【正文】 ? 解析 如圖 ,直線 AD即為所作 .? (5分 ) ? 1.(2022江蘇連云港 ,25,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,BC=3,D為 AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ,AC=3 D作 DH∥ AB,交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H. (1)求 BDcos∠ HBD的值 。 (2)若 ∠ CBD=∠ A,求 AB的長(zhǎng) . ? 考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用 解析 (1)∵ DH∥ AB,∴∠ BHD=∠ ABC=90176。, 又 ∠ ACB=∠ DCH, ∴ △ ABC∽ △ DHC,∴ ? =? . ∵ AC=3CD,BC=3,∴ CH=1. ∴ BH=BC+CH=4. 在 Rt△ BHD中 ,cos∠ HBD=? , ∴ BDcos∠ HBD=BH=4.? (4分 ) (2)解法一 :∵∠ A=∠ CBD,∠ ABC=∠ BHD, ∴ △ ABC∽ △ BHD.? (6分 ) ∴ ? =? . ∵ △ ABC∽ △ DHC,∴ ? =? =? , ∴ AB=3DH. ∴ ? =? ,DH=2,∴ AB=6.? (10分 ) ACDC BCHCBHBDBCHD ABBHABDH ACDC313DH 3 4DH解法二 :∵∠ CBD=∠ A,∠ BDC=∠ ADB, ∴ △ CDB∽ △ BDA.∴ ? =? ,BD2=CDAD, ∴ BD2=CD4 CD=4CD2.∴ BD=2CD.? (6分 ) ∵ △ CDB∽ △ BDA,∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ AB=6.? (10分 ) CDBD BDADCDBD BCAB 2CDCD 3AB2.(2022江蘇南京 ,20,8分 )如圖 ,△ ABC中 ,CD是邊 AB上的高 ,且 ? =? . (1)求證 :△ ACD∽ △ CBD。 (2)求 ∠ ACB的大小 . ? ADCD CDBD解析 (1)證明 :∵ CD是邊 AB上的高 , ∴∠ ADC=∠ CDB=90176。. 又 ? =? ,∴ △ ACD∽ △ CBD.? (4分 ) (2)∵ △ ACD∽ △ CBD, ∴∠ A=∠ BCD. 在△ ACD中 ,∠ ADC=90176。, ∴∠ A+∠ ACD=90176。, ∴∠ BCD+∠ ACD=90176。, 即 ∠ ACB=90176。.? (8分 ) ADCD CDBD(2022杭州濱江二模 ,8)有兩個(gè)相似三角形 ,它們的周長(zhǎng)分別是 36和 12,周長(zhǎng)較大的三角形的最 大邊長(zhǎng)為 15,周長(zhǎng)較小的三角形的最小邊長(zhǎng)為 3,則周長(zhǎng)較大的三角形的面積是 ? ( ) 考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì) 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 答案 B ∵ 兩相似三角形的周長(zhǎng)分別是 36和 12,∴ 相似 比為 3∶ 1.∵ 周長(zhǎng)較大的三角形的最大邊長(zhǎng)為 15,周長(zhǎng)較小的三角形的最小邊長(zhǎng)為 3,∴ 周長(zhǎng)較 大的三角形的最小邊長(zhǎng)為 9,周長(zhǎng)較小的三角形的最大邊長(zhǎng)為 5,∴ 周長(zhǎng)較大的三角形的第三條 邊長(zhǎng)為 12,∵ 92+122=152,∴ 兩個(gè)三角形均為直角三角形 ,∴ 周長(zhǎng)較大的三角形的面積 =? 912= 54,故選 B. 121.(2022寧波北侖一模 ,16)在△ ABC中 ,D,E分別在邊 AB、 AC上 ,AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,要 使△ ADE與△ ABC相似 ,則線段 AE的長(zhǎng)為 cm. 考點(diǎn)二 相似圖形的判定 答案 4或 ? 94解析 分兩種情況討論 : ① 當(dāng)△ ADE∽ △ ABC時(shí) ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=? cm. ② 當(dāng)△ ADE∽ △ ACB時(shí) ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=4 cm. 綜上 ,AE=4 cm或 ? cm. ADAB AEAC94ADAC AEAB942.(2022杭州名校二模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AD是 ∠ BAC的平分線 ,點(diǎn) E在邊 AC上 ,且 AD2=AE AB,連接 DE. (1)求證 :△ ABD∽ △ ADE。 (2)若 CD=3,CE=? ,求 AC的長(zhǎng) . 94解析 (1)證明 :∵ AD平分 ∠ BAC, ∴∠ BAD=∠ CAD. 又 ∵ AD2=AEAB, ∴ ? =? , ∴ △ ABD∽ △ ADE. (2)∵ △ ABD∽ △ ADE, ∴∠ ADB=∠ AED. ∵∠ EDC=180176。(∠ ADB+∠ ADE)=180176。(∠ AED+∠ ADE)=∠ DAC, 且 ∠ C=∠ C, ∴ △ CED∽ △ CDA, ∴ ? =? , ∴ CD2=ECCA, ∴ AC=? =? =4. ADAE ABADCDCA ECCD2CDEC9941.(2022濱江二模 ,10)如圖 ,△ ABC∽ △ DBE,延長(zhǎng) AD交 CE于點(diǎn) ∠ DEB=45176。,AC=2? ,DE= ? ,BE=,則 tan∠ DPC=? ( ) A.? C.? D.? 222 322? 12考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用 答案 B ∵ △ ABC∽ △ DBE,∴ ? =? , ∴∠ ACB=∠ DEB=45176。. 又 ∵ AC=2? ,DE=? ,BE=,∴ BC=3. 過(guò)點(diǎn) A作 AH⊥ BC于點(diǎn) H. ACDEBCBE2 2∵∠ ACH=45176。, ∴ AH=CH=ACsin∠ ACH=2? ? =2, ∴ BH=BCCH=32=1. 2 22∵ △ ABC∽ △ DBE, ∴∠ ABC=∠ DBE,? =? ,∴∠ ABD=∠ CBE. ∴ △ ABD∽ △ CBE, ∴∠ BAD=∠ BCE. 又 ∵∠ AOB=∠ COP, ∴∠ DPC=∠ ABC, ∴ tan∠ DPC=tan∠ ABC=? =? = B. ABBD BCBEAHBH 21方法與策略 ∠ DPC放在直角三角形中解決 ,所以構(gòu)造直角三角形并將 ∠ DPC轉(zhuǎn) 化到 Rt△ ABH中 . ,從而把所求的角轉(zhuǎn)化到已知的直角三角形中 ,問(wèn)題 就解決了 . 2.(2022麗水二模 )如圖 ,已知銳角△ ABC,AD、 CE分別是 BC、 AB邊上的高 . (1)求證 :△ ABD∽ △ CBE。 (2)若△ ABC和△ BDE的面積分別是 20和 5,DE=2? ,求點(diǎn) B到直線 AC的距離 . ? 2解析 (1)證明 :∵ AD⊥ BC于點(diǎn) D,CE⊥ AB于點(diǎn) E, ∴∠ CEB=∠ ADB=90176。, ∵∠ B=∠ B, ∴ △ ABD∽ △ CBE. (2)由 (1)知△ ABD∽ △ CBE,∴ ? =? . ∵∠ B=∠ B, ∴ △ BED∽ △ BCA, ∴ ? =? . ∵ △ ABC和△ BDE的面積分別為 20和 5,DE=2? , ∴ AC=4? , ∴ 點(diǎn) B到直線 AC的距離為 ? =5? . DBEB ABCBBDEABCSS 2DEAC??????222 ABCSAC 21.(2022杭州西湖一模 ,8)如圖 ,BD是△ ABC的角平分線 ,點(diǎn) E,F分別在 BC,AB上 ,且 DE∥ AB,∠ DEF=∠ A,EF與 BD交于點(diǎn) M,以下結(jié)論 :①△ BDE是等腰三角形 。② 四邊形 AFED是菱形 。③ BE= AF。④ 若 AF∶ BF=3∶ 4,則△ DEM的面積 ∶ △ BAD的面積 =9∶ 49,其中正確的是 ? ( ) ? A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.③④ B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :55分鐘 分值 :80分 ) 一、選擇題（每小題 3分，共 12分） 答案 B ① ∵ DE∥ AB,BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ BDE=∠ DBE, ∴ △ BDE是等腰三角形 ,① 正確 . ② 四邊形 AFED是平行四邊形 ,不一定是菱形 ,② 錯(cuò)誤 . ③ BE=ED=AF,③ 正確 . ④△ ABD∽ △ EDM,? =? =? =? ,④ 正確 .故選 B. EDMABDSS 2DEBA??????237??????9492.(2022溫州七校聯(lián)考 ,9)如圖 ,△ ABC中 ,D、 E兩點(diǎn)分別在 BC、 AD上 ,且 AD平分 ∠ BAC,若 ∠ ABE=∠ C,AD∶ ED=3∶ 1,則△ BDE與△ ADC的面積比為 ? ( ) ? ∶ 45 ∶ 9 ∶ 9 ∶ 3 答案 B ∵ AD∶ ED=3∶ 1, ∴ AE∶ AD=2∶ 3, ∵∠ ABE=∠ C,∠ BAE=∠ CAD, ∴ △ ABE∽ △ ACD, ∴ S△ ABE∶ S△ ACD=4∶ 9, ∴ S△ ACD=? S△ ABE, ∵ AE∶ ED=2∶ 1, ∴ S△ ABE∶ S△ BED=2∶ 1, ∴ S△ ABE=2S△ BED, ∴ S△ ACD=? S△ ABE=? S△ BED, ∴ S△ BDE與 S△ ADC的比為 2∶ 9. 9494 923.(2022寧波慈溪一模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,且 ? =? ,則 S四邊形 DBCE∶ S△ ABC=? ( ) ? ∶ 4 ∶ 9 ∶ 4 ∶ 9 AEEC 12答案 D ∵ D、 E分別是△ ABC的 AB、 AC邊上的點(diǎn) ,DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC. ∵ AE∶ EC=1∶ 2,∴ AE∶ AC=1∶ 3, ∴ S△ ADE∶ S△ ABC=1∶ 9,∴ ? =? .故選 D. DBCEABCS S四 邊 形894.(2022杭州蕭山一模 ,1)下列判斷不正確的是 ? ( ) 答案 B 兩個(gè)直角三角形的銳角不一定對(duì)應(yīng)相等 ,所以兩個(gè)直角三角形不一定相似 ,故選項(xiàng) B不正確 ,故選 B. 5.(2022舟山二模 ,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) D、 E、 F分別在邊 AB、 BC、 AC上 ,∠ DEF= ∠ B. (1)求證 :△ BDE∽ △ CEF。 (2)若點(diǎn) E是 BC的中點(diǎn) ,? =? ,EF=6,求 CF. DEEC 32二、解答題（共 68分） 解析 (1)證明 :∵ AB=AC, ∴∠ B=∠ C. ∵∠ BDE=180176。∠ B∠ DEB, ∠ CEF=180176?！?DEF∠ DEB, ∠ DEF=∠ B, ∴∠ BDE=∠ CEF, ∴ △ BDE∽ △ CEF. (2)∵ △ BDE∽ △ CEF, ∴ ? =? , ∵ 點(diǎn) E是 BC的中點(diǎn) , ∴ BE=CE, ∴ ? =? , ∵∠ DEF=∠ B=∠ C, ∴ △ DEF∽ △ ECF, BECFDEEFCECFDEEF∴ ? =? =? , ∵ EF=6,∴ CF=4. DEEC EFCF326.(2022奉化一模 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D為 B