【正文】 形 ∠ DFE=∠ GFH=120176。? a, ∴ 線段 AD的長是方程 x2+2axb2=0的一個(gè)根 . ② ∵ AD=AE,AD=EC, ∴ AE=EC=? , 由勾股定理得 a2+b2=? ,整理得 ? =? . 22AC BC? 22ab?22ab?222 4 42a a b? ? ? 22ab?2b212 ba???????ab 34思路分析 (1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 ∠ B,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 ∠ BCD,根據(jù) ∠ ACD為 ∠ BCD的余角計(jì)算即可 ?！?BCD=31176。, 由題意知 BD=BC, ∴∠ BCD=∠ BDC=59176。,∠ A=28176。 (2)設(shè) BC=a,AC=b. ① 線段 AD的長是方程 x2+2axb2=0的一個(gè)根嗎 ?說明理由 。以點(diǎn) A為圓心 ,AD長為半徑畫弧 ,交線段 AC于點(diǎn) E,連接 CD. (1)若 ∠ A=28176。O,所以 EF是△ ABC的中位線 . 所以 AE=? AC=. 12解題關(guān)鍵 證出 EF是△ ABC的中位線是解題的關(guān)鍵 . 8.(2022杭州 ,21,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。的中垂 線 ,又由等腰三角形的性質(zhì)可知 AA39。,設(shè) AA39。,如圖 2,則此時(shí) A,B兩點(diǎn)間的距離是 cm. 答案 18 解析 OA=OB=18 cm,收攏后 ,∠ AOB=60176。=105176?；?∠ EBC=30176。30176。, ∴∠ EDB=∠ EBD=30176。,BD平分 ∠ ABC, ∴∠ CBD=75176。 解析 根據(jù)題意 ,知點(diǎn) E所在位置有 2種可能 ,如圖 . ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,且 ∠ A=30176。 的等腰三角形 BDE,則 ∠ EBC的度數(shù)為 . 答案 45176。. 5.(2022杭州 ,14,4分 )在菱形 ABCD中 ,∠ A=30176。, ∴ 100176。 解析 ∵ 100176。, ∴ CD∥ FA , ∴ △ BPD∽ △ BFA. ∴ ? =? . ∴ ? =? . ∴ PD=1. 故選 A. ,A E C EA E F C E PE F E P???? ? ??? ??PDFA BDBA3 PDPD? 36關(guān)鍵提示 三角形的重心是三條中線的交點(diǎn) . 2.(2022杭州 ,10,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,BC=12,E為 AC邊的中點(diǎn) ,線段 BE的垂直平分線交 邊 BC于點(diǎn) BD=x,tan∠ ACB=y,則 ? ( ) ? =3 =9 =15 =21 答案 B 如圖 ,過 A作 AM⊥ BC于 M,過 E作 EN⊥ BC于 N,連接 ED. ∵ E為 AC的中點(diǎn) ,AM∥ EN, ∴ EN=? ,MN=? , ∵ AB=AC,AM⊥ BC, 2AM 2CM∴ CM=? =6,∴ MN=3, ∵ tan∠ ACB=? =y, ∴ AM=6y,∴ EN=3y, ∵ 直線 DF是線段 BE的垂直平分線 , ∴ ED=BD=x,∵ DE2=DN2+EN2, ∴ x2=(9x)2+(3y)2,即 2xy2=9,此題選 B. 2BC6AM3.(2022杭州 ,9,3分 )已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為 m和 n(mn),過銳角頂點(diǎn)把該紙 片剪成兩個(gè)三角形 .若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形 ,則 ? ( ) +2mn+n2=0 +n2=0 +2mnn2=0 =0 答案 C 根據(jù)題意畫圖 ,如圖 .在 Rt△ ABC中 ,BCAB,且△ ABE和△ AEC均為等腰三角形 , ∴ AB=BE=m,AE=EC=nm,AE=? AB,∴ nm=? m,兩邊平方整理得 ,m2+2mnn2=0,故選 C. ? 2 2關(guān)鍵提示 本題考查直角三角形與等腰三角形 ,涉及等式變形 ,關(guān)鍵是畫出草圖 ,挖掘條件 . 4.(2022麗水 ,10,3分 )等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為 100176。. 在△ AEF和△ CEP中 , 212∵ ? ∴ △ AEF≌ △ CEP. ∴∠ FAE=∠ ECP=45176。,AC=BC,AB=6,點(diǎn) P是 Rt△ ABC的重心 ,則點(diǎn) P到 AB所在直線的距離等于 ? ( ) ? B.? C.? 232考點(diǎn)一 等腰三角形 A組 20222022年浙江中考題組 五年中考 答案 A 如圖 ,連接 CP并延長交 AB于 D,連接 BP并延長交 AC于 E,且延長到 F,使 EF=PE,連接 AF, ∵∠ C=90176。第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 167。 等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) (浙江專用 ) 1.(2022湖州 ,6,4分 )如圖 ,已知在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=BC,AB=6, ∴ AC=BC=3? , ∵ P為△ ABC的重心 , ∴ CE=AE,AD=DB, ∴ CD=? AB=3,∠ CDB=90176。,CP=AF=3DP. ∴∠ FAD=90176。,則頂角的度數(shù)是 . 答案 100176。90176。的角是頂角 , 故答案為 100176。,在同一平面內(nèi) ,以對(duì)角線 BD為底邊作頂角為 120176?；?105176。, ∴∠ ABC=150176。, 又 ∵ 以 DB為底邊的等腰三角形 DBE的頂角 ∠ DEB=120176。,∴∠ EBC=75176。=45176。+75176。. 解題關(guān)鍵 解題的關(guān)鍵是畫出草圖 ,并對(duì)點(diǎn) E所處位置進(jìn)行分類討論 . 評(píng)析 本題考查菱形和等腰三角形的性質(zhì) ,以及分類討論思想 . 6.(2022紹興 ,13,5分 )由于木質(zhì)的衣架沒有柔性 ,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作 .小敏設(shè)計(jì)了 一種衣架 ,在使用時(shí)能輕易收攏 ,然后套進(jìn)衣服后松開即可 .如圖 1,衣架桿 OA=OB=18 架收攏時(shí) ,∠ AOB=60176。,連接 AB,則△ AOB是正三角形 ,故 AB=18 cm. 7.(2022嘉興、舟山 ,14,4分 )已知一張三角形紙片 ABC,AB=AC= ,折疊該紙片 ,使點(diǎn) A落在 BC的中點(diǎn)上 ,折痕交 AC、 AB分別于點(diǎn) E、 F,則 AE的長為 . 答案 解析 連接 AA39。與 EF交于點(diǎn) ,所以 EF所在直線是 AA39?！?BC,所以 EF∥ BC,又 AO=A39。,以點(diǎn) B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交線段 AB 于點(diǎn) D。,求 ∠ ACD的度數(shù) 。 ② 若 AD=EC,求 ? 的值 . ab解析 (1)∵∠ ACB=90176。, ∴∠ B=62176。, ∴∠ ACD=90176。. (2)① 線段 AD的長是方程 x2+2axb2=0的一個(gè)根 .理由如下 : 由勾股定理得 AB=? =? , ∴ AD=? a, 解方程 x2+2axb2=0,得 x=? =177。(2)① 根據(jù)勾股定理求出 AB,進(jìn)而得到 AD,利用求根公式解 方程 ,比較即可 。,FG= OC=x,圖中 陰影部分面積為 y,則 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式是 ? ( ) ? =? x2 =? x2 =2? x2 =3? x2 323 3 3答案 B ∵ ON是 Rt∠ AOB的平分線 ,DE⊥ OC, ∴ △ DCO、△ ECO、△ ODE是等腰直角三角形 ,且 OC=DC=CE. ∵ OC=x,∴ DE=2x. 易得 DF=EF,從而 ∠ EDF=∠ DEF. ∵∠ DFE=120176。. ∴ CF=? x.∴ S△ DEF=? ? x=? x2. 在菱形 FGMH中 ,∠ GFH=120176。8=(1964)247。8=24, 則正方形 EFGH的面積為 244+22=96+4=100, ∴ 正方形 EFGH的邊長為 ? =10. 故答案為 10. 100方法指導(dǎo) 求得正方形 EFGH的面積即可求出其邊長 . 5.(2022溫州 ,15,5分 )七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造 ,被譽(yù)為“東方魔板” .小明利用七巧 板 (如圖 1所示 )中各塊板的邊長之間的關(guān)系將其拼成一個(gè)凸六邊形 (如圖 2所示 ),則該凸六邊形 的周長是 cm. ? 答案 32? +16 2解析 如圖 ,由題圖 1可得 ,AB=BC=8? cm,CD=AH=8 cm,DE=EF=FG=GH=4? cm, ? ∴ 凸六邊形的周長 =8? +8? +8+4? +4? +4? +4? +8=(32? +16)cm. 2 22 2 2 2 2 2 2方法指導(dǎo) 分析圖形的構(gòu)成 ,找等量關(guān)系 . 6.(2022臺(tái)州 ,24,14分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根 , 比如對(duì)于方程 x25x+2=0,操作步驟是 : 第一步 :根據(jù)方程系數(shù)特征 ,確定一對(duì)固定點(diǎn) A(0,1),B(5,2)。 第三步 :在移動(dòng)過程中 ,當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在 x軸上點(diǎn) C處時(shí) ,點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) m即為該方程的 一個(gè)實(shí)數(shù)根 (如圖 1)。 (2)結(jié)合圖 1,請證明“第三步”操作得到的 m就是方程 x25x+2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根 。 (4)實(shí)際上 ,(3)中的固定點(diǎn)有無數(shù)對(duì) ,一般地 ,當(dāng) m1,n1,m2,n2與 a,b,c之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí) ,點(diǎn) P(m1, n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn) ? ? ? 圖 1 圖 2 解析 圖① (1)如圖①所示 . (2)如圖② ,過點(diǎn) B作 BD⊥ x軸 ,交 x軸于點(diǎn) D. 據(jù)題意可證△ AOC∽ △ CDB, ∴ ? =? , ∴ ? =? . AOCD OCBD15 m?2m圖② ∴ m(5m)=2,∴ m25m+2=0. ∴ m是方程 x25x+2=0的實(shí)數(shù)根 . (3)方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)可化為 x2+? x+? =0. 模仿可得 A(0,1),B? 或 A? ,B? 等 . ba ca,bcaa???????10,a??????,b ca???????說明 :當(dāng)點(diǎn) A在 y軸上時(shí) ,寫出形如 A(0,t),B? (t≠ 0)的即可 . 圖③ (4)如圖③ ,P(m1,n1),Q(m2,n2). 解法一 :設(shè)方程的根為 x,根據(jù)三角形相似可得 ? =? , 上式可化為 x2(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0, 又 ∵ ax2+bx+c=0,即 x2+? x+? =0, ,bca a t???????11nxm? 22mxn?ba ca比較系數(shù)可得 m1+m2=? , m1m2+n1n2=? . 解法二 :∵ ? =? , ∴ m1+m2=? , 根據(jù)三角形相似可得 ? =? , 上式可化為 m1m2+n1n2=? . baca122mm?2baba111nxm? 212mxn?ca7.(2022臺(tái)州 ,24,14分 )定義 :如圖 1,點(diǎn) M,N把線段 AB分割成 AM,MN和 BN,若以 AM,MN,BN為邊的 三角形是一個(gè)直角三角形 ,則稱點(diǎn) M,N是線段 AB的勾股分割點(diǎn) . (1)已知點(diǎn) M,N是線段 AB的勾股分割點(diǎn) ,若 AM=2,MN=3求 BN的長 。 (3)已知點(diǎn) C是線段 AB上的一定點(diǎn) ,其位置如圖 3所示 ,請?jiān)?BC上畫一點(diǎn) D,使 C,D是線段 AB的勾 股分割點(diǎn) (要求尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,畫出一種情形即可 )。. 12又 ∵∠ DHG=∠ NHE,DH=HN, ∴ △ DGH≌ △ NEH. ∴ DG=EN=b.∴ MG=cb. ∵ GM∥ EN,∴ △ AGM∽ △ AEN.∴ ? =? .∴ ? =? . ∴ c2=2abac+bc. ∵ 點(diǎn) M,N是線段 AB的勾股分割點(diǎn) ,且 MNAM≥ BN, ∴ c2=a2+b2. ∴ a2+b2=2abac+bc,整理得 (ab)(ab+c)=0, 又 ∵ ab+c≠ 0,∴ a=b. 在△ DGH和△ CAF中 ,∠ D=∠ C,DG=CA,∠ DGH=∠ CAF, ∴ △ DGH≌ △ CAF. ∴ S△ DGH=S△ CAF. ∵ c2=a2+b2,∴ ? c2=? a2+? b2. ∴ S△ DMN=S△ ACM+S△ ENB. MGNE AMAN cbb? aac?34 34 34∵ S△ DMN=S△ DGH+S四邊形 MNHG,S△ ACM=S△ CAF+S△ AMF, ∴ S四邊形 MNHG=S△ AMF+S△ BEN. 8.(2022溫州 ,22,8分 )勾股定理神秘而美妙 ,它的證法多樣 ,其巧妙各有不同 ,其中的“面積法” 給了小聰以靈感 .他驚喜地發(fā)現(xiàn) :當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖 1或圖 2擺放時(shí) ,都可以用“面積 法”來證明 .下面是小聰利用圖 1證明勾股定理的過程 . 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 1所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。. 求證 :a2+b2=c2. 證明 :連接 . ∵ S五邊形 ACBED= , 12 12 12 12