【正文】 ABC∽ △ DCA, ∴ ? =? ,即 CA2=BCDB,又 AD=CD,∴ DO=? . ∴ CO=DO+CD=? ,∴ BO=BCCO=? . ∵∠ BAE=180176。. ∴∠ HAO=∠ ADO. ∴ △ ABE≌ △ DAH(ASA), ∴ AE=DH. (2)EF=GH. 理由如下 :將 FE平移到 AM處 ,則 AM∥ EF,AM=EF. 將 GH平移到 DN處 ,則 DN∥ GH,DN=GH. ? ∵ EF⊥ GH,∴ AM⊥ DN, 根據(jù) (1)的結(jié)論得 AM=DN,所以 EF=GH. (3)∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB∥ CD, ∴∠ AHO=∠ CGO, ∵ FH∥ EG, ∴∠ FHO=∠ EGO, ∴∠ AHF=∠ CGE, 又 ∠ HAF=∠ GCE=90176。 類比探究 : (2)如圖 2,在正方形 ABCD中 ,點(diǎn) H,E,G,F分別在 AB,BC,CD,DA上 ,若 EF⊥ HG于點(diǎn) O,探究線段 EF 與 HG的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。, 所以△ AFD∽ △ AGB, 所以 ? =? , 又因?yàn)?AD=3,AB=5, 所以 ? =? . AFAG ADABAFAG 355.(2022麗水 ,23,10分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,E為 CD的中點(diǎn) ,F為 BE上的一點(diǎn) ,連接 CF并延長交 AB于點(diǎn) M,MN⊥ CM交射線 AD于點(diǎn) N. (1)當(dāng) F為 BE中點(diǎn)時(shí) ,求證 :AM=CE。,∠ AGC=90176。, ∴ △ ABG∽ △ DEH, ∴ ? =? =? ,∴ ? =? ,即 DE=16, ∴ FD=DEFE=169=7. BCEC ABFE129BCEC 4312 12BCEC DHAG DHAG 43DEAB DHAG 43 12DE43思路分析 作兩三角形的高 ,利用面積相等及平行的條件列式求出 DE長 ,進(jìn)而可得 DF的長 . 3.(2022杭州 ,19,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD為 BC邊上的中線 ,DE⊥ AB于點(diǎn) E. (1)求證 :△ BDE∽ △ CAD。, 所以 CP2⊥ FG2, 即 CP2為 Rt△ CFG2的 FG2邊上的高 . ③ 當(dāng) CD為 ∠ ACB的平分線時(shí) ,CP既是△ CFG的 FG邊上的高又是中線 . 評(píng)析 本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、直角三角形兩銳角的關(guān)系、等腰三角 形的判定、分類討論思想的應(yīng)用 ,有一定的難度 .分類討論時(shí)比較容易遺漏某種情況 . 1.(2022杭州 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,∠ FCP1+∠ P1CG1=90176。,∴ △ CBA∽ △ ACD, ∴ ? =? =? .又 ∵ AB=2,DC=3, ∴ ? =? =? .故選 C. BCAC ACAD ABDCABCDCASS 2ABDC??????49評(píng)析 本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì) . 5.(2022金華 ,14,4分 )如圖 ,直線 l1,l2,… ,l6是一組等距離的平行線 ,過直線 l1上的點(diǎn) A作兩條射線 ,分 別與直線 l3,l6相交于點(diǎn) B,E,C, BC=2,則 EF的長是 . ? 答案 5 解析 ∵ 直線 l1,l2,… ,l6是一組等距離的平行線 , ∴ ? =? ,即 ? =? . 又 ∵ l3∥ l6,∴ △ ABC∽ △ AEF. ∴ ? =? =? . ∵ BC=2,∴ ? =? ?EF=5. ABBE 23ABAE 25BCEF ABAE 252EF 256.(2022杭州 ,22,12分 )如圖 ,在△ ABC中 (BCAC),∠ ACB=90176。 圖形的相似 中考數(shù)學(xué) (浙江專用 ) 1.(2022杭州 ,3,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在邊 AB,AC上 ,DE∥ BD=2AD,則 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADAB 12AEEC 12ADEC 12DEBC 12考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì) A組 20222022年浙江中考題組 五年中考 答案 B 利用平行線分線段成比例可得 ? =? =? ,此題選 B. AEEC ADBD 122.(2022杭州 ,2,3分 )如圖 ,已知直線 a∥ b∥ c,直線 m分別交直線 a,b,c于點(diǎn) A,B,C。直線 n分別交直線 a,b,c于點(diǎn) D,E, ? =? ,則 ? =? ( ) ? A.? B.? C.? ABBC 12DEEF13 12 23答案 B ∵ a∥ b∥ c,∴ ? =? ,又 ∵ ? =? ,∴ ? =? ,故選 B. ABBC DEEF ABBC 12DEEF 12關(guān)鍵提示 本題考查平行線分線段成比例 ,關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段 . 3.(2022嘉興、舟山 ,5,3分 )如圖 ,直線 l1∥ l2∥ l3,直線 AC分別交 l1,l2,l3于點(diǎn) A,B,C。,點(diǎn) D在 AB邊上 ,DE⊥ AC于點(diǎn) E. (1)若 ? =? ,AE=2,求 EC的長 。, 所以 ∠ CG1F=∠ P1CG1. 所以 CP1=G1P1. 又因?yàn)?∠ CFG1=∠ FCP1, 所以 CP1=FP1, ADDB AEECADDB132EC 13所以 CP1=FP1=G1P1, 所以線段 CP1為 Rt△ CFG1的 FG1邊上的中線 . ? ② 若 ∠ CFG2=∠ EDC, 則線段 CP2為 Rt△ CFG2的 FG2邊上的高 . 證明 :因?yàn)?DE⊥ AC, 所以 ∠ DEC=90176。,AB=15,AC=20,點(diǎn) D在邊 AC上 ,AD=5,DE⊥ BC于點(diǎn) E,連接 AE,則△ ABE的面積等于 . ? 考點(diǎn)二 相似圖形的判定 答案 78 解析 ∵ DE⊥ BC, ∴∠ BAC=∠ DEC,又 ∵∠ C=∠ C, ∴ △ ABC∽ △ EDC,∴ ? =? , 在 Rt△ BAC中 ,∵ AC=20,AB=15, ∴ BC=? =25, 又 ∵ AD=5,∴ CD=15,∴ EC=? =12,∴ BE=13, ∴ S△ ABE=? S△ ABC=? ? 1520=78. ACEC BCCD22AC AB?AC CDBC?BEBC 132512思路分析 △ ABC的面積是很容易求出來的 ,只要知道 BE與 BC的比值即可解決問題 ,又 BC容 易求得 ,故將問題轉(zhuǎn)化為求 BE的長度 ,由△ ABC∽ △ EDC可得 ? =? ,從而求出 EC,由此即可 得出 BE. ACEC BCCD2.(2022嘉興 ,15,5分 )如圖 ,已知△ ABC和△ DEC的面積相等 ,點(diǎn) E在 BC邊上 ,DE∥ AB交 AC于點(diǎn) F, AB=12,EF=9,則 DF的長是 . ? 答案 7 解析 作 AG⊥ BC于點(diǎn) G,DH⊥ BC于點(diǎn) H, ? ∵ DE∥ AB,∴ △ ABC∽ △ FEC,∴ ? =? =? , 即 ? =? ,又 ∵ S△ ABC=S△ DEC, 即 ? BC (2)若 AB=13,BC=10,求線段 DE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C, 又 AD為 BC邊上的中線 ,∴ AD⊥ BC, ∵ DE⊥ AB, ∴∠ DEB=∠ ADC=90176。, 所以 ∠ AEF=90176。 (2)若 ? =? =2,求 ? 的值 。 綜合運(yùn)用 : (3)在第 (2)問條件下 ,HF∥ GE,如圖 3所示 ,已知 BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=DA,∠ ABE=∠ DAH=90176。, ∴ △ AHF∽ △ CGE,又 FH∥ EG, ∴ ? =? =? =? , ∵ EC=2,∴ AF=1, 過 F作 FP⊥ BC于點(diǎn) P, AFCE FHEG FOOE12? ∴ BP=AF=1,PF=BC=4, ∴ PE=BEBP=1, 則有 EF=? =? , ∵ FH∥ EG, ∴ ? =? , ∴ ? =? , 根據(jù) (2)知 EF=GH, ∴ FO=HO. ∴ S△ FOH=? FO2=? ? =? , 22PF PE? 17FOOEHOOGFOFE HOHG12 12213 EF??????1718S△ EOG=? EO2=? ? =? , ∴ 陰影部分面積為 S△ FOH+S△ EOG=? . 12 12223 EF??????3498518評(píng)析 本題考查了三角形的綜合知識(shí) .用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與 性質(zhì)、勾股定理等 ,綜合性較強(qiáng) ,難度較大 . 1.(2022杭州 ,10,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D在 AB邊上 ,DE∥ BC,與邊 AC交于點(diǎn) E,連接 △ ADE,△ BCE的面積分別為 S1,S2? ( ) ? 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用 答案 D 由平行線分線段成比例知 ? =? , 當(dāng) AD=BD時(shí) ,AE=EC,則 DE為△ ABC的中位線 , 此時(shí) ? =? ,即 3S1=S四邊形 BDEC, ∵ DE為△ ABC的中位線 ,∴ E為 AC的中點(diǎn) , 易得 S△ BEC=S△ BAE,∴ 2S2=S△ ABC,∴ 2S23S1. ∴ 當(dāng) 2ADAB時(shí) ,AECE,S1變小 ,S2變大 ,一定有 2S23S1。4α,由 AE=AB得 ∠ ABE=∠ AEB,∴∠ AEB=2α,∵∠ EAC=2α, ∴∠ AEB=∠ EAC,∴ AC∥ BE,∴ △ ACO∽ △ EBO, ∴ ? =? ,∴ BE=? =? ,故選 B. 167 33725623111233 11933ACBE OCOB AC OBOC? 1743.(2022衢州 ,9,3分 )如圖 ,已知“人字梯”的 5個(gè)踩檔把梯子等分成 6份 ,從上往下的第二個(gè)踩檔 與第三個(gè)踩檔的正中間處有一條 60 cm長的綁繩 EF,tan α=? ,則“人字梯”的頂端離地面的高 度 AD是 ? ( ) ? cm cm cm cm 52關(guān)鍵提示 本題考查了等腰三角形的性質(zhì) ,軸對(duì)稱的性質(zhì) ,相似三角形的判定與性質(zhì) .解題的關(guān) 鍵是多次運(yùn)用相似求出相關(guān)線段的長 . 答案 B 如圖 : ? 根據(jù)題意可知 :△ AFO∽ △ ACD,OF=? EF=30 cm, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ CD=72 cm. ∵ tan α=? ,∴ ? =? , ∴ AD=? 72=180(cm).故選 B. 12OFDC AFAC 30DC2 . 5652 ADDC5252思路分析 在 Rt△ ADC中已知 tan α=? ,根據(jù)正切函數(shù)的定義 ,要求 AD,只需求出 DC,這可由相 似三角形獲得 . 5