【正文】 △ BDF, ∴ ? =? =? , 又 ∵ CE=DE,CF=DF, ∴ ? =? ,? =? , 可得 2CE=3CFCE, 在△ AED中 ,∵∠ A=60176。cos∠ ABC=(105t)? =(84t)cm. 而 BQ=(84t)cm,∴ PD=BQ,又 PD∥ BQ,∴ 四邊形 PDQB是平行四邊形 .∴ 點(diǎn) M是 PQ和 BD的中點(diǎn) . 過(guò)點(diǎn) M作 EF∥ AC交 BC,BA于 E,F兩點(diǎn) . 則 ? =? =1,即 E為 BC的中點(diǎn) .同理 ,F為 BA的中點(diǎn) . ∴ PQ的中點(diǎn) M在△ ABC的中位線 EF上 . ? 810BEEC BMMD1.(2022四川綿陽(yáng) ,12,3分 )如圖 ,D是等邊△ ABC邊 AB上的一點(diǎn) ,且 AD∶ DB=1∶ 2,現(xiàn)將△ ABC折 疊 ,使點(diǎn) C與 D重合 ,折痕為 EF,點(diǎn) E、 F分別在 AC和 BC上 ,則 CE∶ CF=? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 45 56 67考點(diǎn)二 相似圖形的判定 答案 B 設(shè)等邊△ ABC的邊長(zhǎng)為 3, 則 AD=1,BD=2,由折疊的性質(zhì)可知 ∠ C=∠ EDF=60176。,∴ tan∠ CAQ=tan∠ DCP. ∴ ? =? .∴ ? =? ,∴ t=? . CQAC PDCD 46 t384t t? 78(3)證明 :如圖 ,過(guò)點(diǎn) P作 PD⊥ AC于 D,連接 DQ、 BD,BD交 PQ于 M,則 PD=AP (3)試證明 :PQ的中點(diǎn)在△ ABC的一條中位線上 . ? ? 解析 (1)由題意知 ,BP=5t cm,CQ=4t cm,∴ BQ=(84t)cm. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =10 cm. 當(dāng)△ PBQ∽ △ ABC時(shí) ,有 ? =? ,即 ? =? ,解得 t=1. 當(dāng)△ QBP∽ △ ABC時(shí) ,有 ? =? ,即 ? =? ,解得 t=? . ∴ △ PBQ與△ ABC相似時(shí) ,t=1或 ? . 22AC BC?BPAB BQBC 510t 848 t?BQAB BPBC 8410t? 58 t 32413241(2)如圖 ,過(guò)點(diǎn) P作 PD⊥ BC于 D. 依題意 ,得 BP=5t cm,CQ=4t PD=PB,AC=6 cm,BC=8 cm,動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) B出發(fā) ,在 BA邊上以每秒 5 cm的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng) ,同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) C出發(fā) ,在 CB邊上以每秒 4 cm的速 度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng) ,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒 (0t2),連接 PQ. (1)若△ BPQ與△ ABC相似 ,求 t的值 。C項(xiàng) ,正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖 形 ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 。ABAB??????492.(2022山東聊城 ,7,3分 )下列命題中的真命題是 ? ( ) 答案 D A項(xiàng) ,在兩邊和一角中 ,當(dāng)角為兩邊中一邊的對(duì)角時(shí) ,這兩個(gè)三角形不一定全等 ,故本 選項(xiàng)錯(cuò)誤 。ABC DA B C DSS 四 邊 形四 邊 形239。 39。OA23 39。39。D39。B39。是以點(diǎn) O為位似中心的位似圖形 ,若 OA∶ OA39。C39。 6.(2022紹興 ,20,8分 )課本中有一道作業(yè)題 : ? ? 圖 1 圖 2 (2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形 ,如圖 2,這樣 ,此矩形零件的兩條鄰邊長(zhǎng)就不能確 定 ,但這個(gè)矩形面積有最大值 ,求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩鄰邊長(zhǎng) . 解析 (1)設(shè) PQ=x mm, ∵ △ APN∽ △ ABC, ∴ ? =? , ∴ ? =? ,解得 x=? ,∴ PN=2x=? . ∴ 這個(gè)矩形零件的兩鄰邊長(zhǎng)分別為 ? mm,? mm. (2)設(shè) PQ=x mm, ∵ △ APN∽ △ ABC, ∴ ? =? , ∴ ? =? , 解得 PN=120? x, ∴ S矩形 =x? =? x2+120x=? (x40)2+2 400, ∴ 當(dāng) x=40,即 PQ=40 mm,PN=60 mm時(shí) ,矩形面積最大 . PNBC AEAD2120x 8080x? 2407 48072407 4807PNBC AEAD120PN8080x?323120 2 x???????32321.(2022四川成都 ,8,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD和 A39。, ∴∠ GEA+∠ EAG=∠ EAG+∠ AFM, ∴∠ AFM=∠ AEG, ∵∠ FAD=∠ EGA=90176。, ∴∠ HEA=∠ AFD, ∵∠ EHA=∠ FAD=90176。,∴ BH=HE. BEBC HEACDCBE ACBCBEBC DCACHEAC DCACACBC 22DCBE 22 HEBE 22∵ HE=DC,∴ BH=CD,∴ AH=AD. ∵ DM⊥ AE,EH⊥ AB, ∴∠ EHA=∠ AMF=90176。, ∴ EH∥ CA, ∴ △ BHE∽ △ BAC, ∴ ? =? , ∵ ? =? , ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ HE=DC, ∴ 四邊形 DHEC是平行四邊形 . ② ∵ ? =? ,∠ BAC=90176。 ② 若 m=? ,求證 :AE=DF。BC=AC2, ∴ ? BD2=AC2, ∴ ? =? . ABDBBHBC1212BDAC 25.(2022湖州 ,23,10分 )已知在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。BH, ∴ AB. 又 ∵∠ ABH=∠ DBC, 12∴ △ ABH∽ △ DBC, ∴ ? =? , ∴ AB, ∴∠ BCD=90176。AD. ∵ AD∥ BC, ∴∠ ADB=∠ CBD, ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ CBD, ∴∠ ADB=∠ ABD, ∴ AB=AD, 43 926BCCA CAAD∴ CA2=BC (3)如圖 2,在 (2)的條件下 ,當(dāng) ∠ ADC=90176。4α,由 AE=AB得 ∠ ABE=∠ AEB,∴∠ AEB=2α,∵∠ EAC=2α, ∴∠ AEB=∠ EAC,∴ AC∥ BE,∴ △ ACO∽ △ EBO, ∴ ? =? ,∴ BE=? =? ,故選 B. 167 33725623111233 11933ACBE OCOB AC OBOC? 1743.(2022衢州 ,9,3分 )如圖 ,已知“人字梯”的 5個(gè)踩檔把梯子等分成 6份 ,從上往下的第二個(gè)踩檔 與第三個(gè)踩檔的正中間處有一條 60 cm長(zhǎng)的綁繩 EF,tan α=? ,則“人字梯”的頂端離地面的高 度 AD是 ? ( ) ? cm cm cm cm 52關(guān)鍵提示 本題考查了等腰三角形的性質(zhì) ,軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) ,相似三角形的判定與性質(zhì) .解題的關(guān) 鍵是多次運(yùn)用相似求出相關(guān)線段的長(zhǎng) . 答案 B 如圖 : ? 根據(jù)題意可知 :△ AFO∽ △ ACD,OF=? EF=30 cm, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ CD=72 cm. ∵ tan α=? ,∴ ? =? , ∴ AD=? 72=180(cm).故選 B. 12OFDC AFAC 30DC2 . 5652 ADDC5252思路分析 在 Rt△ ADC中已知 tan α=? ,根據(jù)正切函數(shù)的定義 ,要求 AD,只需求出 DC,這可由相 似三角形獲得 . 524.(2022寧波 ,25,12分 )若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積 ,我們把這個(gè)三角形叫 做比例三角形 . (1)已知△ ABC是比例三角形 ,AB=2,BC=3,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的 AC的長(zhǎng) 。CB,∴ CD=? ,∴ BD=? . ∵∠ ADO=∠ ADB,∠ 2=∠ ABD, ∴ △ ADO∽ △ BDA,∴ AD2=DO, ∴ △ AHF∽ △ CGE,又 FH∥ EG, ∴ ? =? =? =? , ∵ EC=2,∴ AF=1, 過(guò) F作 FP⊥ BC于點(diǎn) P, AFCE FHEG FOOE12? ∴ BP=AF=1,PF=BC=4, ∴ PE=BEBP=1, 則有 EF=? =? , ∵ FH∥ EG, ∴ ? =? , ∴ ? =? , 根據(jù) (2)知 EF=GH, ∴ FO=HO. ∴ S△ FOH=? FO2=? ? =? , 22PF PE? 17FOOEHOOGFOFE HOHG12 12213 EF??????1718S△ EOG=? EO2=? ? =? , ∴ 陰影部分面積為 S△ FOH+S△ EOG=? . 12 12223 EF??????3498518評(píng)析 本題考查了三角形的綜合知識(shí) .用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與 性質(zhì)、勾股定理等 ,綜合性較強(qiáng) ,難度較大 . 1.(2022杭州 ,10,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D在 AB邊上 ,DE∥ BC,與邊 AC交于點(diǎn) E,連接 △ ADE,△ BCE的面積分別為 S1,S2? ( ) ? 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用 答案 D 由平行線分線段成比例知 ? =? , 當(dāng) AD=BD時(shí) ,AE=EC,則 DE為△ ABC的中位線 , 此時(shí) ? =? ,即 3S1=S四邊形 BDEC, ∵ DE為△ ABC的中位線 ,∴ E為 AC的中點(diǎn) , 易得 S△ BEC=S△ BAE,∴ 2S2=S△ ABC,∴ 2S23S1. ∴ 當(dāng) 2ADAB時(shí) ,AECE,S1變小 ,S2變大 ,一定有 2S23S1。. ∵ AE⊥ DH, ∴∠ ADO+∠ OAD=90176。 綜合運(yùn)用 : (3)在第 (2)問(wèn)條件下 ,HF∥ GE,如圖 3所示 ,已知 BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=DA,∠ ABE=∠ DAH=90176。,∴ △ AMN∽ △ BCM. ∴ ? =? ,即 ? =? .∴ AN=? a,∴ ND=2a? a=? a. ∴ ? =? a∶ ? a=3. (3)解法一 :? =? =n,設(shè) MB=a,與 (2)同理可得 CE=na,AM=(2n1)a,BC=2a, 由△ AMN∽ △ BCM,得 AN=? (2n1)a,DN=? , EFBF CEMBABBCANMBAMBC ANa 32 aa 32 32 12ANND 32 12ABBC EFFB12(2 5)2na?∵ DH∥ AM,∴ ? =? ,∴ DH=(2n5)a,∴ HE=(5n)a. 當(dāng) MN∥ BE時(shí) ,四邊形 MBEH是平行四邊形 , ∴ (5n)a=a,∴ n=4. ∴ 當(dāng) n=4時(shí) ,MN∥ BE. ? 解法二 :? =? =n,設(shè) MB=a,與 (2)同理可得 CE=na,BC=2a, 當(dāng) MN∥ BE時(shí) ,CM⊥ BE,可證△ MBC∽ △ BCE,∴ ? =? . ∴ ? =? ,∴ n=4. ∴ 當(dāng) n=4時(shí) ,MN∥ BE. DNAN