【正文】 0176。=180176。,所以 ∠ CDB+∠ CAD=360176。,又因為 ∠ ACB=90176。基礎題組 考點一 等腰三角形 三年模擬 1.(2022安徽巢湖三中二模 ,8)如圖 ,D是△ ABC內(nèi)一點 ,已知 ∠ ACB=90176。,∠ ACD=30176。, ∴∠ A=60176。.若 AC=a,求 CI的長 . ? 解析 ∵ Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。,再用同樣的方法作 Rt△ FGC,∠ FCG=90176。,CD⊥ AB交 AB于 CD為較短的 直角邊向△ CDB的同側(cè)作 Rt△ DEC,滿足 ∠ E=30176。. ∵ AC=AD=2, ∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 121222BM MN? 26.(2022廣東 ,21,7分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長 . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點 ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。)AD AD? 32 222( 39。,39。=?= ? =? , ∴ BD=CD39。DA+∠ ADC =90176。,由勾股定理得 DD39。.又 ∠ DAD39。中 , ? ∴ △ BAD≌ △ CAD39。+∠ CAD,即 ∠ BAD=∠ CAD39。,DD39?！?AD,且使 AD39。,所以 OH=6,所以 OM=OHMH=61= C. ? 12評析 解決本題的關鍵是構(gòu)造直角三角形 . 3.(2022貴州遵義 ,16,4分 )我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理 ,創(chuàng)制了一幅“弦圖” ,后人 稱其為“趙爽弦圖” (如圖 (1)),圖 (2)由弦圖變化得到 ,它由八個全等的直角三角形拼接而成 ,記 圖中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面積分別為 S S EFGH的 邊長為 2,則 S1+S2+S3= . ? 答案 12 解析 設 AH=a,AE=b,EH=c,則 c=2,所以 S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(ab)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12. 4.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=4,CD=3,∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45176。BE=CF. 1.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點 M與點 C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點間的距離為 ? ( ) ? km km km km 考點二 直角三角形 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點 ,∴ MC=? AB=AM= D. 122.(2022江蘇揚州 ,7,3分 )如圖 ,已知 ∠ AOB=60176?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 13.(2022浙江杭州 ,18,8分 )在△ ABC中 ,AB=AC,點 E,F分別在 AB,AC上 ,AE=AF,BF與 CE相交于點 :PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段 . ? 解析 在△ AFB和△ AEC中 , AF=AE,∠ A為公共角 ,AB=AC, 所以△ AFB≌ △ AEC, 所以 ∠ ABF=∠ ACE. 因為 AB=AC,所以 ∠ ABC=∠ ACB, 所以 ∠ PBC=∠ PCB, 所以 PB=PC. 其余相等的線段有 :BF=CE。. ∴∠ CBE=90176。=60176。, ∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, 121212180 2 BAC???∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA),∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。45176。, ∴∠ FCG=75176。,∠ DCG=45176。, ∵ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。. 評析 本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理 ,屬容易題 . 11.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。. ? 綜上 ,該等腰三角形底角的度數(shù)是 63176。)247。, 此時 ,底角 =(180176。+90176。2=63176。54176。=54176。 解析 在三角形 ABC中 ,設 AB=AC,BD⊥ AC于 D. ① 若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176。,則該等腰三角 形的底角的度數(shù)為 . 答案 63176。∠ A∠ B=105176。,∴∠ A=∠ CDA=50176。,則 ∠ ACB的度數(shù)為 . ? 12答案 105176。若第三邊長 為 14 cm,則 7+14=21 cm14 cm,符合三角形三邊關系 ,所以周長為 7+14+14=35 cm. 8.(2022江蘇蘇州 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC= ∠ BPC=? ∠ BAC,則 tan∠ BPC= . ? 12答案 ? 43解析 過 A作等腰△ ABC底邊 BC上的高 AD,垂足為 D,則 AD 平分 ∠ BAC,且 D為 BC的中點 ,所以 BD=4,根據(jù)勾股定理可求出 AD=3,又因為 ∠ BPC=? ∠ BAC,所以 ∠ BPC=∠ BAD,所以 tan∠ BPC =tan∠ BAD=? =? . 12BDAD 439.(2022河南 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點 B、 C為圓心 ,以大于 ? BC的 長為半徑作弧 ,兩弧相交于 M、 N兩點 。tan 60176。,因為 ∠ BOP=∠ AOC=60176。, 所以 AP=AB, 所以△ OBP為等邊三角形 , 所以 ∠ OBP=60176。, 所以△ POA為等邊三角形 , 所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。,則當△ PAB為直角三角形時 ,AP的長為 . ? 答案 2或 2? 或 2? 3 7解析 由題意知 ,滿足條件的點 P有三個位置 .如圖① ,∠ APB=90176。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。 (3)作直線 PQ. 所以直線 PQ就是所求作的垂線 . 請回答 :該作圖的依據(jù)是 . 解析 連接 PA、 QA、 PB、 PA =QA,PB=QB,又 AB=AB, ∴ △ PAB≌ △ QAB(三邊分別相等的兩個三角形全等 ), ∴∠ PAB=∠ QAB(全等三角形的對應角相等 ). 由兩點確定一條直線作直線 PQ. ∵ PA =QA, ∴ AB⊥ PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合 ). 答案 三邊分別相等的兩個三角形全等 。點的坐標為 ? ,故選 C. ? 5 583 83453 83 203 2 0 4 5,33??????4.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點 D,交邊 AC 于點 E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB, ∴ AE=BE, ∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. 評析 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理 ,即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端 點的距離相等 . 5.(2022北京 ,16,3分 )下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點 P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經(jīng)過點 P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點 A,B。 BD=x,則有 42x2=32(3x)2,解得 x=? ,所以 BD=? ,所 以 O39。A39。D中 ,O39。BD和 Rt△ O39。D,垂足為 D,因為頂點 A 的坐 標為 (2,? ),所以 C點坐標為 (2,0),所以 OC=2,AC=? ,在 Rt△ OAC中 ,根據(jù)勾股定理得 OA=3,所 以 AB=△ AOB為等腰三角形 ,所以 C為 OB的中點 ,所以 B點坐標為 (4,0),故 BO39。作 BA39。在 x軸上 ,則點 O39。O39。. ∴∠ BAC=40176。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C. ∵ AD∥ BC, ∴∠ 1=∠ C=70176。 176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且△ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過點 P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN,∠ MPN=60176。, ∴∠ EAD=90176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。, 22∴∠ MQN=∠ PAC, ∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關鍵 解決本題第 (2)問的關鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關系 . 9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。+∠ QAC=45176?！?PAB=45176。,∴∠ PAB=45176。,P是線段 BC上一動點 (與點 B,C不重合 ), 連接 AP,延長 BC至點 Q,使得 CQ=CP,過點 Q作 QH⊥ AP于點 H,延長交 AB于點 M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。,BC=3, ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ CBD=? ∠ ABC=30176。,∠ A=30176。,∠ A=30176。,AB=AC,BC=20, ∴ AB=AC=10? , ∵ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE∥ BC,DE=? BC=10,BD=CE=5? . ① 當 DN⊥ BC時 ,△ OMN為直角三角形 (如圖 ), 易知△ BDN為等腰直角三角形 , ∴ BN=DN=5, ∵ BM=3, ∴ MN=2, ∵ DE∥ BC, ∴ △ ODE∽ △ ONM, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 OD=? . 2122ODON DENM 5 ODOD? 102 256② 當 DN⊥ ME時 ,△ OMN為直角三角形 (如圖 ),過點 E作 EF⊥ BC,垂足為點 F. 易知△ CEF為等腰直角三角形 , ∴ EF=FC=5, ∵ BM=3,∴ MF=2035=12, 在 Rt△ MFE中 ,ME=? =? =13, ∵ DE∥ BC,∴∠ DEO=∠ EMF, ∵∠ DOE=∠ EFM=90176。當 CP=2時 ,根據(jù)勾股定理得 AP= ? =? =? ,故 AP的長為 ? 或 ? . 2231? 1022AC CP? 2232? 13 10 136.(2022遼寧沈陽 ,16,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。C∽ △ DCA,然后利用相似比求出 AE. ? =? ,將 BM=? ,AD=? 代入 (*)可得 AE=. 綜上 ,AE=3或 . 222 ( 3)? 7 37775.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。C、 AD、 BB39。A是直角時 ,如圖 2, 疑難突破 本題的難點是 ∠ FB39。39。39。C2=BC2=12,? =? ,可求得 BB39。C中 , 由 BB39。,∴ BM=? BB39。,延長 DE 交 BB39。C∽ △ DCA,∴∠ CDA=∠ B39。B∽ △ AB39。B =∠ CB39。D,∴ AC=AB39。 A =∠ ACD=90176。C=90176。E,∴ B39。C、 AD、 BB39。,∴ BE=EB39。E,∠ EB39。FA是直角時 ,如圖 1, ? 圖 1 ∵∠ C是直角 ,∠ ABC=∠ DBF,∴ △ BCA∽ △ BFD,∴ ? =? ,又 ∵ BC=2? ,且易知 BD=? ,AB =4,∴ BF=? 2? =? ,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。F為 直角三角形 ,則 AE的