)辄c(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,所以 EF是△ DMN的中位線 ,所以 EF=? 點(diǎn) B、 N重合時(shí) ,DN有最大值 ? =6,所以 EF長(zhǎng)度的最大值為 3.