【正文】 ? 12 22(3 3) 3?4.(2022廣東 ,13,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別是 AB,AC的中點(diǎn) ,若 BC=6,則 DE= . ? 答案 3 解析 ∵ D、 E分別是 AB、 AC的中點(diǎn) ,∴ DE是△ ABC的中位線 ,∴ DE=? BC=3. 125.(2022廣州 ,11,3分 )△ ABC中 ,已知 ∠ A=60176。,∠ B=80176。40176。 ②以 C為圓心 ,CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 ,兩弧相交于點(diǎn) D。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。)=130176。,則 ∠ A的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。,∠ C=60176。 解析 ∵ BD平分 ∠ ABC,CE平分 ∠ ACB,∴∠ 1=? ∠ ABC,∠ 2=? ∠ ACB,又 ∠ ABC+∠ ACB=180176。全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 。. ∴∠ B=∠ AFD=90176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且 △ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過(guò)點(diǎn) P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN, ∠ MPN=60176。 176?！?MAN=180176。 ②△ PAB的周長(zhǎng) 。 176。,則 ∠ AEF = . ? 答案 50176。,∴∠ AQP+∠ ABQ=90176。, ∴ 40176。(2)找直角 ,利用 HL或 SAS求解 。,∠ MON=150176。. 此時(shí) P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 , 所以 AB=2PE=2? PQ=? PQ,則 ? =? .? (14分 ) 12222AB24.(2022河南 ,22,10分 ) (1)發(fā)現(xiàn) 如圖 1,點(diǎn) A為線段 BC外一動(dòng)點(diǎn) ,且 BC=a,AB=b. 填空 :當(dāng)點(diǎn) A位于 時(shí) ,線段 AC的長(zhǎng)取得最大值 ,且最大值為 (用含 a,b的式子 表示 ). ? 圖 1 (2)應(yīng)用 點(diǎn) A為線段 BC外一動(dòng)點(diǎn) ,且 BC=3,AB= 2所示 ,分別以 AB,AC為邊 ,作等邊三角形 ABD和等 邊三角形 ACE,連接 CD,BE. ①請(qǐng)找出圖中與 BE相等的線段 ,并說(shuō)明理由 。,根據(jù) ,可以知道 Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF. ? 第二種情況 :當(dāng) ∠ B是鈍角時(shí) ,△ ABC≌ △ DEF. (2)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是鈍角 .求證 :△ ABC≌ △ DEF. ? 第三種情況 :當(dāng) ∠ B是銳角時(shí) ,△ ABC和△ DEF不一定全等 . (3)在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作 出△ DEF,使△ DEF和△ ABC不全等 .(不寫作法 ,保留作圖痕跡 ) ? (4)∠ B還要滿足什么條件 ,就可以使△ ABC≌ △ DEF?請(qǐng)直接填寫結(jié)論 : 在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,若 ,則△ ABC≌ △ DEF. 解析 (1)HL.? (2分 ) (2)證明 :如圖① ,分別過(guò)點(diǎn) C、 F作對(duì)邊 AB、 DE上的高 CG、 FH,其中 G、 H為垂足 . ∵∠ ABC、 ∠ DEF都是鈍角 , ∴ G、 H分別在 AB、 DE的延長(zhǎng)線上 . ∵ CG⊥ AG,FH⊥ DH,∴∠ CGA=∠ FHD=90176。. 又 ∵ CF=EF,∴ △ CEF是等邊三角形 . (3)△ CEF是等邊三角形 . 證法一 :如圖 2,過(guò)點(diǎn) B作 BN∥ DE,交 EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,連接 CN,則 ∠ DEF=∠ FNB. 又 ∵ DF=BF,∠ DFE=∠ BFN,∴ △ DEF≌ △ BNF.∴ BN=DE,EF=FN. 設(shè) AC=a,AE=b,則 BC=? a,DE=? b. ∵∠ AEP=∠ ACP=90176。. ∴∠ DAB+∠ AMF+∠ AMC=180176。=240176。后得 CE, ∴ CD=CE,∠ DCE=90176。,求 ? 、 ? 的長(zhǎng)度之和 (結(jié)果保留 π). ? DE︵DF︵解析 (1)證明 :由題意可知 BD=CD, 在△ ABD和△ ACD中 , ? ∴ △ ABD≌ △ ACD(SSS). ∴∠ BAD=∠ CAD,即 AD平分 ∠ BAC. (2)∵ AB=AC,∠ BAC=50176。 D.∵ 3+34,∴ 3,3,4能組成三角形 ,故 D正確 . 故選 D. 2.(2022茂名模擬 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,CD是 ∠ ACB的平分線 ,∠ A=80176。. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ACD,∠ A=80176。 答案 B ∵ AB∥ CD,∴∠ C=∠ A=40176。 176。,∴∠ BFC=180176。. ∵∠ BAC=90176。B39。 176。B39。=2x176。,∵∠ C=40176。提升題組 (時(shí)間 :45分鐘 分值 :60分 ) 1.(2022湛江模擬 ,9)如圖 ,已知 AB=AC=AD,∠ CBD=2∠ BDC,∠ BAC=44176。,∴∠ ACB=∠ ABC=68176。46176。 176。EF=? 52=5,故選 C. 12 1解題關(guān)鍵 求出△ BCE底邊 BC上的高 . 二、填空題 (每小題 4分 ,共 12分 ) 4.(2022深圳福田八校聯(lián)考 ,15)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,則 ∠ A= . ? 答案 80176。,則 ∠ FBC的度數(shù)為 . ? 答案 110176。 (3)在 (2)的條件下 ,連接 DE、 :ED⊥ HD. ? 解析 (1)如圖所示 . ? (2)結(jié)論 :FH=HC. 證明 :∵ FH∥ BC, ∴∠ HFC=∠ FCB, ∵∠ FCB=∠ FCH, ∴∠ FCH=∠ HFC, ∴ FH=HC. (3)證明 :∵ AD是 Rt△ ABC斜邊 BC上的高 , ∴∠ ADC=∠ BAC=90176。,AF⊥ AB, ∴∠ FAD=∠ DBC, ∵ AD=BC,AF=BD,∴ △ FAD≌ △ DBC. ∴ FD=DC,∠ ADF=∠ BCD. ∵∠ BCD+∠ BDC=90176。,∴∠ B+∠ AEC=180176。. ? 9.(2022佛山二模 ,23)如圖 ,四邊形 ABCD中 ,E點(diǎn)在 AD上 ,其中 ∠ BAE=∠ BCE=∠ ACD=90176。 (2)如圖 2,E是直線 BC上一點(diǎn) ,且 CE=BD,直線 AE、 CD相交于點(diǎn) P,∠ APD的度數(shù)是一個(gè)固定的 值嗎 ?若是 ,請(qǐng)求出它的度數(shù) 。. 三、解答題 (共 39分 ) 7.(2022廣州白云一模 ,19)如圖 ,AD是 Rt△ ABC斜邊 BC上的高 . (1)尺規(guī)作圖 :作 ∠ C的平分線 ,交 AB于點(diǎn) E,交 AD于點(diǎn) F(不寫作法 ,必須保留作圖痕跡 ,標(biāo)上應(yīng)有 的字母 )。. 40,2 2 ,yxy A x???? ?? ??① ②解題關(guān)鍵 活用“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 .” 6.(2022梅州二模 ,14)如圖 ,點(diǎn) C在 AB的延長(zhǎng)線上 ,CE⊥ AF于點(diǎn) E,交 BF于點(diǎn) ∠ F=40176。共線 ,且點(diǎn) F39。,∴∠ A=60176。,則 ∠ A等于 ? ( ) ? 176。=46176。,∠ BDC=y176。. 4.(2022開(kāi)平二模 ,13)如圖 ,△ ABC≌ △ DEF,則 EF= . ? 答案 5 解析 ∵ △ ABC≌ △ DEF,∴ EF=BC=5. 5.(2022廣州黃埔一模 ,19)如圖 ,點(diǎn) E,F在 AC上 ,且 AE=CF,AD∥ BC,AD=CB. 求證 :DF=BE. ? 證明 ∵ AD∥ BC,∴∠ A=∠ C, ∵ AE=CF,∴ AE+EF=CF+EF, 即 AF=CE,在△ ADF和△ CBE中 , ? ∴ △ ADF≌ △ CBE(SAS), ∴ DF=BE. ,A D C BACA F C E???? ? ?????6.(2022佛山模擬 ,17)如圖 ,點(diǎn) B、 D、 C、 F在一條直線上 ,且 BC=FD,AB=EF. (1)請(qǐng)你只添加一個(gè)條件 (不再添加輔助線 ),使△ ABC≌ △ EFD,你添加的條件是 。,則 ∠ B等于 . ? 答案 30176。CB=y176。, CB39。BD等于 ? ( ) ? 176。是對(duì)應(yīng)邊 ,AC和 A39。 (2)若 ∠ ABC的平分線分別交 AD,AC于 P,Q兩點(diǎn) ,證明 :AP=AQ. ? 解析 (1)如圖 ,BQ就是所求作的 ∠ ABC的平分線 . (2)證明 :∵ AD⊥ BC, ∴∠ ADB=90176。,∵ BE平分 ∠ ABC,∴∠ CBF=21176。, ∠ A=60176。 176。 答案 D ∵∠ ACB=60176。 B.∵ 4+27,∴ 7,4,2不能組成三角形 ,故 B錯(cuò)誤 。. ,C B C FB C D F C EC D C E???? ? ?????11.(2022江蘇蘇州 ,24,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB= B、 C為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑在 BC下方 畫(huà)弧 ,設(shè)兩弧交于點(diǎn) D,與 AB、 AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) E、 F,連接 AD、 BD、 CD. (1)求證 :AD平分 ∠ BAC。后得 CE,連接 EF. (1)求證 :△ BCD≌ △ FCE。60176。,∴ △ ACM是等邊三角形 . ∴∠ ACM=∠ AMC=60176。, ∴ ED∥ CG. ∴∠ BGF=∠ DEF. 又 ∵∠ BFG=∠ DFE, ∴ △ BGF≌ △ DEF( ). ∴ EF=FG. ∴ CF=EF=? EG. 請(qǐng)根據(jù)以上證明過(guò)程 ,解答下列兩個(gè)問(wèn)題 : ①在圖 1中作出證明中所描述的輔助線 。.∵∠ A+∠ C=90176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。 ②如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點(diǎn) C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點(diǎn) , ∴ DE?? OC,CE OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 ,∴∠ PCO=∠ QDO=90176。 (3)只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部 ,根據(jù) ∠ BPN和 ∠ BNP都為銳角及 ∠ B=50176。α90176。,∴∠ BPD+∠ PBD=90176。,AB=8,BC= DE是△ ABC的中位線 ,延長(zhǎng) DE 交△ ABC的外角 ∠ ACM的平分線于點(diǎn) F,則線段 DF的長(zhǎng)為 ? ( ) ? 答案 B ∵ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE∥ BC,DE=? BC=3, ∴∠ EFC=∠ FCM. ∵ AB=8,BC=6,∠ ABC=90176。 176。=80176。=130176。,E、 F分別是 BC、 DC上 的點(diǎn) ,當(dāng)△ AEF的周長(zhǎng)最小時(shí) ,∠ EAF的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。,AD⊥ BC,∴∠ BAE=30176。 (2)指出圖中所有平行的線段 ,并說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ BF=EC, ∴ BF+FC=EC+CF,即 BC=EF.? (3分 ) 又 ∵ AB=DE,AC=DF, ∴ △ ABC≌ △ DEF.? (5分 ) (2)AB∥ DE,AC∥ DF.? (7分 ) 理由 :∵ △ ABC≌ △ DEF,∴∠ ABC=∠ DEF,∠ ACB=∠ DFE. ∴ AB∥ DE,AC∥ DF.? (9分 ) 9.(20