【正文】 CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。30176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,∴ ? =? , 1212MFEF 12又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM,∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。, ∴∠ EMF=180176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。50176。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點(diǎn) N為 CM的中點(diǎn) .求證 :AN∥ EM. 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。 (2)若 ∠ BAC=50176。=22? ? =6, ∴ FE=DE=66x, 在 Rt△ EFH中 ,FE2=FH2+EH2,即 (66x)2=(3x)2+(? x)2, 解得 x1=? ,x2=? (舍去 ). ∴ DE=66x=3? 3. 33323332? 332?36.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. 過(guò)點(diǎn) E作 EH⊥ CF,交 CF于點(diǎn) H,設(shè) CE=2x, 則 BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=? x. 過(guò)點(diǎn) A作 AM⊥ BC,交 BC于點(diǎn) M, 則 BC=2CM=2AC得△ ACF,連接 EF,∴ CF=△ ADE≌ △ AFE, ∴ DE=EF. ∵∠ ACD=∠ B=30176。cos 30176。, ∴∠ DFE=60176。, 又 ∠ BAD=∠ FAD,∴∠ FAD+∠ CAE=60176。,∠ DAE=60176。.若 BD=2CE,則 DE的長(zhǎng)為 . 3答案 3? 3 3解析 如圖 ,將△ ABD沿 AD翻折得△ AFD,連接 EF, ∴ AB=AF=AC,BD=DF,∠ AFD=∠ B=30176。,故沿 BD上的中線或 ∠ EDB的平分線剪開(kāi)可得平行四 邊形 ,且都為菱形 ,求出邊長(zhǎng)即可求得周長(zhǎng) . 5.(2022湖北武漢 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=2? ,∠ BAC=120176。,∠ EBD=30176。=? =? =? ,解得 x=10,所 以 BD=20 cm,AB=10? :① 取 BD的中點(diǎn) F,連接 EF, AF,沿 EF剪開(kāi)所得四邊形 ADEF是平行四邊形 ,也是菱形 ,其邊長(zhǎng) DE為 10 cm,故其周長(zhǎng)為 40 cm。,所以 ∠ ABD=∠ EBD=∠ C=30176。,AC=30 B的直 線折疊 ,使點(diǎn) A落在斜邊 BC上的一點(diǎn) E處 ,折痕記為 BD(如圖 1),剪去△ CDE后得到雙層△ BDE (如圖 2),再沿著過(guò)△ BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi) ,使得展開(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是 平行四邊形 .則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為 cm. 答案 40或 ? ? (只寫出一個(gè)正確答案得 3分 ) 8033解析 由已知可知△ ADB≌ △ EDB,又 ∠ A=90176。,所以 BC=2? ,因?yàn)? AM∶ BM=1∶ 2,所以 AM=2,BM=4,在 Rt△ BCM中 ,BM=4,BC=2? ,所以 MC=2? . ? 同理可得 NC=2? ,又△ AMN為等邊三角形 , 所以 MN=2,過(guò) M點(diǎn)作 MH⊥ CN,垂足為 H,所以 CM2CH2=MN2HN2. 設(shè) CH=x,則 (2? )2x2=22(2? x)2, 解得 x=? , 在 Rt△ HCM中 ,CM=2? ,CH=? , 所以 MH=? ,所以 tan∠ MCN=? =? =? .故選 A. 33 777 71 3 777 1 3 773 2 17 MHCH 3 2 171 3 773313解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造包含 ∠ MCN的直角三角形 . 4.(2022安徽 ,14,5分 )在三角形紙片 ABC中 ,∠ A=90176。,所以 ∠ BAC=∠ DAC=30176。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? ,∴ CE=CF=? .選 A. 32 322.(2022山西 ,4,3分 )下圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為 《 周髀算經(jīng) 》 作注解時(shí)給出的“弦圖” , 它解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是 ? ( ) ? 答案 C 中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家 .《 周髀算經(jīng) 》 記載了古代數(shù)學(xué)家趙爽 證明勾股定理的“弦圖” .故選 C. 3.(2022江蘇揚(yáng)州 ,8,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD=6,AB⊥ BC,AD⊥ CD,∠ BAD=60176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。=2? .? (6分 ) 31.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 在 Rt△ DEF中 ,EF=DE,∠ DEC=∠ A=60176。=? . 224.(2022寧夏 ,21,6分 )在等邊△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在邊 BC,AC上 ,若 CD=2,過(guò)點(diǎn) D作 DE∥ AB,過(guò)點(diǎn) E作 EF⊥ DE,交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) EF的長(zhǎng) . 解析 ∵ △ ABC為等邊三角形 , ∴∠ A=∠ B=∠ ACB=60176。,∴∠ AFE=90176。. ∵ 點(diǎn) E是 CD的中點(diǎn) ,AB=2,∴ CE=1. ∵ FC=2BF,BC=3,∴ BF=1,FC=2. 易證△ ABF≌ △ FCE,∴ AF=EF,∠ AFB=∠ FEC, ∵∠ FEC+∠ EFC=90176。 當(dāng) AP=PD時(shí) ,P點(diǎn)為 BD的中點(diǎn) ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?PECD BPBD 210 6512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點(diǎn)在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。 ⑤ 如圖 5,作 AB的垂直平分線交 AC于點(diǎn) G,則△ AGB就是等腰三角形 。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) M,交 AC于點(diǎn) F,則△ BCM、△ BCF就是等腰三 角形 。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使 得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為 ( ) ? 考點(diǎn)一 等腰三角形 B組 20222022年全國(guó)中考題組 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) D,則△ BCD就是等腰三角形 。.求證 :a2+b2=c2. ? 圖 1 證明 :連接 DB,過(guò)點(diǎn) D作△ CBD的 BC邊上的高 DF,則 DF=EC=ba. ∵ S四邊形 ADCB=S△ ACD+S△ ABC=? b2+? ab, 又 ∵ S四邊形 ADCB=S△ ADB+S△ DCB=? c2+? a(ba), 12 1212 12∴ ? b2+? ab=? c2+? a(ba). ∴ a2+b2=c2. 請(qǐng)參照上述證法 ,利用圖 2完成下面的證明 . 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 2所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。 (4)如圖 4,已知點(diǎn) M,N是線段 AB的勾股分割點(diǎn) ,MNAM≥ BN,△ AMC,△ MND和△ NBE均是等邊 三角形 ,AE分別交 CM,DM,DN于點(diǎn) F,G,H,若 H是 DN的中點(diǎn) ,試探究 S△ AMF,S△ BEN和 S四邊形 MNHG的數(shù)量 關(guān)系 ,并說(shuō)明理由 . ? ? 解析 (1)當(dāng) MN為最長(zhǎng)線段時(shí) , ∵ 點(diǎn) M,N是線段 AB的勾股分割點(diǎn) , ∴ BN=? =? =? . 當(dāng) BN為最長(zhǎng)線段時(shí) , ∵ 點(diǎn) M,N是線段 AB的勾股分割點(diǎn) , ∴ BN=? =? =? . 綜上 ,BN=? 或 ? . (2)證明 :∵ FG是△ ABC的中位線 ,∴ FG∥ BC. ∴ ? =? =? =1. ∴ 點(diǎn) M,N分別是 AD,AE的中點(diǎn) . ∴ BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG. ∵ 點(diǎn) D,E是線段 BC的勾股分割點(diǎn) ,且 ECDE≥ BD, ∴ EC2=BD2+DE2. ∴ (2NG)2=(2FM)2+(2MN)2. 22MN AM? 94? 522MN AM? 94? 135 13AMMD ANNE AGGC∴ NG2=FM2+MN2. ∴ 點(diǎn) M,N是線段 FG的勾股分割點(diǎn) . (3)如圖 . ? (4)S四邊形 MNHG=S△ AMF+S△ BEN. 理由 :設(shè) AM=a,BN=b,MN=c, ∵ H是 DN的中點(diǎn) ,∴ DH=HN=? c. ∵ △ MND,△ BNE均為等邊三角形 , ∴∠ D=∠ DNE=60176。 (2)如圖 2,在△ ABC中 ,FG是中位線 ,點(diǎn) D,E是線段 BC的勾股分割點(diǎn) ,且 ECDE≥ BD,連接 AD,AE 分別交 FG于點(diǎn) M,N,求證 :點(diǎn) M,N是線段 FG的勾股分割點(diǎn) 。 (3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置 ,若要以此方法找到一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0,b24ac≥ 0)的實(shí)數(shù)根 ,請(qǐng)你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo) 。 第四步 :調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置 ,當(dāng)它落在 x軸上另一點(diǎn) D處時(shí) ,點(diǎn) D 的橫坐標(biāo) n即為該方程 的另一個(gè)實(shí)數(shù)根 . (1)在圖 2 中 ,按照“第四步”的操作方法作出點(diǎn) D(請(qǐng)保留作出點(diǎn) D時(shí)直角三角板兩條直角邊 的痕跡 )。 第二步 :在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板 ,使一條直角邊恒過(guò)點(diǎn) A,另一條直角邊恒過(guò)點(diǎn) B。8=192247。,又 FG=FE, ∴ S菱形 FGMH=2S△ DEF. ∴ y=3S△ DEF=? B. 33 1233 333解題關(guān)鍵 分析出 S菱形 FGMH=2S△ DEF,并用含 x的式子表示出 DE和 CF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022臺(tái)州 ,8,4分 )如果將長(zhǎng)為 6 cm,寬為 5 cm的長(zhǎng)方形紙片折疊一次 ,那么這條折痕的長(zhǎng)不可 能是 ? ( ) cm ? cm cm cm 2答案 A 因?yàn)榫匦蔚淖铋L(zhǎng)折痕是對(duì)角線 ,對(duì)角線長(zhǎng) =? =? cm8 cm,故選 A. 2265? 614.(2022麗水 ,13,3分 )我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理 ,創(chuàng)造了一幅“弦圖” ,后人 稱其為“趙爽弦圖” ,如圖 1所示 .在圖 2中 ,若正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 14,正方形 IJKL的邊長(zhǎng)為 2, 且 IJ∥ AB,則正方形 EFGH的邊長(zhǎng)為 . 答案 10 解析 題圖 2中有 8個(gè)全等的直角三角形 ,每個(gè)的面積為 (141422)247。2 x,∴∠ EDF=30176。② 根據(jù)勾股定理及等量關(guān)系列出等式 ,化簡(jiǎn)、整理即可 . 方法總結(jié) 本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法 ,掌握一元二次方程的求根公式、 熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵 . 1.(2022寧波 ,12,4分 )下圖是一個(gè)由 5張紙片拼成的平行四邊形 ,相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫 隙 ,其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為 S1,另兩張直角三角形紙片的面積都為 S2,中間一 張正方形紙片的面積為 S3,則這個(gè)平行四邊形的面積一定可以表示為 ? ( ) ? +S3 +4S3 考點(diǎn)二 直角三角形 答案 A 設(shè)等腰直角三角形紙片的直角邊長(zhǎng)為 a,中間一張正方形紙片的邊長(zhǎng)為 m,則 S1=? a2, S3=m2,S2=? (am)(a+m)=? (a2m2),∴ S2=? (2S1S3),即 S3=2S12S2,∴ 所求平行四邊形的面積為 2S1+ 2S2+S3=2S1+2S2+(2S12S2)= A. 1212 12 12解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是引入字母表示出紙片的邊長(zhǎng) ,從而找出 S S S3之間的關(guān)系 . 2.(2022溫州 ,9,4分 )如圖 ,在 Rt∠ AOB的平分線 ON上依次取點(diǎn) C,F,M,過(guò)點(diǎn) C作 DE⊥ OC,分別交 OA,OB于點(diǎn) D,E,以 FM為對(duì)角線作菱