【正文】 AFP=∠ ACB=60176。 答案 B 直角三角形中 ,兩銳角的度數(shù)和為 90176。,∠ BAC=60176。,∠ B=90176。,AD=4, ∴ BD=8, ∴ BC=BD+DC=8+4=12. 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 3分 ) B組 2022— 2022年模擬 (3)如圖 3,設 ∠ BAC=α,∠ DAE=β,請寫出 α,β之間的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)∵ BA=BD,CA=CE, ∴∠ ADB=∠ DAB,∠ AEC=∠ CAE, ∵ AB=AC,∠ BAC=90176。, ∵ AB=BD,∴∠ BAD=∠ BDA, ∵ CA=CE,∴∠ AEC=∠ CAE, ∴∠ ACD=2∠ CAE,∴∠ ADB=∠ ACD+∠ DAC, ∵∠ BAD+∠ DAC=90176。,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得 到結(jié)論 。時 ,∠ ANC的度數(shù)為 。 ? ② 連接 CN,當 θ≠ 45176?！?BAC)=90176。,設 PP39。 ∵ 0t4,∴ t=5,t=0不合題意 ,舍去 , ∴ 當 t為 ? 或 ? 或 ? 時 ,△ APQ是等腰三角形 . 9522PE QE?22393455tt? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?218 18 255 tt??52218 18 255 tt??2513218 18 255 tt??401352 2513 4013解題關(guān)鍵 利用含 t的代數(shù)式表示各線段的長是解決本題的關(guān)鍵 ,注意分類討論思想的應用 . 。 (3)當 t為何值時 ,△ APQ是等腰三角形 ? ? 解析 (1)如圖 ,過點 P作 PH⊥ AC于 H, ? ∵∠ ACB=90176。,AB=AC,BM=BN, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BNP=? (180176。, ∴ AP⊥ BC,BP=CP(等腰三角形三線合一 ), ∴ AP=BP(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ), 又 ∵∠ MBN=90176。α,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAD=∠ BDA=? ,∠ AEC=∠ CAE=? ,由于 ∠ BAC+∠ DAE=α+β=∠ BAD+∠ CAE= ? =? ,于是得到結(jié)果 . 180 2 ABD??? 180 2 ACE???360 ( )2ABD ACE??? ??1802 α??5.(2022湖南湘西保靖模擬 ,23)已知 ,在△ ABC中 ,AB= A點的直線 a從與邊 AC重合的位置 開始繞點 A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角 θ,直線 a交 BC邊于點 P(點 P不與點 B、點 C重合 ),△ BMN的邊 MN始終在直線 a上 (點 M在點 N的上方 ),且 BM=BN,連接 CN. (1)當 ∠ BAC=∠ MBN=90176。α, ∵ AB=BD, 解題關(guān)鍵 本題考查了等腰三角形的性質(zhì) ,直角三角形的性質(zhì) ,三角形內(nèi)角和定理 ,熟練掌握三 角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 . 思路分析 (1)由等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ ADB=∠ DAB,∠ AEC=∠ CAE,易知 ∠ ABC=∠ ACB= 45176。. (2)∵∠ BAC=90176。 (2)如圖 2,若 ∠ BAC=90176。, ∴∠ DAC=30176。, ∴ AD=2DE=2, ∵ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。OE+DE,∴ 當 O、 E、 D三點共線時 ,點 D到點 O的距離最大 ,此時 ,∵ 矩形 ABCD中 ,AB=2, BC=1,∴ OE=AE=? AB=1,DE=? =? =? ,∴ OD的最大值為 ? + A. 1222AD AE? 2211? 2 2解題關(guān)鍵 取 AB的中點 E,連接 OE、 DE、 OD,根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當 O、 E、 D三點共線時 ,點 D到點 O的距離最大 ,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 求出 OE的長 ,再根據(jù)勾股定理求出 DE的長 ,兩者相加即可得解 . 評析 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì) ,三角形的三邊關(guān)系 ,矩形 的性質(zhì) ,勾股定理 ,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出 O、 E、 D三點共線時 ,點 D到點 O的距離最大 是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022遼寧沈陽一模 ,9)如圖 ,折疊直角三角形 ABC紙片 ,使兩銳角頂點 A、 C重合 ,設折痕為 DE. 若 AB=4,BC=3,則 BD的長是 ? ( ) ? A.? C.? D.? 78 98 23答案 A 由題意知 AD=DC,設 DB=x,則 AD=4x,故 DC=4x, ∵∠ DBC=90176。 176。=42176。,且 AB=AC, ∴∠ ABC=∠ C=(180176。 ③ 一組對邊平行 ,另一組對邊相等的四邊形也可以是梯形 ,所以此命題不正確 。 ③ 一組對邊平行 ,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 。? a, ∴ 線段 AD的長是方程 x2+2axb2=0的一個根 . ② ∵ AD=AE,AD=EC, ∴ AE=EC=? , 由勾股定理得 a2+b2=? ,整理得 ? =? . 22AC BC? 22ab?22ab?222 4 42a a b? ? ? 22ab?2b212 ba???????ab 34思路分析 (1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 ∠ B,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 ∠ BCD,根據(jù) ∠ ACD為 ∠ BCD的余角計算即可 。 (2)設 BC=a,AC=b. ① 線段 AD的長是方程 x2+2axb2=0的一個根嗎 ?說明理由 。C中 ,由勾股定理得 MC=? x, ∴ ? x+x=? +1,解得 x=1,∴ BM=1. (2)如圖 ,當 ∠ B39。,AB=AC,∴∠ B=∠ C=45176。,BD是 ∠ ABC的平分線 .若 AB=6,則 點 D到 AB的距離是 . ? 答案 ? 3解析 ∵∠ C=90176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。在 DE的下方時 ,△ A39。=4? 。CE,∴ A39。B∥ ABA39。F∠ CA39。,點 C在邊 AM上 ,AC=4,點 B為邊 AN上一動點 ,連接 BC,△ A39。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF.∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設 CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? ,∴ CE=CF=? .選 A. 32 322.(2022湖南張家界 ,7,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=60176。β,∵ GN=GD, ∴∠ GND=∠ GDN=90176。. ∴∠ FGC=30176。. ∴∠ DAE=60176。, ∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。MC,∴ CM=? . 在 Rt△ AMC中 ,AM=? =? .∴ t=AD=2AM=? . 綜上所述 ,當 t=5或 6或 ? 時 ,△ DMN為等腰三角形 .(13分 ) 12 12 24522AC CM?185 3653659.(2022重慶 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)求點 D由點 A向點 B勻速運動的過程中 ,線段 MN所掃過區(qū)域的面積 。=60176。 ? 圖 1 遷移應用 :如圖 2,△ ABC和△ ADE都是等腰三角形 ,∠ BAC=∠ DAE=120176。是旋轉(zhuǎn)角 ,∴∠ α=∠ BCB39。 解析 ∵ △ CBA是等邊三角形 ,△ CBA旋轉(zhuǎn)到△ CB39。 ② 如圖 2,以 A為圓心 ,AC長為半徑畫弧 ,交 AB于點 E,則△ ACE就是等腰三角形 。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點 E為 AB的中點 ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。,∠ CAB的平分線交 BC于 D,DE是 AB的垂 直平分線 ,垂足為 BC=3,則 DE的長為 ? ( ) ? 答案 A ∵ DE垂直平分 AB,∴ DA=DB, ∴∠ B=∠ DAB.∵ AD平分 ∠ CAB,∴∠ CAD=∠ DAB. ∵∠ C=90176。. ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=36176。2=27176。)247。2=80176。, ∵ CD是 AB邊上的中線 , ∴ CD=? AB=? 13=. 12 124.(2022湖南株洲 ,15,3分 )如圖是“趙爽弦圖” ,△ ABH、△ BCG、△ CDF和△ DAE是四個全等 的直角三角形 ,四邊形 ABCD和 EFGH都是正方形 ,如果 AB=10,EF=2,那么 AH等于 . ? 答案 6 解析 設 AH=x,則 AE=x+2,BH=AE=x+2. 在 Rt△ ABH中 ,AB2=AH2+BH2, 即 102=x2+(x+2)2,解得 x1=6,x2=8(舍 ),故 AH=6. 5.(2022湖南邵陽 ,17,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AD=CD,DE =DF, ∴∠ ADE+∠ ADF=∠ ADF+∠ CDF,∴∠ ADE=∠ CDF, 在△ ADE和△ CDF中 ,? ∴ △ ADE≌ △ CDF. ,D E D FA D E C D FD A D C???? ? ??? ??1.(2022湖南衡陽 ,16,3分 )將一副三角板如圖放置 ,使點 A落在 DE上 ,若 BC∥ DE,則 ∠ AFC的度數(shù) 為 . ? 考點二 直角三角形 答案 75176。 解析 ∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ BAC=60176。 176。167。 176。,故選 C. 12124.(2022湖南湘潭 ,12,3分 )如圖 ,在等邊三角形 ABC中 ,點 D是邊 BC的中點 ,則 ∠ BAD= . ? 答案 30176。,∴ BC=CE=AE=? . 180 362?? ?3思路分析 由折疊的性質(zhì)可知 AE=CE,再證明△ BCE是等腰三角形即可得到 BC=CE,問題得解 . 解題關(guān)鍵 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理 ,證明 △ BCE是等腰三角形是解題的關(guān)鍵 . 6.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點 D,交邊 AC 于點 E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE,∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5= 13. 評析 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理 ,即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端 點的距離相等 . 7.(2022湖南株洲 ,22,8分 )如圖所示 ,正方形 ABCD的頂點 A在等腰直角三角形 DEF的斜邊 EF上 , EF與 BC相交于點 G,連接 CF. 求證 :△ DAE≌ △ DCF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,△ EDF是等腰直角三角形 ,∴∠ ADC=∠ EDF=90176。, ∴ AC2+BC2=AB2,即 x2+32=(10x)2. 故可列方程為 x2+32=(10x)2. 3.(2022湖南益陽 ,10,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=5,BC=12,AB=13,CD是 AB邊上的中線 ,則 CD= . ? 答案 解析 ∵ 在△ ABC中 ,AC=5,BC=12,AB=13, ∴ AC2+BC2=52+122=132=AB2, ∴ △ ABC為直角三角形 ,且 ∠ ACB=90176。50176。54176。)247。,∴∠ ABC=∠ C=72176。,點 E是 AB的中點 ,∴ AB =2CE=2? a,故選 B. 222.(2022湖北荊州 ,8,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。.E為 AB的中點 ,過點 E作 EF⊥ CD于點 AD=4 cm,則 EF的長為 cm. ? 解析 如圖 ,連接 DE,過點 E作 EM⊥ BD于點 M,設 EF交 BD于點 N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個頂點在△ ABC的其他邊上 ,