【正文】 ∠ CEF=∠ CPH. 由 (2)可得 ∠ CEF=∠ EDG,∠ C=∠ DEG. ∵ D,E分別是 AB,BC的中點(diǎn) , ∴ DE=? AC=PC.∴ △ DEG≌ △ PCH.∴ CH=EG.∴ EH=BG=1. CECFCPCH1212.(2022安徽 ,17,8分 )如圖 ,在邊長為 1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中 ,給出了格點(diǎn)△ ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn) ). (1)將△ ABC向上平移 3個(gè)單位得到△ A1B1C1,請畫出△ A1B1C1?！?AFE∠ CFH=∠ EFH. 又 ∵∠ FEH=∠ CEF, ∴ △ EFH∽ △ ECF. BDBE BGBD∴ ? =? , 即 EF2=EH (3)在圖②中 ,取 CE上一點(diǎn) H,使 ∠ CFH=∠ B,若 BG=1,求 EH的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ DM∥ EF, ∴∠ AMD=∠ AFE. ∵∠ AFE=∠ A, ∴∠ AMD=∠ A. ∴ DM=DA. (2)證明 :∵ D,E分別為 AB,BC的中點(diǎn) , ∴ DE∥ AC. ∴∠ DEB=∠ C,∠ BDE=∠ A. 又 ∠ AFE=∠ A, ∴∠ BDE=∠ AFE. ∴∠ BDG+∠ GDE=∠ C+∠ FEC. ∵∠ BDG=∠ C, ∴∠ EDG=∠ FEC. ∴ △ DEG∽ △ ECF. (3)解法一 :如圖所示 , ∵∠ BDG=∠ C=∠ DEB,∠ B=∠ B, ∴ △ BDG∽ △ BED. ∴ ? =? ,即 BD2=BE,∴ ? =? . 又△ AGD∽ △ EGF,∴ ? =? =? .? (14分 ) (本小題解法有多種 ,如可按圖 2和圖 3作輔助線求解 ,過程略 ) ? ? 圖② 圖③ 12 AGEG2ADEF AGEG 2評析 本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形全等和相似 的判定方法和性質(zhì) ,屬于拓展探索型題 ,學(xué)生要有較強(qiáng)的基本功和綜合分析問題的能力 . 11.(2022福建福州 ,25,13分 )如圖① ,在銳角△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC中點(diǎn) ,F為 AC上一點(diǎn) ,且 ∠ AFE=∠ A,DM∥ EF交 AC于點(diǎn) M. (1)求證 :DM=DA。 (3)如圖 2,若 AD、 BC所在直線互相垂直 ,求 ? 的值 . ? ? ADEF解析 (1)證明 :由題意知直線 GE是 AB的垂直平分線 ,∴ GA=GB. 同理 GD=GC. 在△ AGD和△ BGC中 ,∵ GA=GB,∠ AGD=∠ BGC,GD=GC, ∴ △ AGD≌ △ BGC.∴ AD=BC.? (5分 ) (2)證明 :∵∠ AGD=∠ BGC,∴∠ AGB=∠ DGC. 在△ AGB和△ DGC中 ,? =? ,∠ AGB=∠ DGC, ∴ △ AGB∽ △ DGC.∴ ? =? .? (8分 ) 又 ∠ AGE=∠ DGF,∴∠ AGD=∠ EGF,∴ △ AGD∽ △ EGF.? (10分 ) (3)如圖① ,延長 AD交 GB于點(diǎn) M,交 BC的延長線于點(diǎn) H,則 AH⊥ BH. ? GAGD GBGCAGDG EGFG圖① 由△ AGD≌ △ BGC,知 ∠ GAD=∠ GBC. 在△ GAM和△ HBM中 ,∠ GAD=∠ GBC,∠ GMA=∠ HMB, ∴∠ AGB=∠ AHB=90176。 (2)若 ? =? ,求 ? 的值 . ? ADAC DFCGADAC 12AFFG解析 (1)證明 :因?yàn)?∠ AED=∠ B,∠ DAE=∠ CAB, 所以 ∠ ADF=∠ C,又因?yàn)?? =? , 所以△ ADF∽ △ ACG. (2)因?yàn)椤?ADF∽ △ ACG,所以 ? =? , 又因?yàn)?? =? ,所以 ? =? , 所以 ? =1. ADAC DFCGADAC AFAGADAC 12AFAG 12AFFG10.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) E、 F分別是 AB、 CD的中點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AB的 垂線 ,過點(diǎn) F作 CD的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) G,連接 GA、 GB、 GC、 GD、 EF,若 ∠ AGD=∠ BGC. (1)求證 :AD=BC。. ∵∠ BAC=∠ DAE, ∴ △ ABC∽ △ ADE,? (3分 ) ∴ ? =? .? (5分 ) ∵ BC=1 m,DE= m,BD= m. ∴ ? =? , ∴ AB=17 m. ∴ 河寬 AB為 17 m.? (7分 ) ABAD BCDE? 11 . 5思路分析 首先根據(jù) ∠ ABC=∠ ADE,∠ BAC=∠ DAE判定△ ABC∽ △ ADE,再根據(jù)相似三角形 的性質(zhì)得出 ? =? ,進(jìn)而可求得 AB的值 . ABAD BCDE方法指導(dǎo) 解與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng) .① 審題 :結(jié)合圖形通讀題干 ,第一時(shí) 間鎖定采用的知識點(diǎn) ,如 :觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 ,如果含有 ,考慮利用銳角三角函數(shù) 解題 .如果僅涉及三角形的邊長 ,則采用相似三角形的性質(zhì)解題 .② 篩選信息 :由于實(shí)際問題文 字閱讀量較大 ,因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 .③ 構(gòu)造圖形 :只要是與三角形有關(guān)的實(shí)際問題都會 涉及圖形的構(gòu)造 ,如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 ,則可直接利用所給圖形進(jìn)行計(jì)算 ,必要時(shí)可添 加輔助線 。39。39。39。中 ,AM=? =? =? ,所以 ? =? ,即 x=? . 綜上所述 ,BE的長為 ? 或 ? . 39。M=2時(shí) ,B39。中 ,AM=? =? =2? ,所以 ? =? ,即 x=? 。M=1時(shí) ,B39。NE,∴ ? =? , 設(shè) B39。, ∴ △ AMB39。=∠ ENB39。M=∠ B39。EN=90176。. ∵∠ EB39。M+∠ EB39。E=∠ ABC=90176。為線段 MN的三等分點(diǎn) ,∴ B39。作 AD的垂線 ,分別交 AD,BC于點(diǎn) M, B39。,要使△ ABC∽ △ EPD, 則 ? =? =2, 所以 EP=2AB=6,點(diǎn) P所在的格點(diǎn)為 P3,故選 C. EPAB DEAC評析 本題考查相似三角形的判定 ,設(shè)計(jì)巧妙 ,屬容易題 . 6.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,已知 AD∥ BC,AB⊥ BC,AB= E為射線 BC上一個(gè)動點(diǎn) ,連接 AE,將△ ABE沿 AE折疊 ,點(diǎn) B落在點(diǎn) B39。選項(xiàng) D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是 2∶ 3,且兩邊的夾 角相等 ,所以兩個(gè)三角形也是相似的 ,故選 C. 評析 本題考查相似三角形的判定 ,熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵 . 4.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,有一塊矩形紙片 ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊 ,使得 AD 邊落在 AB邊上 ,折痕為 AE,再將△ AED沿 DE向右翻折 ,AE與 BC的交點(diǎn)為 F,則△ CEF的面積為 ? ( ) ? A.? B.? 12 98答案 C 在題中的第三個(gè)圖中 ,AD=6,AB=4,DE=6,因?yàn)?BF∥ DE,所以△ ABF∽ △ ADE,所以 ? =? ,即 ? =? ,解得 BF=4,所以 CF=2,所以 S△ CEF=? CEDC=84=32, ∴ AC=4? ,故選 B. 12ACBC DCAC2評析 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) ,三角形的中線 ,屬容易題 . 3.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ A=78176。,CD為 AB邊上的高 ,CE為 AB邊上的中 線 ,AD=2,CE=5,則 CD=? ( ) ? ? 3答案 C 在 Rt△ ABC中 ,因?yàn)?CE為 AB邊上的中線 ,所以 AB=2CE=25=10,又 AD=2,所以 BD=8, 易證△ ACD∽ △ CBD,則 CD2=AD(5,2),C39。的各頂點(diǎn)坐標(biāo) . ? 解析 (1)作圖正確給滿分 ,不分步給分 . ? (3分 ) (2)A39。B39。C39。② 通過解直角三角形 求線段長 ,所以對于此類問題要從相似或解直角三角形入手 ,通過作輔助線等尋找解題思路 . 10.(2022湖南郴州 ,19,6分 )在 1313的網(wǎng)格圖中 ,已知△ ABC和點(diǎn) M(1,2). (1)以點(diǎn) M為位似中心 ,位似比為 2,畫出△ ABC的位似圖形△ A39。. 在 Rt△ ACB中 ,AC=3,∠ ABC=30176。,∠ CAE=30176。=? =? =? . ∵∠ ACB=∠ DCE=90176。. 在 Rt△ BAE中 ,AB=6? ,AE=3, ∴ BE=? =9. ∴ AD=9.? (5分 ) (2)連接 BE,如圖 .? (6分 ) ? 在 Rt△ ACB和 Rt△ DCE中 ,∠ ABC=∠ DEC=30176。, ∴∠ ACB+∠ ACE=∠ DCE+∠ ACE, 即 ∠ BCE=∠ ACD. 又 ∵ AC=BC,DC=EC, ∴ △ ACD≌ △ BCE,∴ AD=BE.? (3分 ) ∵ AC=BC=6,∴ AB=6? .? (4分 ) ∵∠ BAC=∠ CAE=45176。,∠ ABC=∠ CED=∠ CAE=30176。,求 AD的長 。 (3)作 AG⊥ BE,CH⊥ BE,先判斷出 ? =? =? ,同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH,所以 ? =? = ? =? ,設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進(jìn)一步得出關(guān)于 m,n的等式 ,解得 n=2m,最后得出結(jié)論 . PNAB PMAP 255 5GHEG ACAD 52BGCH AGBHABBC 43方法指導(dǎo) 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法 ,本題涉及的相似三角形 ,要尋 找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 .同時(shí)要注意挖掘題干中不變的幾何特征 ,根據(jù)特征尋方法 . 9.(2022山東威海 ,23,10分 ) (1)如圖① ,已知 ∠ ACB=∠ DCE=90176。,∴ CH∥ AG∥ DE, ∴ ? =? =? , 同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH, ∴ ? =? =? =? , 設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴ GH=BG+BH=4m+3n, ∵ AB=AE,AG⊥ BE,∴ EG=BG=4m, BCAC 35BCAB 34GHEG ACAD 52BGCH AGBH ABBC 43∴ ? =? =? ,∴ n=2m,