【正文】 C為菱形時(shí) ,t的值是 ? . (3)由 (1)易知 ,PE=? t+3, AEAC APABAP ACAB? (5 ) 45t??4545 9512 12 1295 12 20222022 202235與 (2)同理得 ,QE=AEAQ=? t+4, ∴ PQ=? =? =? , 在△ AQP中 ,① 當(dāng) AQ=AP,即 t=5t時(shí) ,解得 t1=? 。,AC=4 cm,BC=3 P由點(diǎn) B出 發(fā)沿 BA方向向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng) ,同時(shí)點(diǎn) Q由點(diǎn) A出發(fā)沿 AC方向向點(diǎn) C勻速運(yùn)動(dòng) ,它們的速度均為 1 cm/ PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s)(0t4),解答下列問題 : (1)設(shè)△ APQ的面積為 S,當(dāng) t為何值時(shí) ,S取得最大值 ?S的最大值是多少 ? (2)如圖乙 ,連接 PC,將△ PQC沿 QC翻折 ,得到四邊形 PQP39。, 又 ∵∠ BPN=∠ APC, ∴ △ BNP∽ △ ACP,∴ ? =? , 又 ∵∠ APB=∠ CPN, ∴ △ ABP∽ △ CNP, ∴∠ ANC=∠ ABC=45176。 (2)如圖 c,當(dāng) ∠ BAC=∠ MBN≠ 90176。,于是得到 2∠ CAE+∠ DAC+∠ DAC=90176。,∴∠ DAE=45176。=176。, ∴∠ BPQ=30176。,AB⊥ AD,AD=4,則 BC= . ? 答案 12 解析 ∵ AB=AC,∠ C=30176。, ∴∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=30176。,可得鈍角度數(shù)為 135176。 當(dāng)三角形的腰為 1,底為 3時(shí)不符合三角形三邊的關(guān)系 ,舍去 . 故該三角形的周長為 7. 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022湖南益陽模擬 ,8)直角三角形兩銳角的平分線相交得到的鈍角度數(shù)為 ? ( ) 176。,∠ C=48176。 176。的等腰三角形 ,那么這兩個(gè)三角形不相似 ,所以此命題不正確 。 基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一 等腰三角形 三年模擬 1.(2022湖南邵陽模擬 ,8)下列命題正確的有 ? ( ) ① 以 40176。, ∴∠ ACD=90176。,以點(diǎn) B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交線段 AB于點(diǎn) D。. 設(shè) BM=x,則 B39。,AB=AC,BC=? +1,點(diǎn) M,N分別是邊 BC,AB上 的動(dòng)點(diǎn) ,沿 MN所在的直線折疊 ∠ B,使點(diǎn) B的對應(yīng)點(diǎn) B39。=90176。時(shí)分別計(jì)算 AB的長 ,顯然 ∠ EA39。. 綜上所述 ,當(dāng)△ A39。CB=60176。時(shí) ,A39。FE=90176。在直線 DE下方時(shí) ,如圖 1,∵∠ CA39。. ∴∠ BCD=∠ ECD=30176。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點(diǎn) E,交 CB于點(diǎn) AC=3,AB=5,則 CE的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 43 53 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點(diǎn) G, ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。β, ∵∠ ABC=180176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. ∵∠ DHA=90176。若不是 ,請說明理由 . ? 圖 1 3 ? 圖 2 解析 (1)∵ 點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。,∠ B+∠ BAC=90176。即可 .② 在①的基礎(chǔ)上 ,易得 GE=? AE=? ,EF=2,則 GF=GE+EF=? .在 Rt△ GBF中 ,BF=? =3? . 3312 52 92cos 30GF? 37.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。 ② 若 AE=5,CE=2,求 BF的長 . 解析 遷移應(yīng)用 ①證明 :∵ △ ABC和△ ADE都是等腰三角形 , ∴ AD=AE,AB=AC, 又 ∵∠ DAE=∠ BAC=120176。,AH=9,CH=3, ∴ tan∠ CAH=? =? =? ,AC=? =? =3? , 由 (1)知 ∠ CAH=∠ BAH,∴ tan∠ BAH=tan∠ CAH=? . 設(shè) DK=3a(a0),在 Rt△ ADK中 ,tan∠ DAK=? , 在 Rt△ DOK中 ,tan∠ DOK=? , ∴ OK=4a,DO=5a,AK=9a, ∴ AO=OK+AK=13a=5, ∴ a=? ,∴ DO=5a=? , ∴ CD=OC+DO=5+? =? . 3CO 3522OC CH? 2253?34CHAH 39 1322AH CH? 2293? 10131334513 251325139013一題多解 (1)證明 :連接 OB. ∵ AO=AO,BO=CO,AB=AC, ∴ △ AOB≌ △ AOC,∴∠ BAO=∠ CAO. 即 AO平分 ∠ BAC. (2)過點(diǎn) C作 CE⊥ AB,交 AB于點(diǎn) E, ∵ sin∠ BAC=? =? ,∴ 可設(shè) AC=5m(m0),則 EC=3m, ∴ AE=4m,BE=m. 在 Rt△ CBE中 ,BE2+EC2=BC2,即 m2+(3m)2=36, 解得 m=? (舍負(fù) ),∴ AC=3? . 延長 AO交 BC于點(diǎn) H,則 AH⊥ BC,且 BH=CH=3, 過點(diǎn) O作 OF⊥ AH,交 AB于點(diǎn) F, ECAC 353 1 05 10? ∵∠ BOC=2∠ BAC,∠ BOC=2∠ HOC,∴∠ BAC=∠ HOC, ∴ sin∠ HOC=sin∠ BAC=? ,又 HC=3, ∴ OC=5,OH=4,∴ AH=OA+OH=9, ∴ tan∠ BAH=? =? =? ,∴ OF=? OA=? . ∵ OF∥ BC,∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 DC=? . 35OFOABHAH 13 13 53OFBC DODC 5365DCDC? 90136.(2022四川成都 ,27,10分 )問題背景 :如圖 1,等腰△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=120176。,∴∠ ACB39。A39。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。,∠ A=60176?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD.∴∠ CBE=∠ BAD. 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022遼寧大連 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 評析 本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理 ,屬容易題 . 4.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。, 此時(shí) ,底角 =(180176。=54176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。. 2.(2022湖南湘潭 ,15,3分 )《 九章算術(shù) 》 是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一 ,在“勻股”章中記 載了一道“折竹抵地”問題 :“今有竹高一丈 ,末折抵地 ,去本三尺 ,問折者高幾何 ?”翻譯成數(shù) 學(xué)問題是 :如圖所示 ,△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∵ 將△ ABC中的 ∠ A沿 DE向下翻折 ,使點(diǎn) A落在點(diǎn) C處 , ∴ AE=CE,∴∠ A=∠ ECA=36176。, ∵∠ 1是△ ABD的外角 , ∴∠ 1=∠ A+∠ ABD=236176。,則 ∠ 1的度 數(shù)為 ? ( ) ? 176。當(dāng)腰長是 8 cm時(shí) ,三角 形的三邊長分別為 8 cm,8 cm,4 cm,符合三角形的三邊關(guān)系 ,此時(shí)三角形的周長是 20 cm. 故選 C. 2.(2022湖南湘西 ,14,4分 )一個(gè)等腰三角形一邊長為 4 cm,另一邊長為 5 cm,那么這個(gè)等腰三角 形的周長是 ? ( ) cm cm cm或 14 cm 答案 C 當(dāng) 4 cm為等腰三角形的腰長時(shí) ,三角形的三邊長分別是 4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形 的三邊關(guān)系 ,此時(shí) ,等腰三角形的周長為 13 cm。, ∴∠ ABC=∠ ACB=? (180176。. 12思路分析 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)求解 . 5.(2022湖南邵陽 ,17,3分 )如圖所示 ,在等腰△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。, ∵∠ AFC是△ AEF的外角 , ∴∠ AFC=∠ FAE+∠ E=45176。, AB=8,則 DE的長度是 . ? 答案 2 解析 ∵ D為 AB的中點(diǎn) ,AB=8, ∴ AD=4, ∵ DE⊥ AC于點(diǎn) E,∠ A=30176。. 3.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。 ② 若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。或 27176。,∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 5.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC, ∴∠ BEC=∠ ADC=90176。, ∴∠ CAD=30176。,∠ ADB=90176。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點(diǎn) H,則△ ACH就是等腰三角形 。, ∴∠ ACB=∠ A39。. 5.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AB=AC,CO的延長線交 AB于點(diǎn) D. (1)求證 :AO平分 ∠ BAC。 ② 請直接寫出線段 AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式 。,即 ∠ EFC=60176。,∴ S?AFGE=AE.點(diǎn) E是 ∠ BAC的平分線上一 點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AE的垂線 ,過點(diǎn) A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) D,連接 DB,點(diǎn) F是 BD的中點(diǎn) .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? ,求 AB,BD的長 。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。. 1212∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。, ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 121210.(2022黑龍江哈爾濱 ,28,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC、 BD相交于點(diǎn) E,且 AC⊥ BD,∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ BAD=3∠ CBD. (1)求證 :△ ABC為等腰三角形 。,? (8分 ) ∵ H為 BF中點(diǎn) ,∴ BF=2MH, 在 FB上截取 FR=FM,連接 RM, ? 圖 2 ∴∠ FRM=∠ FMR=90176。,∠ B=90176。B所在直線 于點(diǎn) F,連接 A39。EF為鈍角三角 形 ,不符合 。② 當(dāng)點(diǎn) A39。E.∵ A39。在直線 DE上方時(shí) ,∠ EA39。在直線 DE上方時(shí) ,∠ A39。,EF=? . ∴∠ DEG=180176。,AB=6, ∴∠ ABC=60176。C=90176。時(shí) ,點(diǎn) B39。,∠ A=28176。② 根據(jù)勾股定理及等量關(guān)系列出等式 ,化簡、整理即可 . 方法總結(jié) 本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法 ,掌握一元二次方程的求根公式、 熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵 . 9.(2022廣西柳州 ,21,6分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D為 AC邊的中點(diǎn) ,且 DB⊥ BC,BC=4,CD=5. (1)求 DB的長 。 ⑤ 若△ ABC的三邊長 a、 b、 c滿足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,則此三角形為等腰直角三角形 . 答案 A ①以 40176。 ⑤ ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c, ∴ (a5)2+(b12)2+(c13)2=0, ∴ a5=0,b12=0,c13=0,即 a=5,b=12,c=13. ∵ 52+122=132,5≠ 12, ∴ △ ABC是直角三角形 ,而不是等腰直角三角形 . ∴ 此命題不正確 . 因此命題正確的有 1個(gè) .故選 A. 評析 此題主要考查三角形內(nèi)角和定理 ,平行四邊形的判定 ,相似三角形的判定 ,等腰三角形的 性質(zhì) ,等腰直角三角形的性質(zhì) ,配方法的應(yīng)用等知識點(diǎn) ,屬于難題 . 2.(2022湖南株洲三模 ,6)等腰三角形頂角是 84176。)247。,∠