【正文】 ? 設(shè) ∠ B=α,那么 ∠ DCB=∠ DCA=∠ EAC=α,∠ ADE=∠ AED=2α,設(shè) AE=AD=a,BD=CD=y, ∵ △ AEC∽ △ BDC,∴ a∶ y=2∶ 3. 又 ∵ △ ACD∽ △ ABC,∴ 2∶ a=(a+y)∶ 2, 解得 a=? ? ,y=? ? , 即三分線長(zhǎng)分別是 ? ? 和 ? ? . 2510351025103510評(píng)析 本題考查了學(xué)生的理解能力及動(dòng)手、創(chuàng)新能力 ,知識(shí)方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角 間的關(guān)系及等腰三角形知識(shí) ,是一道綜合性比較強(qiáng)的題目 . 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=8,∠ ABC=60176。 (3)如圖 3,△ ABC中 ,AC=2,BC=3,∠ C=2∠ B,請(qǐng)畫出△ ABC的三分線 ,并求出三分線的長(zhǎng) . 解析 (1)畫圖如下 (任畫其中兩個(gè)即可 ). ? ? (2)如圖 , ? 當(dāng) AD=AE時(shí) ,2x+x=30+30,∴ x=20. 當(dāng) AD=DE時(shí) ,30+30+2x+x=180,∴ x=40. 當(dāng) AE=DE時(shí) ,不存在 .(不寫不扣分 ) ∴∠ C的度數(shù)是 20176。,AD和 DE是△ ABC的三分線 ,點(diǎn) D在 BC邊上 ,點(diǎn) E在 AC邊上 ,且 AD=BD,DE= ????兩 條 線 段 ∠ C=x176。的等腰三角形的三分線 ,并標(biāo)注每個(gè)等腰三 角形頂角的度數(shù) ?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 13.(2022浙江寧波 ,25,12分 )課本的作業(yè)題中有這樣一道題 :把一張頂角為 36176。. ∴∠ CBE=90176。,∴∠ MON=135176。. 于是在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) 12② 如圖 ,由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. 又 ∵ AO∥ ED,∴∠ CED=∠ ACE. ∴∠ PEQ=∠ CED∠ CEP∠ DEQ=∠ ACE∠ CEP∠ CPE=∠ ACE∠ RCE=∠ ACR=90176。,∴∠ CRD=30176。. ∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE=∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)① 證明 :如圖 ,連接 OR. 12 12∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , ∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點(diǎn) O,點(diǎn) M,N分別為線段 BO和 CO的中點(diǎn) .當(dāng)△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離 與底邊長(zhǎng)相等時(shí) ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB, ∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE, ∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離與底邊長(zhǎng)相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 1211.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側(cè)作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點(diǎn) C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點(diǎn) . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。=60176。, ∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, ∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA), ∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。45176。, ∴∠ FCG=75176。,∠ DCG=45176。, ∴ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。 (2)作直線 CD. 所以直線 CD就是所求作的垂直平分線 . 老師說 :“小蕓的作法正確 .” 請(qǐng)回答 :小蕓的作圖依據(jù)是 . 12答案 到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 ,兩點(diǎn)確定一條直線 解析 由小蕓的作法可知 ,AC=BC,AD=BD,所以由“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線 段的垂直平分線上”可知點(diǎn) C、 D在線段 AB的垂直平分線上 ,再由“兩點(diǎn)確定一條直線”可 知直線 CD就是所求作的垂直平分線 . 8.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。 (3)作直線 PQ. 所以直線 PQ就是所求作的垂線 . ? 請(qǐng)回答 :該作圖的依據(jù)是 . 答案 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 。. 6.(2022北京 ,16,3分 )下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點(diǎn) P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經(jīng)過點(diǎn) P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點(diǎn) A,B。2=80176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。,故選 C. 5.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個(gè)底角為 50176。,AD⊥ DC, ∴ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。 176。 176。,故選 A. 124.(2022江蘇蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D為 BC中點(diǎn) ,∠ BAD=35176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。 176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 ⑤ 如圖 5,作 AB的垂直平分線交 AC于點(diǎn) G,則△ AGB就是等腰三角形 。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點(diǎn) F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角 形 。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) D,則△ BCD就是等腰三角形 。=70176。.因?yàn)?∠ ADC=∠ B+∠ BAD,所以 ∠ BAD=∠ ADC∠ B=130176。+25176。,所以 ∠ ADC=1 80176。 176。 176。,∠ C=25176。,∴∠ EAD=90176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。, ∴∠ MQN=∠ PAC,∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關(guān)鍵 解決本題第 (2)問的關(guān)鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關(guān)系 . 7.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。+∠ QAC=45176?！?PAB=45176。,∴∠ PAB=45176。,P是線段 BC上一動(dòng)點(diǎn) (與點(diǎn) B,C不重合 ), 連接 AP,延長(zhǎng) BC至點(diǎn) Q,使得 CQ=CP,過點(diǎn) Q作 QH⊥ AP于點(diǎn) H,延長(zhǎng)交 AB于點(diǎn) M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。)AD AD? 32 222( 39。,39。=?= ? =? ,∴ BD= CD39。,在 Rt△ CDD39。=? = ? =4? ,易知 ∠ D39。,在 Rt△ DAD39。.又 ∠ DAD39。中 , ? ∴ △ BAD≌ △ CAD39。+∠ CAD,即 ∠ BAD=∠ CAD39。,DD39。⊥ AD,且使 AD39。=2? . 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長(zhǎng)為 2或 2? 或 2? . 323322AB BP? 224 (2 3)? 28 73 7? 評(píng)析 本題是以等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)為背景的分類討論型問題 ,考查了含特殊角的直角三角 形的邊角關(guān)系 ,勾股定理等知識(shí) ,本題易漏掉某種情況 ,屬易錯(cuò)題 . 5.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=4,CD=3,∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45176。, 所以 BP=OBcos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。,所以 ∠ OAP=30176。,因?yàn)?OA=OB=2,所以 OP=OA=OB=2,又 ∠ AOC=∠ BOP=60176。,因?yàn)?OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因?yàn)?∠ AOC=60176。,可以排除 . 方法總結(jié) 解對(duì)稱 (折疊 )型問題 ,當(dāng)對(duì)稱軸過定點(diǎn)時(shí) ,一般要找出對(duì)稱中的定長(zhǎng)線段 ,以定點(diǎn)為 圓心 ,定長(zhǎng)為半徑作輔助圓來確定對(duì)稱點(diǎn)的軌跡是較為有效的方法 .再根據(jù)題目中所要求的條 件 ,結(jié)合全等、相似或勾股定理等計(jì)算得出結(jié)果 . 5.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,∠ AOC=60176。時(shí)分別計(jì)算 AB的長(zhǎng) ,顯然 ∠ EA39。EF或 ∠ A39。EF不可能為直角三角形 ,當(dāng)點(diǎn) A39?？梢栽谥本€ DE的下方或上方 .分類 討論 ,當(dāng)點(diǎn) A39。. 綜上所述 ,當(dāng)△ A39。F∠ CA39。③ 當(dāng)點(diǎn) A39。 tan 60176。CB=60176。E=EC,∴ △ A39。C=A39。EC=∠ ACE=∠ A39。時(shí) ,A39。 在直線 DE上方時(shí) ,如圖 ∠ A39。C為正方形 ,∴ AB=AC=4。,∴ A39。FE=90176。(2)① 當(dāng)點(diǎn) A39。F,∴ △ A39。,∠ EA39。在直線 DE下方時(shí) ,如圖 1,∵∠ CA39?！?A39。 BC與△ ABC關(guān)于 BC所在直線對(duì)稱 .點(diǎn) D,E分別為 AC,BC的中點(diǎn) ,連接 DE并延長(zhǎng)交 A39。.設(shè) AB的中 點(diǎn)為 O,則 P在以 AB為直徑的圓上 .當(dāng)點(diǎn) O,P,C三點(diǎn)共線時(shí) ,線段 CP最短 ,∵ OB=? AB=3,BC=4,∴ OC=? =5,又 OP=? AB=3,∴ 線段 CP長(zhǎng)的最小值為 53=2,故選 B. 122234?123.(2022云南 ,6,3分 )在△ ABC中 ,AB=? ,AC=5,若 BC邊上的高等于 3,則 BC邊的長(zhǎng)為 . 34答案 1或 9 解析 分兩種情況討論 : ① BC邊上的高在△ ABC內(nèi)時(shí) ,如圖 ,過 A作 AD⊥ BC于點(diǎn) D. 在 Rt△ ABD中 ,∵ AB=? ,AD=3,∴ BD=? =5. 在 Rt△ ACD中 ,∵ AC=5,AD=3,∴ CD=? =4.∴ BC=BD+CD=9. ? ② BC邊上的高位于△ ABC外時(shí) ,如圖 ,同①可求得 BD=5,CD=4, ∴ BC=1. ? 綜上 ,BC的長(zhǎng)為 1或 9. 34 22AB AD?22AC AD?思路分析 根據(jù)題意畫圖 ,要考慮全面 ,利用勾股定理解直角三角形即可 . 易錯(cuò)警示 本題容易只考慮 BC邊上的高在△ ABC內(nèi)的情況而導(dǎo)致漏解 . 4.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,∠ MAN=90176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。C是直角三角形 ,∴ B39。=90176。=3? ,在△ AB39。C39。C的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? D.? 21答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。=90176。 ∠ ACB=∠ AC39。與 點(diǎn) A重合 ,點(diǎn) C39。C39。. ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 3 2考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。. ∴∠ FGC=30176。, 點(diǎn) G為 AB的中點(diǎn) , ∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176?！?DAG=90176。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。. ∴∠ DAE=60176。,∠ DAH=30176。,∴ AF=DF, ∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。, ∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。,∠ BAC=60176。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是不是