【正文】 ) ? A.? B.? C.? D.? 32ba32ab43ba43ab答案 C ∵ AB=AC,∴∠ ABC=∠ ACB,又 ∵∠ CBD=∠ A,∴ △ ABC∽ △ BDC,又 ∵∠ DCE=∠ CBD,∴ △ BCD∽ △ CDE,又 ∵∠ EDF=∠ DCE,∴ △ CDE∽ △ DFE,∴ ? =? ,? =? ,? = ? ,且易知 BC=BD=b,EC=DC,∴ CD=? ,DE=? ,EF=? ,故選 C. ACBC BCDCCDBD DECDEFDEDECE 2ba 32ba43ba思路分析 易證△ ABC∽ △ BDC∽ △ CDE∽ △ DFE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求 EF. 3.(2022安徽淮北五校聯(lián)考 ,10)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=6,AC=4,P是 AC的中點(diǎn) ,過點(diǎn) P的直線交 AB 邊于點(diǎn) Q,若以 A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形和以 A,B,C為頂點(diǎn)的三角形相似 ,則 AQ的長為 ? ( ) ? B.? ? ? 43 34 43答案 D 依據(jù)相似三角形的判定定理 ,過點(diǎn) P的直線 PQ應(yīng)有兩種作法 :一是過點(diǎn) P作 PQ∥ BC, 如圖 1,則△ AQP∽ △ ABC,此時 ? =? ,所以 AQ=? =3。的夾角 ,樹干 AB旁有一座與地 面垂直的鐵塔 DE,測得 BE=6米 ,塔高 DE=9米 .在某一時刻的太陽照射下 ,未折斷的樹干 AB落在 地面上的影子 FB長為 4米 ,且點(diǎn) F、 B、 C、 E在同一條直線上 ,點(diǎn) F、 A、 D也在同一條直線上 , 求這棵大樹沒有被折斷時的高度 . ? 解析 根據(jù)題意 ,得 AB⊥ EF,DE⊥ EF, ∴∠ ABC=90176。∠ ABC, ∴∠ EDF+∠ ABC=180176。(3)作 D關(guān)于直線 AE的對稱點(diǎn) F, 連接 EF、 CF、 AF,然后運(yùn)用 (2)的方法證明即可 . 5.(2022安徽馬鞍山含山一模 ,23)如圖 1,點(diǎn) D位于△ ABC的邊 AC上 ,已知 AB是 AD與 AC的比例中 項 . (1)求證 :∠ ACB=∠ ABD?？傻?∠ BAD=∠ CAF,再證明△ ABD≌ △ ACF,然后證明 ∠ ECF=90176。, 在 Rt△ CEF中 ,由勾股定理得 EF2=CF2+CE2, 所以 DE2=BD2+CE2. ,A B A CB A D C A FA D A F???? ? ??? ??思路分析 (1)由點(diǎn) D、 F關(guān)于直線 AE對稱可得 ∠ EAF=∠ DAE,AD=AF,再根據(jù)已知條件可得 ∠ BAC=∠ DAF,問題解決 。+45176。(∠ ACB+∠ ACF)=180176。, ∴ △ ABC是等腰直角三角形 ,∴∠ B=∠ ACB=45176。,∠ BAC=90176。, 在 Rt△ CEF中 ,由勾股定理得 EF2=CF2+CE2, 所以 DE2=BD2+CE2. (3)DE2=BD2+CE2成立 ,理由如下 : 作點(diǎn) D關(guān)于直線 AE的對稱點(diǎn) F,連接 EF、 CF、 AF. ? 由軸對稱的性質(zhì)知 EF=DE,AF=AD, ∵ α=45176。+45176。, ∴ △ ABC是等腰直角三角形 , ABAD ACAF,A B A CB A D C A FA D A F???? ? ??? ??∴∠ B=∠ ACB=45176。∠ CAD=90176?！?CAD. 又 ∵∠ CAF=∠ DAE+∠ EAF∠ CAD=45176。,點(diǎn) E在 BC的延長線上 ,則等式 DE2=BD2+CE2還能成立嗎 ?請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 點(diǎn) D關(guān)于直線 AE的對稱點(diǎn)為 F, ∴∠ EAF=∠ DAE,AD=AF, 又 ∵∠ BAC=2∠ DAE,∴∠ BAC=∠ DAF, 又 ∵ AB=AC,∴ ? =? ,∴ △ ADF∽ △ ABC. (2)證明 :∵ 點(diǎn) D關(guān)于直線 AE的對稱點(diǎn)為 F, ∴ EF=DE,AF=AD, ∵ α=45176。,求證 :DE2=BD2+CE2。當(dāng) AD與 AB是對 應(yīng)邊時 ,由相似可得 ? =? ,代入數(shù)據(jù)可得 AE=9,所以 AE=16或 9. AEAB ADACAEAC ADAB3.(2022安徽合肥蜀山一模 ,7)如圖 ,D、 E分別是△ ABC的邊 AB、 BC上的點(diǎn) ,且 DE∥ AC,若 S△ BDE∶ S△ CDE=1∶ 3,則 S△ DOE∶ S△ AOC的值為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 13 14 19 116答案 D ∵ S△ BDE∶ S△ CDE=1∶ 3,∴ BE∶ EC=1∶ 3, ∴ BE∶ BC=1∶ 4,∵ DE∥ AC,∴ △ BDE∽ △ BAC,△ DOE∽ △ COA,∴ ? =? =? ,∴ ? = ? =? .故選 D. DEAC BEBC 14DOEAOCSS2DEAC??????1164.(2022安徽阜陽三模 ,23)在△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=2∠ DAE=2α. (1)如圖 1,若點(diǎn) D關(guān)于直線 AE的對稱點(diǎn)為 F,求證 :△ ADF∽ △ ABC。 (2)在 (1)的基礎(chǔ)上繼續(xù)作圖 :將△ ABC向左平移 3個單位得到△ A1B1C1,再將△ A1B1C1以原點(diǎn) O為 位似中心放大 2倍 ,得到△ A2B2C2,使得點(diǎn) A1的對應(yīng)點(diǎn) A2在第一象限 。得到△ A1B1C1,畫出△ A1B1C1。C39。=CC39。C39。=OC39。C39。C39。和△ ABC位似 ,且位似比為 1∶ 2。B39。C39。為所求作 . (2)如圖 ,△ DPE為所求作 (答案不唯一 ). ? 6(2022安徽十校第四次聯(lián)考 ,18)如圖 ,在 68的網(wǎng)格中 ,每個小正方形的邊長均為 1,點(diǎn) O和△ ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上 . (1)以 O為位似中心 ,在網(wǎng)格中作△ A39。B39。C39。 (2)以圖中的 O為位似中心 ,在△ A1B1C1的同側(cè)將△ A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍 ,得到 △ A2B2C2. ? 解析 (1)如圖 ,△ A1B1C1為所求作 . (2)如圖 ,△ A2B2C2為所求作 . ? 5.(2022安徽合肥包河一模 ,17)如圖 ,在由邊長為 1個單位長度的小正方形組成的 1212網(wǎng)格中 , 給出了格點(diǎn)△ ABC和直線 l. (1)畫出△ ABC關(guān)于直線 l對稱的格點(diǎn)△ A39。D中 ,對應(yīng)邊成比例 ,對應(yīng)角不 一定相等 ,故 D錯誤 .故選 C. 2.(2022安徽蕪湖第二十九中學(xué)二模 ,9)如圖 ,平行四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) E,F分別是 AD,AB的中點(diǎn) , EF交 AC于點(diǎn) G,那么 AG∶ GC的值為 ? ( ) ? ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 3 答案 B 連接 BD,與 AC相交于點(diǎn) O,∵ 點(diǎn) E,F分別是 AD,AB的中點(diǎn) ,∴ EF是△ ABD的中位線 ,∴ EF∥ DB,且 EF=? DB,∴ △ AEF∽ △ ADB,∴ ? =? =? ,即 G為 AO的中點(diǎn) ,∴ AG=GO,又 OA= OC,∴ AG∶ GC=1∶ 3,故選 B. ? 12 AGAO EFDB123.(2022安徽淮北五校聯(lián)考 ,4)如圖 ,以 O為位似中心 ,將△ ABC放大得到△ DEF,若 AD=OA,DE=6, 則 AB=? ( ) ? 答案 B 因?yàn)?AD=OA,所以 A為 OD的中點(diǎn) ,所以 AB=? DE=3. 124.(2022安徽阜陽三模 ,17)如圖 ,在邊長為 1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中 ,按要求畫出△ A1B1C1和△ A2B2C2. (1)把△ ABC繞點(diǎn) O按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。B中 ,兩個五邊形對 應(yīng)角相等 ,對應(yīng)邊不一定成比例 ,故不一定相似 ,故 B錯誤 ?！?AFE∠ CFH=∠ C=∠ BDG. ∵ DE∥ AC,DM∥ EF,∴ 四邊形 DEFM是平行四邊形 . ∴ EF=DM=AD=BD.∴ △ BDN≌ △ EFH. ∴ BN=EH,∠ BND=∠ EHF. ∴∠ BNG=∠ FHC.∵∠ BDG=∠ C,∠ DBG=∠ CFH, ∴∠ BGD=∠ FHC.∴∠ BNG=∠ BGD.∴ BN=BG.∴ EH=BG=1. 解法三 :如圖 c,取 AC中點(diǎn) P,連接 PD,PE,PH,則 PE∥ AB. ? 圖 c ∴∠ PEC=∠ ∠ CFH=∠ B,∴∠ PEC=∠ CFH. 又 ∠ C=∠ C,∴ △ CEP∽ △ CFH.∴ ? =? . ∴ △ CEF∽ △ CPH. CECFCPCH∴∠ CFE=∠ (2)可得 ∠ CFE=∠ DGE, ∴∠ CHP=∠ DGE.∴ PH∥ DG. ∵ D,P分別為 AB,AC的中點(diǎn) ,∴ DP∥ GH,DP=? BC=BE. ∴ 四邊形 DGHP是平行四邊形 . ∴ DP=GH=BE.∴ EH=BG=1. 解法四 :如圖 d,作△ EHF的外接圓交 AC于另一點(diǎn) P,連接 PE,PH. ? 圖 d 則 ∠ HPC=∠ HEF,∠ FHC=∠ CPE. ∵∠ B=∠ CFH,∠ C=∠ C,∴∠ A=∠ CHF.∴∠ A=∠ CPE. 12∴ PE∥ AB. ∵ DE∥ AC,∴ 四邊形 ADEP是平行四邊形 . ∴ DE=AP=? AC.∴ DE=CP. 由 (2)可得 ∠ GDE=∠ CEF,∠ DEB=∠ C, ∴∠ GDE=∠ CPH.∴ △ DEG≌ △ PCH. ∴ GE=HC.∴ EH=BG=1. 解法五 :如圖 e,取 AC中點(diǎn) P,連接 PE,PH,則 PE∥ AB. ? 圖 e ∴∠ PEC=∠ ∠ CFH=∠ B, 12∴∠ PEC=∠ ∠ C=∠ C, ∴ △ CEP∽ △ CFH.∴ ? =? . ∴ △ CEF∽ △ CPH.∴∠ CEF=∠ CPH. 由 (2)可得 ∠ CEF=∠ EDG,∠ C=∠ DEG. ∵ D,E分別是 AB,BC的中點(diǎn) , ∴ DE=? AC=PC.∴ △ DEG≌ △ PCH. ∴ CH=EG.∴ EH=BG=1. CECFCPCH12A組 2022— 2022年模擬 ∠ AFE∠ CFH=∠ EFH. 又 ∵∠ FEH=∠ CEF, ∴ △ EFH∽ △ ECF. ∴ ? =? ,即 EF2=EH (3)在圖②中 ,取 CE上一點(diǎn) H,使 ∠ CFH=∠ B,若 BG=1,求 EH的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ DM∥ EF, ∴∠ AMD=∠ AFE. ∵∠ AFE=∠ A, ∴∠ AMD=∠ A.∴ DM=DA. (2)證明 :∵ D,E分別為 AB,BC的中點(diǎn) , ∴ DE∥ AC. ∴∠ DEB=∠ C,∠ BDE=∠ A. 又 ∠ AFE=∠ A, ∴∠ BDE=∠ AFE. ∴∠ BDG+∠ GDE=∠ C+∠ FEC. 又 ∵∠ BDG=∠ C, ∴∠ EDG=∠ FEC. ∴ △ DEG∽ △ ECF. ? 圖 a ∵∠ BDG=∠ C=∠ DEB,∠ B=∠ B, ∴ △ BDG∽ △ BED. ∴ ? =? ,即 BD2=BE4 CD=4CD2. ∴ BD=2CD.? (6分 ) ∵ △ CDB∽ △ BDA, ∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ AB=6.? (10分 ) 3DH 3 4DHCDBD BDADCDBD BCAB 2CDCD 3AB9.(2022福建福州 ,25,13分 )如圖① ,在銳角△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC中點(diǎn) ,F為 AC上一點(diǎn) ,且 ∠ AFE=∠ A,DM∥ EF交 AC于點(diǎn) M. (1)求證 :DM=DA。, ∵∠ ACB=∠ DCH, ∴ △ ABC∽ △ DHC,∴ ? =? . ∵ AC=3CD,BC=3, ∴ CH=1.∴ BH=BC+CH=4. 在 Rt△ BHD中 ,cos∠ HBD=? , ∴ BDcos∠ HBD=BH=4.? (4分 ) (2)解法一 :∵∠ A=∠ CBD,∠ ABC=∠ BHD, ∴ △ ABC∽ △ BHD.? (6分 ) ∴ ? =? . ∵ △ ABC∽ △ DHC, ∴ ? =? =? ,∴ AB=3DH. ACDC BCHCBHBDBCHD ABBHABDH ACDC31∴ ? =? ,DH=2,∴ AB=6.? (10分