【正文】 , ∴∠ BDF=∠ DEA,又 ∠ B=∠ A, ∴ △ ADE∽ △ BFD. ② 設(shè) AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b, ∵ AD∶ BD=1∶ 2,∴ DB=2x, ∴ AB=3x=AC=BC,∴ AE=3xa,BF=3xb, ∵ △ ADE∽ △ BFD,∴ ? =? =? , EDDF EADBADBF∴ ? =? =? , 由 ? =? 可得 2ax=b(3xa), 由 ? =? 可得 (3xa)(3xb)=2x2,即 3x(3xa)b(3xa)=2x2, ∴ 3x(3xa)2ax=2x2, 可得 a=? x=, ∴ ? =? =? =? , ∴ CE∶ CF=4∶ 5. (3)設(shè) AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b, ∵ AD∶ BD=1∶ n,∴ DB=nx, ∴ AB=(n+1)x=AC=BC, ∴ AE=(n+1)xa,BF=(n+1)xb, ∵ △ ADE∽ △ BFD,∴ ? =? =? , ab 3 2xax? 3 xxb?ab 3 2xax?3 2xax? 3 xxb?75ab 3 2xax?3 ?45EDDF EABD ADBF∴ ? =? =? , 由 ? =? 可得 nax=b[(n+1)xa], 由 ? =? 可得 [(n+1)xa][(n+1)xb]=nx2, 即 (n+1)x[(n+1)xa]b[(n+1)xa]=nx2, ∴ (n+1)x[(n+1)xa]nax=nx2,可得 a=? x, ∴ ? =? =? =? , ∴ CE∶ CF=(n+2)∶ (2n+1). ab( 1)n x anx??( 1)xn x b??ab( 1)n x anx??( 1)n x anx??( 1)xn x b??2 121nnn???ab( 1)n x anx??2 1( 1)21nnn x xnnx?????221nn??11.(2022杭州濱江二模 ,22)已知 D為△ ABC邊 BC上的動點 (點 D不與 B、 C重合 ),過 D作 DE∥ AC, DF∥ AB分別交 AB,AC于點 E,F. (1)證明 :△ BDE∽ △ DCF。 (2)如圖 2, ① 求證 :△ ADE∽ △ BFD。. (3)由題意知△ CAD∽ △ CBA. 當 AD=BD時 ,∵ △ CAD∽ △ CBA, ∴ ? =? =? ,設(shè) BD=AD=x,CD=y, ∴ ? =? =? , ADAB CDAC ACBC4x 2y 2xy?解得 x=? ,y=? , ∴ AD=? . 當 AB=BD=4時 ,設(shè) AD=x,CD=y, 由 ? =? =? ,可得 ? =? =? , 解得 y=2+2? ,x=4? 4, ∴ AD=4? 4. 當 AB=AD時 ,顯然不可能 . 綜上所述 ,AD=? 或 4? 4. 433 233433ADAB CDAC ACBC4x 2y 24 y?2 22433 29.(2022杭州拱墅二模 ,22)如圖 ,G,H分別為 ?ABCD的邊 AB,AD的延長線上的點 ,GH分別交 BC, CD于 E,F,連接 AC,交 HG于點 P. (1)求證 :△ HDF∽ △ EBG。, ∵∠ CAD=∠ B=46176。, ∴∠ B=∠ BAD=50176。,∠ C=30176。,求證 :AD為△ ABC的優(yōu)美線 。,AD平分 ∠ BAC, ABAC AEAD 125 512 1212∴∠ DAC=45176。 (2)若點 E是 AD的中點 ,BC=5,求△ BDE的面積 . 解析 (1)證明 :∵ AD平分 ∠ BAC, ∴∠ BAE=∠ DAC, ∵∠ ABE=∠ C, ∴ △ ABE∽ △ ACD. (2)由 (1)得△ ABE∽ △ ACD, ∴ ? =? =? ,即 AC=2AB, ∵∠ BAC=90176。=∠ ADC,又 ∠ DAF=∠ AED, ∴ △ AED∽ △ CAD. (2)由 (1)得 ,△ AED∽ △ CAD, 則 ? =? ,即 AD2=ED,∠ BAE=∠ AED, ∵∠ BAD=∠ CAE=60176。 (2)若 AB=2? ,求 DE (2)若點 E是 BC的中點 ,? =? ,EF=6,求 CF. DEEC 32二、解答題（共 68分） 解析 (1)證明 :∵ AB=AC, ∴∠ B=∠ C. ∵∠ BDE=180176。② 四邊形 AFED是菱形 。, ∴ AH=CH=AC(∠ AED+∠ ADE)=∠ DAC, 且 ∠ C=∠ C, ∴ △ CED∽ △ CDA, ∴ ? =? , ∴ CD2=EC AB,連接 DE. (1)求證 :△ ABD∽ △ ADE。, ∴∠ BCD+∠ ACD=90176。4 CD=4CD2.∴ BD=2CD.? (6分 ) ∵ △ CDB∽ △ BDA,∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ AB=6.? (10分 ) CDBD BDADCDBD BCAB 2CDCD 3AB2.(2022江蘇南京 ,20,8分 )如圖 ,△ ABC中 ,CD是邊 AB上的高 ,且 ? =? . (1)求證 :△ ACD∽ △ CBD。cos∠ HBD的值 。,要使△ ABC∽ △ EPD, 則 ? =? =2,所以 EP=2AB=6,點 P所在的格點為 P3,故選 C. EPAB DEAC評析 本題考查相似三角形的判定 ,設(shè)計巧妙 ,屬容易題 . 3.(2022山東臨沂 ,18,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BD,CE分別是邊 AC,AB上的中線 ,BD與 CE相交于點 O,則 ? = . ? OBOD答案 2 解析 連接 DE,∵ BD,CE是 AC,AB邊上的中線 ,∴ DE為△ ABC的中位線 ,∴ DE=? BC,DE∥ BC, ∴ △ OBC∽ △ ODE,∴ ? =? =2. 12OBOD BCDE(2022北京 ,10,4分 )在某一時刻 ,測得一根高為 m的竹竿的影長為 3 m,同時測得一根旗桿的 影長為 25 m,那么這根旗桿的高度為 m. 考點三 相似圖形的應(yīng)用 答案 15 解析 設(shè)旗桿的高度為 x m,則 ? =? ,解得 x= 15 m. 1 . 83 25x1.(2022甘肅蘭州 ,5,4分 )如圖 ,線段 CD兩個端點的坐標分別為 C(1,2)、 D(2,0),以原點為位似中 心 ,將線段 CD放大得到線段 AB,若點 B的坐標為 (5,0),則點 A的坐標為 ? ( ) ? A.(2,5) B.(,5) C.(3,5) D.(3,6) C組 教師專用題組 考點一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì) 答案 B 設(shè)點 A的坐標為 (x,y),由位似圖形的性質(zhì)知 ,? =? =? ,得 x=,y=5, 則點 A的坐標為 (,5).故選 B. 1x 2y 522.(2022湖北武漢 ,6,3分 )如圖 ,線段 AB兩個端點的坐標分別為 A(6,6)、 B(8,2),以原點 O為位似中 心 ,在第一象限內(nèi)將線段 AB縮小為原來的 ? 后得到線段 CD,則端點 C的坐標為 ? ( ) ? A.(3,3) B.(4,3) C.(3,1) D.(4,1) 12答案 A ∵ 線段 AB兩個端點的坐標分別為 A(6,6)、 B(8,2),以原點 O為位似中心 ,在第一象限 內(nèi)將線段 AB縮小為原來的 ? 后得到線段 CD,∴ 端點 C的坐標為 (3,3).故選 A. 12評析 本題主要考查位似圖形的性質(zhì) ,屬容易題 . 3.(2022遼寧沈陽 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點 D在邊 AB上 ,BD=2AD,DE∥ BC交 AC于點 E,若線段 DE=5,則線段 BC的長為 ? ( ) ? 答案 C 由題意可得△ ADE∽ △ ABC,相似比為 ? ,所以 BC=3DE=15,故選 C. 13評析 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì) ,屬容易題 . 4.(2022遼寧沈陽 ,14,4分 )如圖 ,△ ABC與△ DEF位似 ,位似中心為點 O,且△ ABC的面積等于△ DEF面積的 ? ,則 AB∶ DE= . ? 49答案 2∶ 3 解析 ∵ △ ABC與△ DEF位似 , ∴ △ ABC∽ △ DEF,∴ ? =? . ∵ S△ ABC=? S△ DEF,∴ ? =? .∴ ? =? , ∴ ? =? (舍負 ),即 AB∶ DE=2∶ 3. ABCDEFSS 2ABDE??????49 ABCDEFSS 492ABDE??????49ABDE235.(2022天津 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,分別交 AB,AC于點 D, AD=3,DB=2,BC=6,則 DE的長為 . ? 答案 ? 185解析 ∵ DE∥ BC, ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ ? =? ,∴ DE=? . ADAB DEBCADAD BD? DEBC332? 6DE 185評析 本題考查平行線分線段成比例定理 .由 DE∥ BC可得 ? =? ,從而可計算出 DE的長 . ADAB DEBC1.(2022河北 ,13,3分 )在研究相似問題時 ,甲、乙同學(xué)的觀點如下 : ? ? 對于兩人的觀點 ,下列說法正確的是 ? ( ) ,乙不對 ,乙對 考點二 相似圖形的判定 答案 A 由題意知新三角形與原三角形的對應(yīng)角相等 ,所以兩個三角形相似 ,甲的觀點正確 。, ∴∠ AED+∠ ADE=120176。cos∠ APD=AP (2)連接 AQ、 CP,若 AQ⊥ CP,求 t的值 。B項 ,相似三角形面積比等于相似比的平方 ,故本選項錯誤 。 39。AB 39。C39。D39。, ∴ △ FAD∽ △ EGA, ∴ ? =? =? =? . DFAE ADAG 3344yx?? 34∴ △ EGB∽ △ CAB,∴ ? =? , ∴ ? =? =? , ∵ ? =? , ∴ EG=CD. 設(shè) EG=CD=3x,AC=3y, 由題意得 BE=5x,BC=5y, ∴ BG=4x, AB=4y, EGCA BEBCEGBE CABC 35CDBE 35小穎解得此題的答案為 48 ,她又提出了如下的問題 : (1)如果原題中所要加工的零件是一個矩形 ,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成 ,如圖 1,此時 ,這個矩形零件的兩鄰邊長又分別為多少 mm?請你計算 。, ∴∠ HAE+∠ HEA=∠ HAE+∠ AFM=90176。 (2)如圖 2,若 m=? ,求 ? 的值 . ? DCBE ACBC2235 DFAE解析 (1)證明 :① ∵ EH⊥ AB,∠ BAC=90176。BC=? BD2. 又 ∵ AB, ∴∠ BHA=∠ BCD=90176。時 ,求 ? 的值 . ? BDAC解析 (1)? 或 ? 或 ? . (2)證明 :∵ AD∥ BC, ∴∠ ACB=∠ CAD, 又 ∵∠ BAC=∠ ADC, ∴ △