【正文】 △ ABC中 ,AB=? =10, ∴ t=AD=? AB=5.? (11分 ) (iii)當(dāng) DN=MN=3時(shí) ,AC=DC,連接 MC,則 CM⊥ AB. ? ∵ S△ ACB=? BC,∠ BAC=60176。,∠ DAH=30176。, 點(diǎn) G為 AB的中點(diǎn) ,∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。. ∴∠ F=90176。α=90176。β, ∴∠ FRM=∠ ABC,∴ RM∥ BC, ∴∠ CBD=∠ RMB, ∵∠ CAD=∠ CBD=β, ∴∠ RMB=∠ CAD.? (9分 ) 又 ∠ RBM=∠ ACD,∴ △ RMB∽ △ DAC, ∴ ? =? =? =? ,∴ FBFM=BR=? CD. ∴ 2MH=FM+? CD.? (10分 ) BMACAB34 3434考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022江蘇揚(yáng)州 ,7,3分 )如圖 ,已知 ∠ AOB=60176。,由題意可得 AO39。cos 60176。,因?yàn)?OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因?yàn)?∠ AOC=60176。, 所以 BP=OB,∴∠ CDE =∠ E,∠ CDB=∠ B,∴ CE=CD,CD=CB,∴ CD=? BE=5,∴ 0≤ CD≤ 5. 125.(2022貴州貴陽(yáng) ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點(diǎn) N為 CM的中點(diǎn) .求證 :AN∥ EM. ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。30176。,AM⊥ BM,垂足為 M,點(diǎn) C是 BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn) , 連接 AC. (1)如圖 1,若 AB=3? ,BC=5,求 AC的長(zhǎng) 。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。 解析 (1)當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí) ,如圖 ,BD=? AB,則頂角 ∠ A為 30176。,AB=AD=DC,則 ∠ C= . ? 答案 25176。 (2)求證 :∠ EMD=2∠ DAC. ? 證明 (1)∵ AD⊥ BC,∴ △ ADB為直角三角形 , ∵ M為 AB的中點(diǎn) ,∴ MD=? AB, 同理 ,ME=? AB,∴ MD=ME, ∴ △ MED為等腰三角形 . (2)∵ M為 AB的中點(diǎn) ,∴ MA=? AB, ∵ MD=? AB, ∴ MA=MD, ∴∠ BMD=2∠ MAD, 同理 ,∠ BMD+∠ EDM=2(∠ MAD+∠ DAC), ∴∠ EMD=2∠ DAC. 1212 1212考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022珠海模擬 ,7)如果將長(zhǎng)為 6 cm,寬為 5 cm的長(zhǎng)方形紙片折疊一次 ,那么這條折痕的長(zhǎng)不可 能是 ? ( ) cm ? cm cm cm 2答案 A 長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為 ? =? cm8 cm,而折痕的長(zhǎng)小于對(duì)角線的長(zhǎng) ,∴ 折痕 不可能是 8 cm,故選 A. 2265?612.(2022汕頭模擬 ,7)如圖 ,△ ABC的頂點(diǎn) A、 B、 C在邊長(zhǎng)為 1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上 ,BD⊥ AC于 點(diǎn) D,則 CD的長(zhǎng)為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 25335455答案 C AC=? =? ,S△ ABC=? 22=2, ∵ BD⊥ AC,∴ S△ ABC=? AC③ AC= ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 答案 B ∵ △ DAC和△ EBC均是等邊三角形 , ∴∠ ACD=∠ BCE=60176。, ∴ △ BDA∽ △ BAC,∴ ? =? . ∵∠ ADC=∠ B+∠ BAD=72176。 ∵∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72176。 176。=45176。sin 60176。, ∴ BE=2BC=8 cm,EC=? =4247。,AC=8 cm,BC=6 cm,EF=9 。,∴∠ BEC=30176。x=12BC,∴ x=24, ∵ AB, ∴∠ BCD=75176。,DE垂直平分 AC,則 ∠ BCD的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。, ∴∠ DAB=∠ DAE=∠ CAE=36176。,∴ AB=AC,∠ BAC=108176。提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :40分 ) 1.(2022韶關(guān)模擬 ,9)如圖 ,△ DAC和△ EBC均是等邊三角形 ,AE與 CD交于點(diǎn) M,BD與 CE交于點(diǎn) N,有如下結(jié)論 :①△ ACE≌ △ DCB。) 后 ,連接 BE、 DF,如圖 2,這時(shí) DF=BE還成立嗎 ?請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 解析 DF=BE成立 . 理由 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,△ AEF是等腰直角三角形 , ∴ AD=AB,AF=AE,∠ FAE=∠ DAB=90176?；?15176。MN,∴ ? 5MN=6,∴ MN=? ,故選 C. ? 22AC MC?2253?12 1212 12 1253.(2022深圳羅湖二模 ,7)某等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為 3 cm和 6 cm,則它的周長(zhǎng)為 ? ( ) cm cm cm cm或 15 cm 答案 C ∵ 3+3=6,∴ 該等腰三角形的邊長(zhǎng)只能為 3 cm,6 cm,6 cm,∴ 周長(zhǎng)為 15 cm,故選 C. 4.(2022梅州模擬 ,12)若等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半 ,則這個(gè)等腰三角形的底角為 . 答案 15176。,D為 AB邊上一點(diǎn) . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點(diǎn) N是 CM的中點(diǎn) ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。, ∴∠ EMF=180176。 (2)若 ∠ BAC=50176。,∠ B=60176。cos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。? . ? 3 3332323233,223.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , ∠ AOC=60176。AC中 , AC=AO39。C⊥ OA,垂足為 C,在 Rt△ AOB中 ,OA=? ,OB=1,∠ AOB=90176。,? (8分 ) ∵ H為 BF中點(diǎn) ,∴ BF=2MH, 34在 FB上截取 FR=FM,連接 RM, ? 圖 2 ∴∠ FRM=∠ FMR=90176。, ∴ DF=2DE=4. 14.(2022黑龍江哈爾濱 ,28,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC、 BD相交于點(diǎn) E,且 AC⊥ BD,∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ BAD=3∠ CBD. (1)求證 :△ ABC為等腰三角形 。. ∵ DE∥ AB,∴∠ EDC=∠ B=60176?！?DAG=90176。,∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是否是等邊三角形 .若是 ,請(qǐng)證明 。,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。. ∴∠ CBE=90176。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系 ,并證明 . ? 解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。cos 30176。.若 BD=2CE,則 DE的長(zhǎng)為 . ? 3答案 3? 3 3解析 如圖 ,將△ ABD沿 AD翻折得△ AFD,連接 EF, ∴ AB=AF=AC,BD=DF,∠ AFD=∠ B=30176。②作直線 MN交 AB于點(diǎn) D,連接 CD=AC,∠ B=25176。, ? ∴∠ FCG=75176。. ∵ G是 EF的中點(diǎn) ,∴ EG=? . 1 3 32∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 22DE EG?22 32 2??? ????192思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長(zhǎng) . 疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長(zhǎng) ,DG與圖中的線段無(wú)直接的關(guān)系 ,所以應(yīng)根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運(yùn)用勾股 定理求出 DG的長(zhǎng) . 4.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。 ∠ DAC=55176。tan 30176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。C=x, 在 Rt△ MB39。C為直角三角 形 ,則 BM的長(zhǎng)為 . ? 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。C是直角三角形 ,∴ B39。C的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? ? D.? 3 221答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。C39。,∴∠ C=35176。, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,△ ADE的頂點(diǎn) D,E分別在 BC,AC上 ,且 ∠ DAE=90176。2=27176。)247。(2)分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓 心 ,以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓 ,除頂點(diǎn)外 ,共有 8個(gè)交點(diǎn) ,這 8個(gè)點(diǎn)也是腰點(diǎn) .綜上 ,正方形共有 9 個(gè)腰點(diǎn) . ? 6.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。,∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC.∵∠ ADB是△ ADC的外角 , ∴∠ C=? ∠ ADB=35176。. ? (1)用尺規(guī)在邊 BC上求作一點(diǎn) P,使 PA =PB(不寫作法 ,保留作圖痕跡 )。,再用同樣的方法作 Rt△ FGC, ∠ FCG=90176。,OA=1,以 OA1為直角邊作等腰 Rt△ OA1A2,以 OA2為直角邊作等腰 Rt△ OA2A3,…… ,則 OA6的長(zhǎng)度為 . ? 答案 8 解析 ∵ 等腰直角三角形的斜邊是直角邊的 ? 倍 , ∴ OA1=? OA=(? )1,OA2=? OA1=(? )2, OA3=? OA2=(? )3,…… ,∴ OA6=(? )6=8. 22 222 23.(2022廣州 ,20,10分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ B=90176。 的長(zhǎng) . 方法總結(jié) 合理作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵 ,條件 AD=AB+CD是解決問(wèn)題的突破口 ,綜合運(yùn) 用三角形全等及等腰三角形的判定 ,再結(jié)合等腰三角形的三線合一就可證得 AE⊥ 值問(wèn)題是又一難題 ,找到 M、 N兩點(diǎn)的位置使 BM+MN的值最小 ,可以利用軸對(duì)稱及垂線段最短 來(lái)解決這一問(wèn)題 . 7.(2022廣東 ,20,7分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A∠ B. (1)作邊 AB的垂直平分線 DE,與 AB、 BC分別相交于點(diǎn) D、 E(用尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,不要求 寫作法 )。,∴ △ DAH∽ △ BAN39。. ∴ BM+MN=BM+MN39。. 解題反思 本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖 ,菱形的性質(zhì) ,等腰三角形的性質(zhì)及三角形 內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用 . 6.(2022廣州 ,23,12分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ B=∠ C=90176。,連接 AC, ∴ △ ABC為等邊三角形 , ∴ AC=AB=BC=? .故選 A. ? 212 AC1 22 ?25.(2022廣東 ,19,6分 )如圖 ,BD是菱形 ABCD的對(duì)角線 ,∠ CBD=75176。 176。 176。,∴ 四邊形 ABCD是正方形 , 連接 AC,則 AB2+BC2=AC2, ∴ AB=BC=? =? =? . 如圖 2,∠ B=60176。=45176。,BM,則 MN=MN39。,∠ DAH=∠ BAN39。的長(zhǎng)即為所求 ,利用相似三角形求出 BN39。,AC=6,BC=8, ∴ AB=? =10. ∴ 過(guò) D點(diǎn)作 DE⊥ AB,則 DE=CD,AC=AE,在 Rt△ DEB中 ,設(shè) DE=x,則 BD=8x,BE=ABAE=4, ? 由勾股定理得 (8x)2=x2+42,解得 x=3,即 CD=3. 2268?2.(2022珠海 ,10,3分 )如圖 ,在等腰 Rt△ OAA1中 ,∠ OAA1=90176。,∠ DCE=90176。.? (2分 ) ∵ AC=a, ∴ Rt△ ADC中 ,AD=? AC=? , CD=? AD=? a.? (4