【正文】 解析 如圖 ,連接 DE,過點(diǎn) E作 EM⊥ BD于點(diǎn) M,設(shè) EF交 BD于點(diǎn) N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM=2? cm,MN=EM=2 cm,∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN=2 ? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6答案 (? +? ) 2 6一題多解 過點(diǎn) A作 AG⊥ CD的延長線于點(diǎn) G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。,∠ ADB=90176。,∴∠ ADG=4 5176。,∴ AG=? =2? cm,∵∠ ABD=30176。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。,∴ BC=? =2? cm,∵ AG⊥ CG,EF⊥ CG,CB⊥ CG,∴ AG∥ EF∥ BC,∵ E是 AB的中點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) F為 CG的中點(diǎn) ,∴ EF= ? (AG+BC)=? (2? +2? )=(? +? )cm. ? 2AD2 3 32BD612 122 6 2 6解后反思 將原圖形補(bǔ)充成梯形 ,利用梯形中位線的性質(zhì) :梯形的中位線 =? (上底 +下底 )求解 , 熟記一些結(jié)論有利于快速解題 . 12C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 等腰三角形 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點(diǎn) P在線段 AB外 ,且 PA = :點(diǎn) P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結(jié)論時(shí) ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ? ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C P作 PC⊥ AB于點(diǎn) C且 AC=BC AB中點(diǎn) C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C,還是取 AB中點(diǎn) C,連接 PC或過點(diǎn) P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論 ,選項(xiàng) A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) D,則△ BCD就是等腰三角形 。 ② 如圖 2,以 A為圓心 ,AC長為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) E,則△ ACE就是等腰三角形 。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點(diǎn) F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角 形 。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點(diǎn) H,則△ ACH就是等腰三角形 。 ⑤ 如圖 5,作 AB的垂直平分線交 AC于點(diǎn) G,則△ AGB就是等腰三角形 。 ⑥ 如圖 6,作 BC的垂直平分線交 AB于 I,則△ BCI就是等腰三角形 .故選 D. ? 3.(2022湖南邵陽 ,8,3分 )如圖所示 ,點(diǎn) D是△ ABC的邊 AC上一點(diǎn) (不含端點(diǎn) ),AD=BD,則下列結(jié)論 正確的是 ? ( ) ? BC =BC C.∠ A∠ ABC D.∠ A=∠ ABC 答案 A ∵ AD=BD,∴∠ A=∠ ABD, ∵∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC,∴∠ ABC∠ A,∴ ACBC. 4.(2022湖南邵陽 ,13,3分 )將等邊△ CBA繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ∠ α得到△ CB39。A39。,使得 B,C,A39。三點(diǎn)在同 一直線上 ,如圖所示 ,則 ∠ α的大小是 . ? 答案 120176。 解析 ∵ △ CBA是等邊三角形 ,△ CBA旋轉(zhuǎn)到△ CB39。A39。, ∴∠ ACB=∠ A39。CB39。=60176。,∴∠ ACB39。=60176。. 由題意可知 ,∠ BCB39。是旋轉(zhuǎn)角 ,∴∠ α=∠ BCB39。=120176。. 5.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AB=AC,CO的延長線交 AB于點(diǎn) D. (1)求證 :AO平分 ∠ BAC。 (2)若 BC=6,sin∠ BAC=? ,求 AC和 CD的長 . ? 35解析 (1)證明 :連接 BO. ∵ AB=AC,OB=OC, ∴ A、 O在線段 BC的中垂線上 ,∴ AO⊥ BC. 又 ∵ AB=AC,∴ AO平分 ∠ BAC. (2)如圖 ,延長 AO交 BC于點(diǎn) H,過點(diǎn) D作 DK⊥ AO,交 AO于點(diǎn) K. ? 由 (1)知 AO⊥ BC,∵ OB=OC,BC=6, ∴ BH=CH=? BC=3,∠ COH=? ∠ BOC, ∵∠ BAC=? ∠ BOC,∴∠ COH=∠ BAC. 在 Rt△ COH中 ,∠ OHC=90176。,sin∠ COH=sin∠ BAC=? =? . 12 1212CHCO 35∵ CH=3,∴ sin∠ COH=? =? ,∴ CO=AO=5, ∴ OH=? =? =4, ∴ AH=AO+OH=5+4=9,tan∠ COH=tan∠ DOK=? . 在 Rt△ ACH中 ,∠ AHC=90176。,AH=9,CH=3, ∴ tan∠ CAH=? =? =? ,AC=? =? =3? , 由 (1)知 ∠ CAH=∠ BAH,∴ tan∠ BAH=tan∠ CAH=? . 設(shè) DK=3a(a0),在 Rt△ ADK中 ,tan∠ DAK=? , 在 Rt△ DOK中 ,tan∠ DOK=? , ∴ OK=4a,DO=5a,AK=9a, ∴ AO=OK+AK=13a=5, ∴ a=? ,∴ DO=5a=? , ∴ CD=OC+DO=5+? =? . 3CO 3522OC CH? 2253?34CHAH 39 1322AH CH? 2293? 10131334513 251325139013一題多解 (1)證明 :連接 OB. ∵ AO=AO,BO=CO,AB=AC, ∴ △ AOB≌ △ AOC,∴∠ BAO=∠ CAO. 即 AO平分 ∠ BAC. (2)過點(diǎn) C作 CE⊥ AB,交 AB于點(diǎn) E, ∵ sin∠ BAC=? =? ,∴ 可設(shè) AC=5m(m0),則 EC=3m, ∴ AE=4m,BE=m. 在 Rt△ CBE中 ,BE2+EC2=BC2,即 m2+(3m)2=36, 解得 m=? (舍負(fù) ),∴ AC=3? . 延長 AO交 BC于點(diǎn) H,則 AH⊥ BC,且 BH=CH=3, 過點(diǎn) O作 OF⊥ AH,交 AB于點(diǎn) F, ECAC 353 1 05 10? ∵∠ BOC=2∠ BAC,∠ BOC=2∠ HOC,∴∠ BAC=∠ HOC, ∴ sin∠ HOC=sin∠ BAC=? ,又 HC=3, ∴ OC=5,OH=4,∴ AH=OA+OH=9, ∴ tan∠ BAH=? =? =? ,∴ OF=? OA=? . ∵ OF∥ BC,∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 DC=? . 35OFOABHAH 13 13 53OFBC DODC 5365DCDC? 90136.(2022四川成都 ,27,10分 )問題背景 :如圖 1,等腰△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=120176。,作 AD⊥ BC于點(diǎn) D,則 D為 BC的中點(diǎn) ,∠ BAD=? ∠ BAC=60176。,于是 ? =? =? 。 ? 圖 1 遷移應(yīng)用 :如圖 2,△ ABC和△ ADE都是等腰三角形 ,∠ BAC=∠ DAE=120176。,D,E,C三點(diǎn)在同一條直 線上 ,連接 BD. ? 12 BCAB 2 BDAB3圖 2 ① 求證 :△ ADB≌ △ AEC。 ② 請(qǐng)直接寫出線段 AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式 。 拓展延伸 :如圖 3,在菱形 ABCD中 ,∠ ABC=120176。,在 ∠ ABC內(nèi)作射線 BM,作點(diǎn) C關(guān)于 BM的對(duì)稱 點(diǎn) E,連接 AE并延長交 BM于點(diǎn) F,連接 CE,CF. ? 圖 3 ① 證明 :△ CEF是等邊三角形 。 ② 若 AE=5,CE=2,求 BF的長 . 解析 遷移應(yīng)用 ①證明 :∵ △ ABC和△ ADE都是等腰三角形 , ∴ AD=AE,AB=AC, 又 ∵∠ DAE=∠ BAC=120176。, ∴∠ DAE∠ BAE=∠ BAC∠ BAE,即 ∠ DAB=∠ EAC. ∴ △ ADB≌ △ AEC(SAS). ② DC=? AD+BD. 詳解 :由問題背景可知 ,在△ ADE中 ,有 DE=? AD, 由①可知 ,BD=EC, ∴ DC=DE+EC=? AD+BD. 拓展延伸 ①證明 :如圖所示 ,連接 BE. 333? ∵ C,E關(guān)于 BM對(duì)稱 , ∴ BE=BC,FE=FC,∠ EBF=∠ CBF,∠ EFB=∠ CFB, ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,且 ∠ ABC=120176。, ∴ AB=BC=BE. 過 B作 BG⊥ AE,則 AG=GE,∠ ABG=∠ GBE, ∴∠ GBF=∠ GBE+∠ EBF=? ∠ ABC=? 120176。=60176。. ∴∠ CFB=∠ EFB=30176。,即 ∠ EFC=60176。. ∴ △ CEF為等邊三角形 . ② ∵ AE=5,∴ GE=GA=? ,∵ EF=CE=2,∴ GF=GE+EF=? , 12 1252 92在 Rt△ GBF中 ,∵∠ GFB=30176。, ∴ BF=? =? ? =3? . cosGFGFB? 92 233 3思路分析 遷移應(yīng)用 :① 根據(jù) SAS證全等 .② 由問題背景可知 ,DE=? AD,由①可得 ,EC=BD,∴ DC=DE+EC=? AD+BD. 拓展延伸 :① 要證明△ CEF為等邊三角形 ,根據(jù)對(duì)稱性可知 ,FE=FC,∠ EFB=∠ CFB,那么我們只 需證明 ∠ EFB=30176。即可 .② 在①的基礎(chǔ)上 ,易得 GE=? AE=? ,EF=2,則 GF=GE+EF=? .在 Rt△ GBF中 ,BF=? =3? . 3312 52 92cos 30GF? 37.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點(diǎn) O,點(diǎn) M,N分別為線段 BO和 CO的中點(diǎn) .當(dāng)△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離 與底邊長相等時(shí) ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB, ∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE, ∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離與底邊長相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 128.(2022福建龍巖 ,24,13分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=6,BC=8,點(diǎn) D以每秒 1個(gè)單位長度 的速度由點(diǎn) A向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng) ,到達(dá) B點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng) .M,N分別是 AD,CD的中點(diǎn) ,連接 D運(yùn) 動(dòng)的時(shí)間為 t. (1)判斷 MN與 AC的位置關(guān)系 。 (2)求點(diǎn) D由點(diǎn) A向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng)的過程中 ,線段 MN所掃過區(qū)域的面積 。 (3)若△ DMN是等腰三角形 ,求 t的值 . ? 解析 (1)在△ ADC中 ,M是 AD的中點(diǎn) ,N是 DC的中點(diǎn) , ∴ MN∥ AC.? (3分 ) (2)如圖 ,分別取△ ABC三邊中點(diǎn) E,F,G,并連接 EG,FG. ? 根據(jù)題意可知線段 MN掃過區(qū)域的面積就是 ?AFGE的面積 . ∵ AC=6,BC=8,∴ AE=3,GC=4, ∵∠ ACB=90176。,∴ S?AFGE=AEGC=12, ∴ 線段 MN掃過區(qū)域的面積為 12.? (7分 ) (3)解法一 :依題意可知 ,MD=? AD,DN=? DC,MN=?