【正文】 =AD,∴ BM=MN. (2)∵∠ BAD=60176。 (2)若 ∠ BAD=60176。二是連接 AM,計算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點(diǎn) ,從而 AN⊥ CM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM. MFEF 12NFAF 127.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。,下面證 AN∥ EM有兩個思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出 ∠ EMF。)=75176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。, ? 12 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,∠ MEF=30176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176?！?CME=100176。=80176。=40176。,M為斜邊 BD的中點(diǎn) , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。,求 ∠ EMF的大小 。.點(diǎn) D為邊 AC上一點(diǎn) ,DE⊥ AB于點(diǎn) M為 BD的中點(diǎn) ,CM的延長線交 AB于點(diǎn) F. (1)求證 :CM=EM。,∠ ABP=30176。,則 AP=? ,∴ CP=2? 或 CP=4? 。,則 CP的長為 . 答案 2? 或 4? 或 6 3 3解析 圖 1中 ,∠ ABC=60176。,有一個銳角為 60176。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。,∴∠ ADG=4 5176。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM=2? cm,MN=EM=2 cm,∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN=2 ? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6一題多解 過點(diǎn) A作 AG⊥ CD的延長線于點(diǎn) G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。.E為 AB的中點(diǎn) ,過點(diǎn) E作 EF⊥ CD于點(diǎn) AD=4 cm,則 EF的長為 cm. ? 答案 (? +? ) 2 6解析 如圖 ,連接 DE,過點(diǎn) E作 EM⊥ BD于點(diǎn) M,設(shè) EF交 BD于點(diǎn) N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。, ∠ A=60176。與點(diǎn) A重合 , ? 此時 BM=B39。MC=90176。C=x, 在 Rt△ MB39。. 設(shè) BM=x,則 B39。時 ,∠ B39。. (1)當(dāng) ∠ MB39。C為直角三角 形 ,則 BM的長為 . ? 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,BC=? +1,點(diǎn) M,N分別是邊 BC,AB上 的動點(diǎn) ,沿 MN所在的直線折疊 ∠ B,使點(diǎn) B的對應(yīng)點(diǎn) B39。.(結(jié)論不寫不扣分 ) (3)如圖 ,CD,AE就是所求的三分線 , ? 設(shè) ∠ B=α,那么 ∠ DCB=∠ DCA=∠ EAC=α, ∠ ADE=∠ AED=2α,? (8分 ) 設(shè) AE=AD=a,BD=CD=y, ∵ △ AEC∽ △ BDC, ∴ a∶ y=2∶ 3.① 又 ∵ △ ACD∽ △ ABC,∴ 2∶ a=(a+y)∶ 2,② ? (10分 ) 由①②解得 a=? ? ,y=? ? , 即三分線長分別是 ? ? 和 ? ? .? (12分 ) 2510351025103510評析 本題考查了學(xué)生的理解能力及動手、創(chuàng)新能力 ,知識方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角 間的關(guān)系及等腰三角形知識 ,是一道綜合性比較強(qiáng)的題目 . 考點(diǎn) 2 直角三角形 1.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點(diǎn) M與點(diǎn) C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點(diǎn)間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 122.(2022福建 ,15,4分 )把兩個同樣大小的含 45176。 (3)如圖 3,△ ABC中 ,AC=2,BC=3,∠ C=2∠ B,請畫出△ ABC的三分線 ,并求出三分線的長 . 解析 (1)畫圖如下 (任畫其中兩個即可 ). ? ? (4分 ) (2)如圖 , ? 當(dāng) AD=AE時 ,2x+x=30+30,∴ x=20.? (6分 ) 當(dāng) AD=DE時 ,30+30+2x+x=180,∴ x=40.? (7分 ) 當(dāng) AE=DE時 ,不存在 .(不寫不扣分 ) ∴∠ C的度數(shù)是 20176。,AD和 DE是△ ABC的三分線 ,點(diǎn) D在 BC邊上 ,點(diǎn) E在 AC邊上 ,且 AD=BD,DE= ????兩 條 線 段 ∠ C=x176。的等腰三角形的三分線 ,并標(biāo)注每個等腰三 角形頂角的度數(shù) 。.? (8分 ) ∴ 在 Rt△ DCE中 ,DC2+CE2=DE2, ∴ DC2+BC2=AC2,? (9分 ) 即四邊形 ABCD是勾股四邊形 .? (10分 ) 評析 本題考查勾股定理、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì) ,屬中等難度題 . 9.(2022浙江寧波 ,25,12分 )課本的作業(yè)題中有這樣一道題 :把一張頂角為 36176。.? (7分 ) ∵∠ DCB=30176。 ② 求證 :DC2+BC2=AC2,即四邊形 ABCD是勾股四邊形 . ? 解析 (1)正方形、矩形、直角梯形 .(任選兩個均可 )? (2分 ) (2)證明 :① ∵ △ ABC≌ △ DBE, ∴ BC=BE.? (4分 ) ∵∠ CBE=60176。得到△ DBE,連接 AD,DC, ∠ DCB=30176。,CQ=CM=PK.∴ MC∥ PK. ∴ 四邊形 PKCM為平行四邊形 . ∴ CK=PM,∴ PA =PM. 8.(2022甘肅蘭州 ,27,10分 )給出定義 :若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線 的平方 ,則稱該四邊形為勾股四邊形 . (1)在你學(xué)過的特殊四邊形中 ,寫出兩種勾股四邊形的名稱 。. 由△ ABC為等邊三角形 ,可得△ ABP≌ △ CBK. ∴ AP= AP=AQ,可得 ∠ APB=∠ AQC. ∵ AB=AC,∠ ABC=∠ ACB=60176。, 得到 BK,連接 KP,CK,MC,如圖 . ? ∴ △ BPK為等邊三角形 .∴ KB=BP=PK,∠ KPB=∠ KBP=60176。, CM=CQ. ∴ NP=BP=CQ=CM. ∵∠ PCM=∠ ACM+∠ ACQ=120176。. 由 AP=AQ, 可得 ∠ APB=∠ AQC. 又 ∵∠ B=∠ ACB=60176。. (2)① 補(bǔ)全的圖形如圖所示 . ? ② 證法一 :過點(diǎn) A作 AH⊥ BC于點(diǎn) H,如圖 . ? 由△ ABC為等邊三角形 ,AP=AQ, 可得 ∠ PAB=∠ QAC. ∵ 點(diǎn) Q,M關(guān)于直線 AC對稱 , ∴∠ QAC=∠ MAC,AQ=AM. ∴∠ PAB=∠ MAC,AM=AP. ∴∠ PAM=∠ BAC=60176。. ∴∠ APC=∠ BAP+∠ B=80176。 ② 小茹通過觀察、實驗 ,提出猜想 :在點(diǎn) P,Q運(yùn)動的過程中 ,始終有 PA = 同學(xué)們進(jìn)行交流 ,通過討論 ,形成了證明該猜想的幾種想法 : 想法 1:要證 PA =PM,只需證△ APM是等邊三角形 . 想法 2:在 BA上取一點(diǎn) N,使得 BN=BP,要證 PA =PM,只需證△ ANP≌ △ PCM. 想法 3:將線段 BP繞點(diǎn) B順時針旋轉(zhuǎn) 60176。,求 ∠ AQB的度數(shù) 。, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 6.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。. ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=36176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。=90176。60176。.∴∠ FEC=30176。.故選 B. 4.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在邊長為 4的等邊△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC的中點(diǎn) ,EF⊥ AC于點(diǎn) F, G為 EF的中點(diǎn) ,連接 DG,則 DG的長為 . ? 答案 ? 192解析 連接 DE,在等邊△ ABC中 , ? ∵ D、 E分別是 AB、 BC的中點(diǎn) ,∴ DE∥ AC,DE=EC=? AC=2. ∴∠ DEB=∠ C=60176。. ∴∠ B=70176。 176。 176。,故選 C. 3.(2022吉林長春 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,過點(diǎn) A作 AD∥ ∠ 1=70176。 答案 C 由作圖知 BA=BD,∴∠ BAD=∠ BDA=70176。 176。,則 ∠ DAC的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。. 2.(2022吉林 ,5,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,以點(diǎn) B為圓心 ,以 BA長為半徑畫弧交邊 BC于點(diǎn) D,連接 AD. 若 ∠ B=40176。45176。,且點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對等角 ,得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。 176。 176。. ? 圖② 思路分析 根據(jù)勾股定理的逆定理或直徑所對的圓周角是直角畫圖即可 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn) 1 等腰三角形 1.(2022福建 ,5,4分 )如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為 D,點(diǎn) E在線段 AD上 ,∠ EBC=45176。 ∵ △ OA5A6為等腰直角三角形 , ∴ A5A6=OA5=4? ,OA6=? OA5=8. …… ∴ 線段 OAn的長度為 (? )n. 2 22 22 22 22 22 22解題關(guān)鍵 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理 ,熟練應(yīng)用勾股定理找出規(guī) 律是解題關(guān)鍵 . 7.(2022徐州 ,17,3分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=3,點(diǎn) Q在對角線 AC上 ,且 AQ=AD,連接 DQ并 延長 ,與邊 BC交于點(diǎn) P,則線段 AP= . ? 答案 ? 17解析 在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=3=BC, ∴ AC=5, 又 ∵ AQ=AD=3,AD∥ CP, ∴ CQ=53=2, ∠ CQP=∠ AQD=∠ ADQ=∠ CPQ, ∴ CP=CQ=2, ∴ BP=32=1, ∴ 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? . 22AB BP? 2241?178.(2022無錫 ,15,2分 )如圖 ,△ ABC中 ,CD⊥ AB于 D,E是 AC的中點(diǎn) ,若 AD=6,DE=5,則 CD的長等于 . ? 答案 8 解析 ∵ CD⊥ AB,AE=CE, ∴ AC=2DE=10, 則在 Rt△ ADC中 , CD=? =? =8. 22AC AD? 2210 6?9.(2022南京 ,22,8分 )“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無處不在 . 如圖 ,已知 ∠ ,再用兩種不同的方法判斷 ∠ AOB是不是直角 (僅限用直 尺和圓規(guī) ). ? 解析 本題答案不唯一 ,下列解法供參考 . 解法一 :如圖① ,在 OA、 OB上分別截取 OC=4,OD=3. 若 CD=5,則 ∠ AOB=90176。 ∵ △ OA3A4為等腰直角三角形 , ∴ A3A4=OA3=2? ,OA4=? OA3=4。 ∵ △ OA1A2為等腰直角三角形 , ∴ A1A2=OA1=? ,OA2=? OA1=2。,② AQ=PQ,∠ PQB=90176。,AC=6,BC=8,∴ AB=10, ∵ PQ∥ AC, ∴ △ BPQ∽ △ BCA, ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ x=? , ∴ AQ=? . ? 圖 1 ② 如圖 2,當(dāng) AQ=PQ,∠ PQB=90176。,AC=6,BC=8,P、 Q分別為邊 BC、 AB上的兩 個