【正文】 ∴∠ ABC∠ A,∴ ACBC. 4.(2022湖南邵陽 ,13,3分 )將等邊△ CBA繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ∠ α得到△ CB39。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點(diǎn) H,則△ ACH就是等腰三角形 。 ② 如圖 2,以 A為圓心 ,AC長為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) E,則△ ACE就是等腰三角形 。,∴ BC=? =2? cm,∵ AG⊥ CG,EF⊥ CG,CB⊥ CG,∴ AG∥ EF∥ BC,∵ E是 AB的中點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) F為 CG的中點(diǎn) ,∴ EF= ? (AG+BC)=? (2? +2? )=(? +? )cm. ? 2AD2 3 32BD612 122 6 2 6解后反思 將原圖形補(bǔ)充成梯形 ,利用梯形中位線的性質(zhì) :梯形的中位線 =? (上底 +下底 )求解 , 熟記一些結(jié)論有利于快速解題 . 12C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 等腰三角形 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點(diǎn) P在線段 AB外 ,且 PA = :點(diǎn) P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結(jié)論時(shí) ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ? ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C P作 PC⊥ AB于點(diǎn) C且 AC=BC AB中點(diǎn) C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C,還是取 AB中點(diǎn) C,連接 PC或過點(diǎn) P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論 ,選項(xiàng) A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ AG=? =2? cm,∵∠ ABD=30176。,∠ ADB=90176。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。,∠ CBD=45176。,AB=6,D是 AB的中點(diǎn) ,則 CD= . ? 答案 3 解析 依題意可知 CD是直角三角形 ABC斜邊上的中線 ,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半”可得 CD=? AB=3. 125.(2022山西 ,15,3分 )一副三角板按如圖方式擺放 ,得到△ ABD和△ BCD,其中 ∠ ADB=∠ BCD=9 0176。, ∴∠ CAD=30176。,∠ CAB的平分線交 BC于 D,DE是 AB的垂 直平分線 ,垂足為 BC=3,則 DE的長為 ? ( ) ? 答案 A ∵ DE垂直平分 AB,∴ DA=DB, ∴∠ B=∠ DAB.∵ AD平分 ∠ CAB,∴∠ CAD=∠ DAB. ∵∠ C=90176。,CD⊥ AB,垂足為 D,點(diǎn) E是 AB的中點(diǎn) ,CD= DE=a,則 AB的長為 ? ( ) ? ? a D.? a 2 433答案 B ∵ CD⊥ AB,CD=DE=a,∴ CE=? a,∵ 在△ ABC中 ,∠ ACB=90176?！?C,∠ CAD=90176。,∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 5.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC, ∴∠ BEC=∠ ADC=90176。. ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=36176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176?；?27176?；?27176。2=27176。126176。=126176。 ② 若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。)247。, 此時(shí) ,底角 =(180176。36176。. 3.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。2=80176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 答案 D 依題意 ,可知題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個(gè)等腰三角形 .故選 D. 2.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個(gè)底角為 50176。, AB=8,則 DE的長度是 . ? 答案 2 解析 ∵ D為 AB的中點(diǎn) ,AB=8, ∴ AD=4, ∵ DE⊥ AC于點(diǎn) E,∠ A=30176。, ∵ CD是 AB邊上的中線 , ∴ CD=? AB=? 13=. 12 124.(2022湖南株洲 ,15,3分 )如圖是“趙爽弦圖” ,△ ABH、△ BCG、△ CDF和△ DAE是四個(gè)全等 的直角三角形 ,四邊形 ABCD和 EFGH都是正方形 ,如果 AB=10,EF=2,那么 AH等于 . ? 答案 6 解析 設(shè) AH=x,則 AE=x+2,BH=AE=x+2. 在 Rt△ ABH中 ,AB2=AH2+BH2, 即 102=x2+(x+2)2,解得 x1=6,x2=8(舍 ),故 AH=6. 5.(2022湖南邵陽 ,17,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC+AB=10,BC=3,求 AC的長 ,如果設(shè) AC=x,則可列方 程為 . ? 答案 x2+32=(10x)2 解析 ∵ AC=x,AC+AB=10, ∴ AB=10x. ∵ 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。=75176。, ∵∠ AFC是△ AEF的外角 , ∴∠ AFC=∠ FAE+∠ E=45176。,AD=CD,DE =DF, ∴∠ ADE+∠ ADF=∠ ADF+∠ CDF,∴∠ ADE=∠ CDF, 在△ ADE和△ CDF中 ,? ∴ △ ADE≌ △ CDF. ,D E D FA D E C D FD A D C???? ? ??? ??1.(2022湖南衡陽 ,16,3分 )將一副三角板如圖放置 ,使點(diǎn) A落在 DE上 ,若 BC∥ DE,則 ∠ AFC的度數(shù) 為 . ? 考點(diǎn)二 直角三角形 答案 75176。,∴∠ CEB=72176。,∴∠ B=∠ ACB=? =72176。. 12思路分析 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)求解 . 5.(2022湖南邵陽 ,17,3分 )如圖所示 ,在等腰△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。 解析 ∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ BAC=60176。=72176。. ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=? ∠ ABC=36176。, ∴∠ ABC=∠ ACB=? (180176。 176。 176。② 沒有進(jìn)行分類討論 . 3.(2022湖南湘西 ,16,3分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,AB=AC,BD平分 ∠ ABC,∠ A=36176。當(dāng)腰長是 8 cm時(shí) ,三角 形的三邊長分別為 8 cm,8 cm,4 cm,符合三角形的三邊關(guān)系 ,此時(shí)三角形的周長是 20 cm. 故選 C. 2.(2022湖南湘西 ,14,4分 )一個(gè)等腰三角形一邊長為 4 cm,另一邊長為 5 cm,那么這個(gè)等腰三角 形的周長是 ? ( ) cm cm cm或 14 cm 答案 C 當(dāng) 4 cm為等腰三角形的腰長時(shí) ,三角形的三邊長分別是 4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形 的三邊關(guān)系 ,此時(shí) ,等腰三角形的周長為 13 cm。167。 等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) (湖南專用 ) A組 2022— 2022年湖南中考題組 五年中考 考點(diǎn)一 等腰三角形 1.(2022湖南懷化 ,8,4分 )等腰三角形的兩邊長分別為 4 cm和 8 cm,則它的周長為 ? ( ) cm cm cm cm或 20 cm 答案 C 已知等腰三角形的兩邊長分別為 4 cm和 8 cm,當(dāng)腰長是 4 cm時(shí) ,三角形的三邊長分 別為 4 cm,4 cm,8 cm,這違背了三角形任意兩邊之和大于第三邊的原理 。 當(dāng) 5 cm為等腰三角形的腰長時(shí) ,三角形的三邊長分別是 5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三邊關(guān) 系 ,此時(shí) ,等腰三角形的周長為 14 cm,故選 C. 思路分析 分 4 cm為等腰三角形的腰長和 5 cm為等腰三角形的腰長 ,先判斷是否符合三角形 的三邊關(guān)系 ,再求周長 . 易錯警示 此題是等腰三角形的性質(zhì)題 ,主要考查了等腰三角形的性質(zhì) .易在兩個(gè)方面出錯 :① 忽視三角形的三邊關(guān)系 。,則 ∠ 1的度 數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 C ∵ AB=AC,∠ A=36176?！?A)=72176。, ∵∠ 1是△ ABD的外角 , ∴∠ 1=∠ A+∠ ABD=236176。,故選 C. 12124.(2022湖南湘潭 ,12,3分 )如圖 ,在等邊三角形 ABC中 ,點(diǎn) D是邊 BC的中點(diǎn) ,則 ∠ BAD= . ? 答案 30176。,AB=AC. 又點(diǎn) D是邊 BC的中點(diǎn) , ∴∠ BAD=? ∠ BAC=30176。,將△ ABC中的 ∠ A沿 DE 向下翻折 ,使點(diǎn) A落在點(diǎn) C處 .若 AE=? ,則 BC的長是 . ? 3答案 ? 3解析 ∵ AB=AC,∠ A=36176。, ∵ 將△ ABC中的 ∠ A沿 DE向下翻折 ,使點(diǎn) A落在點(diǎn) C處 , ∴ AE=CE,∴∠ A=∠ ECA=36176。,∴ BC=CE=AE=? . 180 362?? ?3思路分析 由折疊的性質(zhì)可知 AE=CE,再證明△ BCE是等腰三角形即可得到 BC=CE,問題得解 . 解題關(guān)鍵 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理 ,證明 △ BCE是等腰三角形是解題的關(guān)鍵 . 6.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點(diǎn) D,交邊 AC 于點(diǎn) E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE,∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5= 13. 評析 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理 ,即線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端 點(diǎn)的距離相等 . 7.(2022湖南株洲 ,22,8分 )如圖所示 ,正方形 ABCD的頂點(diǎn) A在等腰直角三角形 DEF的斜邊 EF上 , EF與 BC相交于點(diǎn) G,連接 CF. 求證 :△ DAE≌ △ DCF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,△ EDF是等腰直角三角形 ,∴∠ ADC=∠ EDF=90176。 解析 ∵ BC∥ DE,∴∠ FBC=∠ EAB=45176。+30176。. 2.(2022湖南湘潭 ,15,3分 )《 九章算術(shù) 》 是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一 ,在“勻股”章中記 載了一道“折竹抵地”問題 :“今有竹高一丈 ,末折抵地 ,去本三尺 ,問折者高幾何 ?”翻譯成數(shù) 學(xué)問題是 :如圖所示 ,△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∴ AC2+BC2=AB2,即 x2+32=(10x)2. 故可列方程為 x2+32=(10x)2. 3.(2022湖南益陽 ,10,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=5,BC=12,AB=13,CD是 AB邊上的中線 ,則 CD= . ? 答案 解析 ∵ 在△ ABC中 ,AC=5,BC=12,AB=13, ∴ AC2+BC2=52+122=132=AB2, ∴ △ ABC為直角三角形 ,且 ∠ ACB=90176。,D為 AB的中點(diǎn) ,DE⊥ AC于點(diǎn) E.∠ A=30176。, ∴ DE=? AD=2. 12B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 等腰三角形 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=36176。,則它的頂角的度數(shù)為