【正文】 折 ,使點 A落在點 C處 .若 AE=? ,則 BC的長是 . ? 3答案 ? 3解析 ∵ AB=AC,∠ A=36176?！?A)=72176。 當 5 cm為等腰三角形的腰長時 ,三角形的三邊長分別是 5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三邊關(guān) 系 ,此時 ,等腰三角形的周長為 14 cm,故選 C. 思路分析 分 4 cm為等腰三角形的腰長和 5 cm為等腰三角形的腰長 ,先判斷是否符合三角形 的三邊關(guān)系 ,再求周長 . 易錯警示 此題是等腰三角形的性質(zhì)題 ,主要考查了等腰三角形的性質(zhì) .易在兩個方面出錯 :① 忽視三角形的三邊關(guān)系 。② 沒有進行分類討論 . 3.(2022湖南湘西 ,16,3分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,AB=AC,BD平分 ∠ ABC,∠ A=36176。. ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=? ∠ ABC=36176。,∴∠ B=∠ ACB=? =72176。=75176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 答案 D 依題意 ,可知題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個等腰三角形 .故選 D. 2.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個底角為 50176。36176。=126176?；?27176?！?C,∠ CAD=90176。,AB=6,D是 AB的中點 ,則 CD= . ? 答案 3 解析 依題意可知 CD是直角三角形 ABC斜邊上的中線 ,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半”可得 CD=? AB=3. 125.(2022山西 ,15,3分 )一副三角板按如圖方式擺放 ,得到△ ABD和△ BCD,其中 ∠ ADB=∠ BCD=9 0176。,∴ AG=? =2? cm,∵∠ ABD=30176。 ⑥ 如圖 6,作 BC的垂直平分線交 AB于 I,則△ BCI就是等腰三角形 .故選 D. ? 3.(2022湖南邵陽 ,8,3分 )如圖所示 ,點 D是△ ABC的邊 AC上一點 (不含端點 ),AD=BD,則下列結(jié)論 正確的是 ? ( ) ? BC =BC C.∠ A∠ ABC D.∠ A=∠ ABC 答案 A ∵ AD=BD,∴∠ A=∠ ABD, ∵∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC,∴∠ ABC∠ A,∴ ACBC. 4.(2022湖南邵陽 ,13,3分 )將等邊△ CBA繞點 C順時針旋轉(zhuǎn) ∠ α得到△ CB39。=60176。,sin∠ COH=sin∠ BAC=? =? . 12 1212CHCO 35∵ CH=3,∴ sin∠ COH=? =? ,∴ CO=AO=5, ∴ OH=? =? =4, ∴ AH=AO+OH=5+4=9,tan∠ COH=tan∠ DOK=? . 在 Rt△ ACH中 ,∠ AHC=90176。,在 ∠ ABC內(nèi)作射線 BM,作點 C關(guān)于 BM的對稱 點 E,連接 AE并延長交 BM于點 F,連接 CE,CF. ? 圖 3 ① 證明 :△ CEF是等邊三角形 。, ∴ BF=? =? ? =3? . cosGFGFB? 92 233 3思路分析 遷移應(yīng)用 :① 根據(jù) SAS證全等 .② 由問題背景可知 ,DE=? AD,由①可得 ,EC=BD,∴ DC=DE+EC=? AD+BD. 拓展延伸 :① 要證明△ CEF為等邊三角形 ,根據(jù)對稱性可知 ,FE=FC,∠ EFB=∠ CFB,那么我們只 需證明 ∠ EFB=30176。,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是否是等邊三角形 ?若是 ,請證明 。, ∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176?！?DAG=90176。α=90176。β,∴∠ FRM=∠ ABC,∴ RM∥ BC, ∴∠ CBD=∠ RMB, ∵∠ CAD=∠ CBD=β,∴∠ RMB=∠ CAD.? (9分 ) 又 ∠ RBM=∠ ACD,∴ △ RMB∽ △ DAC, ∴ ? =? =? =? ,∴ FBFM=BR=? CD. ∴ 2MH=FM+? CD.? (10分 ) BRCDBMCA BMAB 34 3434評析 本題是一道綜合題 ,主要考查了等腰三角形的判定 ,三角形全等的判定及三角形相似的 判定等知識 ,所探究的線段之間的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜 ,綜合性較強 ,屬難題 . 考點二 直角三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∵ DE是 AC的中垂線 ,∴ AD=CD,∠ ECD=∠ A=30176。EF為直角三角形時 ,AB的長為 . ? 答案 4或 4? 3解析 (1)當點 A39。在直線 DE上方時 ,如圖 ∠ A39。 EF=90176。CE為等邊三角 形 ,∴∠ ACB=∠ A39。B,不可能為 90176。FE為 90176。30176。,點 D到 AB的距離等于 DC,在 Rt△ BDC中 ,DC=tan∠ DBCBC=? 3=? , ∴ 點 D到 AB的距離等于 ? . 1233336.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。MC=∠ C=45176。M=? BC=? . 綜上所述 ,BM的長為 1或 ? . 22 212 212?212?答案 ? 或 1 212?7.(2022遼寧遼陽 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BD⊥ AC于 D,點 E為 AB的中點 ,AD=6,DE=5,則線段 BD的長等于 . ? 答案 8 解析 ∵ BD⊥ AC于 D,點 E為 AB的中點 ,DE=5,∴ AB=2DE=25=10,∴ 在 Rt△ ABD中 ,BD= ? =? =8. 22AB AD? 2210 6?8.(2022浙江杭州 ,21,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 由題意知 BD=BC, ∴∠ BCD=∠ BDC=59176。(2)作 BC邊上的高線 AE,利用三角形中位線定理 得 BD=? AE,即可得到結(jié)論 . 12A組 2022— 2022年模擬 的等腰三角形 ,二是底 角為 40176。 176。. 在 Rt△ BDC中 , ∠ BDC=90176。, ∴ △ APF是等邊三角形 , ∴ AP=PF=AF. ∵ PE⊥ AC, ∴ AE=EF, ∵ AP=PF,AP=CQ, ∴ PF=CQ, 在△ PFD和△ QCD中 ,? ∴ △ PFD≌ △ QCD, ∴ FD=CD, ∵ AE=EF, ∴ EF+FD=AE+CD, ∴ AE+CD=DE=? AC, ∵ AC=3,∴ DE=? . 故選 B. ,P F D Q C DP D F Q D CP F Q C? ? ???? ? ??? ??12324.(2022湖南婁底新化一模 ,16)已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程 x24x+3=0的 根 ,則該三角形的周長是 . 答案 7 解析 x24x+3=0, 解得 x1=3,x2=1. 當三角形的腰為 3,底為 1時 ,三角形的周長為 3+3+1=7。,根據(jù)三角 形內(nèi)角和為 180176。,DE⊥ AB,CD=DE=1,∠ BAC=60176。, ∴ AB=2AC=2? . 1222AD CD? 335.(2022湖南永州模擬 ,15)如圖 ,已知△ ABC中 ,AB=AC,∠ C=30176。, ∴ AC=BC=? a,∴ S△ ABC=? ? a? a=? , 又 ∵ 正八邊形中間是邊長為 a的正方形 , ∴ 陰影部分的面積為 a2+4? a2=2a2,故選 A. ? 22 1222 22 24a14二、填空題 (每小題 4分 ,共 4分 ) 2.(2022湖南邵陽五模 ,15)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,E是 AD邊上的中點 .若 ∠ ABE=∠ EBC,AB =2,則平行四邊形 ABCD的周長是 . ? 答案 12 解析 ∵ AD∥ BC,∴∠ AEB=∠ EBC, ∵∠ ABE=∠ EBC,∴∠ ABE=∠ AEB,∴ AB=AE, ∵ E是 AD邊上的中點 , ∴ AD=2AB, ∵ AB=2,∴ AD=4, ∴ 平行四邊形 ABCD的周長 =2(4+2)=12. 3.(2022湖南新化模擬 ,25)已知 :如圖所示 ,△ ABC是邊長為 6 cm的等邊三角形 ,動點 P、 Q同時從 A、 B兩點出發(fā) ,分別在 AB、 BC邊上勻速移動 ,它們的速度分別為 vp=2 cm/s,vQ=1 cm/s,當點 P到 達點 B時 ,P、 Q兩點停止運動 ,設(shè)點 P的運動時間為 t s. (1)當 t何值時 ,△ PBQ為等邊三角形 ? (2)當 t何值時 ,△ PBQ為直角三角形 ? ? 三、解答題 (共 18分 ) 解析 由題意可知 AP=2t cm,BQ=t cm,則 BP=ABAP=(62t)cm,其中 0t≤ 3. (1)當△ PBQ為等邊三角形時 ,有 BP=BQ, 即 62t=t,解得 t=2,經(jīng)檢驗 ,符合題意 . ∴ 當 t=2 s時 ,△ PBQ為等邊三角形 . (2)當 PQ⊥ BQ時 ,△ PBQ為直角三角形 . ∵∠ B=60176。, ∵∠ ACB=∠ AEC+∠ CAE=2∠ AEC,∠ ABC=∠ ADB+∠ DAB=2∠ ADB,∴∠ AEC=∠ ADB=? 45 176。, ∴∠ CAE+∠ DAC=45176。,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAD=∠ BDA, ∠ AEC=∠ CAE,于是得到 ∠ ACD=2∠ CAE,求得 ∠ ADB=∠ ACD+∠ DAC,由于 ∠ BAD+∠ DAC= 90176。時 ,① 中的結(jié)論是否發(fā)生變化 ?說明理由 。,AB=AC,BM=BN, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BNP=45176。? ∠ BAC. 12評析 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì) .(1)② 與 (2)中 ,先根據(jù)兩角對應(yīng)相等 ,兩三角形相似求出兩邊對應(yīng)成比例 ,再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例 ,夾 角相等得到另兩個相似三角形是解題的關(guān)鍵 . 6.(2022湖南衡陽三模 ,26)如圖甲 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。C為菱形時 ,PE垂直平分 QC,即 PE⊥ AC,QE=EC, 易證△ APE∽ △ ABC,∴ ? =? , ∴ AE=? =? =? t+4, ∴ QE=AEAQ=? t+4t=? t+4, 又 QE=? QC=? (4t)=? t+2, ∴ ? t+4=? t+2,解得 t=? , ∵ 0? 4,∴ 當四邊形 PQP39。 ② 當 PQ=AQ,即 ? =t時 ,解得 t2=? ,t3=5。C,當四邊形 PQP39。. (2)∠ ANC=90176。時 ,請直接寫出 ∠ ANC與 ∠ BAC之間的數(shù)量關(guān)系 ,不必證明 . ? 解析 (1)① ∵∠ BAC=90176。,進而求出 ∠ CAE+∠ DAC=45176。. 12∴∠ BAD=∠ BDA=? , ∵ AC=CE,∴∠ AEC=∠ CAE=? , ∵∠ BAC+∠ DAE=α+β=∠ BAD+∠ CAE =? =? , ∴ β+? =90176。, ∴∠ DAE=180176。, ∴ 在 Rt△ PBQ中 ,BP=2BQ, 即 62t=2t, 解得 t=,經(jīng)檢驗 ,符合題意 . 當 PQ⊥ BP時 ,同理可得 BQ=2BP, 即 t=2(62t),解得 t=,經(jīng)檢驗 ,符合題意 . 綜上可知當 t為 s或 s時 ,△ PBQ為直角三角形 . 解題關(guān)鍵 本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì) ,利用 t表示出 BP和 BQ,化“動”為“靜”是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022湖南新晃模擬 ,26)△ ABC的邊 BC在直線 l上 ,點 D、 E是直線 l上的兩點 ,且 BA=BD,CA= CE. (1)如圖 1,若 AB=AC,∠ BAC=90176。, ∴∠ B=30176。, ∵ 在△ ADE中 ,∠ AED=90176。,故選 B. 2.(2022湖南長沙周南中學(xué)模擬 ,8)如圖 ,∠ MON=90176。 176。, ∴∠ DBC=90176。 176。 ② 高在三角形內(nèi)部時 ,頂角為