【正文】 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? , ∴ CE=CF=? .選 A. 32322.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點(diǎn) M與點(diǎn) C被湖隔開 ,若測(cè)得 AM的長(zhǎng) 為 km,則 M,C兩點(diǎn)間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 123.(2022福建 ,13,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。.(結(jié)論不寫不扣分 ) (3)如圖 ,CD,AE就是所求的三分線 , ? 設(shè) ∠ B=α,那么 ∠ DCB=∠ DCA=∠ EAC=α, (2)如圖 , ∠ ADE=∠ AED=2α, 設(shè) AE=AD=a,BD=CD=y, ∵ △ AEC∽ △ BDC,∴ a∶ y=2∶ 3. 又 ∵ △ ACD∽ △ ABC,∴ 2∶ a=(a+y)∶ 2, 解得 a=? ? ,y=? ? , 即三分線長(zhǎng)分別是 ? ? 和 ? ? . 2510351025103510評(píng)析 本題考查了學(xué)生的理解能力及動(dòng)手、創(chuàng)新能力 ,知識(shí)方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角 間的關(guān)系及等腰三角形知識(shí) ,是一道綜合性比較強(qiáng)的題目 . 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (3)如圖 3,△ ABC中 ,AC=2,BC=3,∠ C=2∠ B,請(qǐng)畫出△ ABC的三分線 ,并求出三分線的長(zhǎng) . 解析 (1)畫圖如下 (任畫其中兩個(gè)即可 ). ? ? ? 當(dāng) AD=AE時(shí) ,2x+x=30+30,∴ x=20. 當(dāng) AD=DE時(shí) ,30+30+2x+x=180,∴ x=40. 當(dāng) AE=DE時(shí) ,不存在 .(不寫不扣分 ) ∴∠ C的度數(shù)是 20176。,AD和 DE是△ ABC的三分線 ,點(diǎn) D在 BC邊上 ,點(diǎn) E在 AC邊上 ,且 AD=BD,DE= ????兩 條 線 段 ∠ C=x176。的等腰三角形的三分線 ,并標(biāo)注每個(gè)等腰三 角形頂角的度數(shù) ?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 13.(2022浙江寧波 ,25,12分 )課本的作業(yè)題中有這樣一道題 :把一張頂角為 36176。. ∴∠ CBE=90176。,∴∠ MON=135176。. 于是在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) ②如圖 ,由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. 又 ∵ AO∥ ED,∴∠ CED=∠ ACE. ∴∠ PEQ=∠ CED∠ CEP∠ DEQ=∠ ACE∠ CEP∠ CPE=∠ ACE∠ RCE=∠ ACR=90176。,∴∠ CRD=30176。. ∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE=∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) 12 12(2)①證明 :如圖 ,連接 OR. ∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , ∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點(diǎn) O,點(diǎn) M,N分別為線段 BO和 CO的中點(diǎn) .當(dāng)△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離 與底邊長(zhǎng)相等時(shí) ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB, ∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE, ∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離與底邊長(zhǎng)相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 1211.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側(cè)作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點(diǎn) C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點(diǎn) . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。=60176。, ∴∠ BAD=∠ FCG. 121212180 2 BAC???又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, ∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA), ∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。45176。, ∴∠ FCG=75176。,∠ DCG=45176。, ∴ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。 (2)作直線 CD. 所以直線 CD就是所求作的垂直平分線 . 老師說 :“小蕓的作法正確 .” 請(qǐng)回答 :小蕓的作圖依據(jù)是 . 12答案 到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 ,兩點(diǎn)確定一條直線 解析 由小蕓的作法可知 ,AC=BC,AD=BD,所以由“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線 段的垂直平分線上”可知點(diǎn) C、 D在線段 AB的垂直平分線上 ,再由“兩點(diǎn)確定一條直線”可 知直線 CD就是所求作的垂直平分線 . 7.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176?！?DAC=55176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點(diǎn) , ∴∠ CAD=∠ BAD=35176。 176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。tan 30176。,故選 A. 124.(2022福建龍巖 ,8,4分 )如圖 ,在邊長(zhǎng)為 ? 的等邊三角形 ABC中 ,過點(diǎn) C垂直于 BC的直線交 ∠ ABC的平分線于點(diǎn) P,則點(diǎn) P到邊 AB所在直線的距離為 ? ( ) ? A.? B.? C.? 333 323答案 D 由題意可得 ,∠ PBC=30176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。 176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 ⑤如圖 5,作 AB的垂直平分線交 AC于點(diǎn) G,則△ AGB就是等腰三角形 。 ③如圖 3,以 C為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點(diǎn) F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角 形 。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) D,則△ BCD就是等腰三角形 。,∴∠ EAD=90176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。, 22∴∠ MQN=∠ PAC,∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關(guān)鍵 解決本題第 (2)問的關(guān)鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關(guān)系 . 7.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。+∠ QAC=45176?！?PAB=45176。,∴∠ PAB=45176。,P是線段 BC上一動(dòng)點(diǎn) (與點(diǎn) B,C不重合 ), 連接 AP,延長(zhǎng) BC至點(diǎn) Q,使得 CQ=CP,過點(diǎn) Q作 QH⊥ AP于點(diǎn) H,延長(zhǎng)交 AB于點(diǎn) M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點(diǎn) N是 CM的中點(diǎn) ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點(diǎn) , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。30176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,∴ ? =? , 又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, 1212MFEF 1212 12 12∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM,∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。, ∴∠ EMF=180176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。50176。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點(diǎn) N為 CM的中點(diǎn) .求證 :AN∥ EM. ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。 (2)若 ∠ BAC=50176。=2? . 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長(zhǎng)為 2或 2? 或 2? . 323322AB BP? 224 (2 3)? 28 73 7評(píng)析 本題是以等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)為背景的分類討論型問題 ,考查了含特殊角的直角三角 形的邊角關(guān)系 ,勾股定理等知識(shí) ,本題易漏掉某種情況 ,屬易錯(cuò)題 . 5.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 所以 BP=OBcos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。,所以 ∠ OAP=30176。,因?yàn)?OA=OB=2,所以 OP=OA=OB=2,又 ∠ AOC=∠ BOP=60176。,因?yàn)?OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因?yàn)?∠ AOC=60176。.設(shè) AB的中 點(diǎn)為 O,則 P在以 AB為直徑的圓上 .當(dāng)點(diǎn) O,P,C三點(diǎn)共線時(shí) ,線段 CP最短 ,∵ OB=? AB=3,BC=4,∴ OC=? =5,又 OP=? AB=3,∴ 線段 CP長(zhǎng)的最小值為 53=2,故選 B. 122234?124.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,∠ AOC=60176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。C是直角三角形 ,∴ B39。=90176。=3? ,在△ AB39。C39。C的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? D.? 32 21答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。=90176。 ∠ ACB=∠ AC39。與 點(diǎn) A重合 ,點(diǎn) C39。C39。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE,又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 212223 832思路分析 首先利用 AC的長(zhǎng)及 ∠ C的正弦求出 AD的長(zhǎng) ,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角 形中 30度角的性質(zhì)確定 DE和 AE的數(shù)量關(guān)系 ,最后求出 AE的長(zhǎng) . 2.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。=4? ,過點(diǎn) E作 EF⊥ AB于點(diǎn) F,∵ BE是 ∠ ABC的平分線 ,∴ DE=EF,∵∠ ABC=60176。,AD⊥ BC,垂足為 D,∠ ABC的平 分線交 AD于點(diǎn) E,則 AE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? ? C.? ? D.? ? 2 2432832考點(diǎn)二 直角三角形 答案 D ∵ AC=8,∠ C=45176。. ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=8,∠ ABC=60176。. ∴∠ FGC=30176。, 點(diǎn) G為 AB的中點(diǎn) , ∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。∠ DAG=90176。. ∴ AE=? AD,∴