【正文】 ? 圖 1 (2)類比探究 :如圖 2,若點 E在線段 CD的延長線上 ,其余條件不變 ,小明猜想 (1)中的結(jié)論仍然成 立 ,請你給出證明 。=? (AMA39。DM∽ △ DCM. 1212∴ ? =? . 圖 2 ∵ AC=8,∴ CM=4, 在 Rt△ CMD中 ,CM=4,CD=5, ∴ DM=3. ∴ ? =? ,∴ A39。,∠ 2+∠ 3=90176。=2. ? 圖 1 如圖 2,當(dāng) ∠ A39。時 , ∵ 四邊形 ABCD為菱形 ,∴ AC⊥ BD, 即 A39。,∴ FH∥ AC,∴ △ DFH∽ △ DAC. ∴ ? =? =? ,∴ HF=? ,DH=? ,∴ BH=? , ∴ 在 Rt△ BHF中 ,BF=? =? . ? DFAD DHCD HFAC 125 95 24522BH HF?1 2 556.(2022開封一模 ,15)在菱形 ABCD中 ,AB=5,AC=8,點 P是 AC上的一個動點 ,過點 P作 EF垂直于 AC交 AD于點 E,交 AB于點 F,將△ AEF沿 EF折疊 ,使點 A落在點 A39。,AD=BD.? (8分 ) ∴ 在 Rt△ DCE中 ,DC2+CE2=DE2, ∴ DC2+BC2=AC2,? (9分 ) 即四邊形 ABCD是勾股四邊形 .? (10分 ) 考點一 圖形的軸對稱 1.(2022鄭州二模 ,2)下列四個手機應(yīng)用圖標(biāo)中 ,既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 ②求證 :DC2+BC2=AC2,即四邊形 ABCD是勾股四邊形 . ? 解析 (1)正方形、矩形、直角梯形 .(任選兩個均可 )? (2分 ) (2)證明 :① ∵ △ ABC≌ △ DBE, ∴ BC=BE.? (4分 ) ∵∠ CBE=60176。, ∴ ? =? =? . 2223? 132BCCS扇 形290 ( 13)360? 134?15.(2022甘肅蘭州 ,27,10分 )給出定義 :若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線 的平方 ,則稱該四邊形為勾股四邊形 . (1)在你學(xué)過的特殊四邊形中 ,寫出兩種勾股四邊形的名稱 。=∠ BOB39。所在的直線相交 ,交點在對稱軸 l上 . (3)l垂直平分 AA39。. (2)AB=A39。所在 的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相 等或互補 . (4) . 解析 (1)AB=A39。. 軸對稱 ? (2) . (3) . 旋轉(zhuǎn) ? AB=A39。,CQ=CM=PK. ∴ MC∥ PK. ∴ 四邊形 PKCM為平行四邊形 . ∴ CK=PM, ∴ PA =PM. ? 13.(2022江蘇南京 ,20,8分 )我們在學(xué)完“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”三種圖形的變化后 ,可以進行 進一步研究 .請根據(jù)示例圖形 ,完成下表 . 圖形的 變化 示例圖形 與對應(yīng)線段有關(guān)的結(jié)論 與對應(yīng)點有關(guān)的結(jié)論 平移 ? (1) . AA39。,得到 BK,連接 KP,CK,MC,如圖 . ∴ △ BPK為等邊三角形 . ∴ KB=BP=PK,∠ KPB=∠ KBP=60176。. 由 AP=AQ,可得 ∠ APB=∠ AQC. 又 ∵∠ B=∠ ACB=60176。. ∴∠ APC=∠ BAP+∠ B=80176。,求 ∠ AQB的度數(shù) 。B39。B39。的中點 ,可得 ∠ A39。,所以 ∠ ACA39。Q)min=3? . 12 32123 3 3思路分析 (1)在 Rt△ ABC中 ,由勾股定理得 BC=? ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)知 A39。B39。Q=S△ PCQS△ A39。C, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠ MA39。,∴ MA39。B39。CB=30176。,m∥ AC,∴∠ A39。Q的最小面積 。的延長線上時 ,試探究四邊形 PA 39。B39。的度數(shù) 。),射線 CA39。,AB=? ,AC=2,過點 B作直線 m∥ AC,將△ ABC繞點 C順時針旋轉(zhuǎn)得到△ A39。+∠ AOB,所以 ∠ AOB=120176。所得的拋物線的解析式是 . 答案 y=2x24x3 解析 設(shè)旋轉(zhuǎn)后所得拋物線上任一點 P的坐標(biāo)為 (x,y),則點 P關(guān)于原點的對稱點 Q(x,y)在原拋 物線上 ,把點 Q的坐標(biāo)代入 y=2x24x+3,并整理得 y=2x24x3,即所求的拋物線的解析式為 y=2x2 4x3. 10.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,10,2分 )如圖 ,將△ OAB繞著點 O逆時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩次得到△ OA″B″,每次 旋轉(zhuǎn)的角度都是 50176。150176?！?AOA39。=60176。、 B39。(2,1),所以 (1+1)2+y2=(12)2+(y1)2,解得 y= P(1, 1). 8.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,6,2分 )如圖 ,將等邊△ OAB繞點 O按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 150176。C39。,B39。C39。,B39。的位置 . 6.(2022山西 ,13,3分 )如圖 ,已知△ ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為 A(0,4),B(1,1),C(2,2).將△ ABC向 右平移 4個單位 ,得到△ A39。(2)P 是 BC邊上任意一點 ,把△ ACB繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn) ,使旋轉(zhuǎn)角等于 ∠ BAC,那么點 P的對應(yīng)點 P39。C=90176。,因為 ∠ P39。取格點 F,連接 FG交 TC延長線于點 P39。最短時 ,請用 無刻度 的直尺 ,畫出點 P39。=77176。B39。=45176。,∴∠ CC39。 176。=32176。,點 C的對應(yīng)點是點 C39。,將△ ABC繞點 A順時針旋轉(zhuǎn) 90176。在第三次旋 轉(zhuǎn)過程中 ,BM的長由 1逐漸變小為 ? 1。平行四邊形是中心對稱圖形 ,但不一定是軸對稱圖 形 .故選 B. 2.(2022河北 ,16,2分 )已知正方形 MNOK和正六邊形 ABCDEF邊長均為 1,把正方形放在正六邊 形中 ,使 OK邊與 AB邊重合 ,如圖所示 ,按下列步驟操作 : 將正方形在正六邊形中繞點 B順時針旋轉(zhuǎn) ,使 KM邊與 BC邊重合 ,完成第一次旋轉(zhuǎn) 。 (2)如圖甲 ,把六邊形 ABCDEF沿 EH,BG剪成①②③三部分 ,請在圖甲中畫出將②③與①拼成的 正方形 ,然后標(biāo)出②③變動后的位置 ,并指出②③屬于旋轉(zhuǎn)、平移和軸對稱中的哪一種圖形變 換 。C39。C39。B39。C=∠ B=60176。C=A39。CC39。=BC=6,CC39。C,則△ A39。,將△ ABC沿射線 BC的方向平移 2個 單位后 ,得到△ A39。 (3)在 x軸上求作一點 P,使△ PAB的周長最小 ,請畫出△ PAB,并 ? 點 P的坐標(biāo) . ? ????直 接 寫 出解析 (1)平移后的圖形如圖所示 . (每畫對一個點給 1分 ) ? (3分 ) (2)關(guān)于原點對稱的圖形如圖所示 . (每畫對一個點給 1分 )? (6分 ) (3)如圖 ,點 P(2,0)為所求 .? (8分 ) ((3)詳解 :由圖可以看出 A(1,1)、 B(4,2),點 A關(guān)于 x軸對稱的點 A39。(2)先判斷四邊形 BFDG是平行四邊形 ,再利用一組鄰邊相等即可判斷四邊形 BFDG是菱形 。 (2)如圖 2,過點 D作 DG∥ BE,交 BC于點 G,連接 FG交 BD于點 O. ①判斷四邊形 BFDG的形狀 ,并說明理由 。,∴ 在 Rt△ BDF中 ,∠ BFD=60176。,∠ B=30176。,在 Rt△ BCE中 ,CE=? =? =2? ,故 選 B. 12 cosBCBCE? 3cos 30?3評析 本題考查折疊問題 ,折疊前后圖形的形狀和大小不變 . 6.(2022福建福州 ,7,3分 )如圖 ,在 33的正方形網(wǎng)格中有四個格點 A,B,C,D,以其中一點為原點 ,網(wǎng) 格線所在直線為坐標(biāo)軸 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,使其余三個點中存在兩個點關(guān)于一條坐標(biāo)軸對 稱 ,則原點是 ? ( ) ? 答案 B 以點 B為坐標(biāo)原點 ,網(wǎng)格線所在直線為坐標(biāo)軸 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,則點 A,C關(guān)于坐 標(biāo)軸對稱 ,故選 B. 7.(2022河北 ,3,3分 )一張菱形紙片按圖 圖 2依次對折后 ,再按圖 3打出一個圓形小孔 ,則展開 鋪平后的圖案是 ? ( ) ? ? 答案 C 可以動手操作 ,也可根據(jù)對折的順序及菱形的對稱性來判斷 .選 C. 8.(2022貴州遵義 ,2,3分 )下列圖形中 ,是軸對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 A 選項 A中的圖形符合軸對稱圖形的特征 .故選 A. 9.(2022遼寧沈陽 ,6,3分 )正方形是軸對稱圖形 ,它的對稱軸有 ( ) 答案 B 如圖所示 ,正方形有 4條對稱軸 ,故選 B. ? 10.(2022廣東 ,2,3分 )在下列交通標(biāo)志圖中 ,既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 C A項既不是軸對稱圖形 ,也不是中心對稱圖形 ,故 A項錯誤 。,∴ cos 45176。, ∴ DG⊥ BE.? (4分 ) ? 圖 1 (2)∵ 四邊形 ABCD與四邊形 AEFG是正方形 , ∴ AD=AB,∠ DAB=∠ GAE=90176。,AG=AE, ∴ △ ADG≌ △ ABE(SAS), ∴∠ AGD=∠ AEB. 如圖 1,延長 EB交 DG于點 H, 在△ ADG中 ,∠ AGD+∠ ADG=90176。的坐標(biāo)為 ? . 22OA OB?2239。BC=O39。sin 60176。B∠ O39。CB=90176。,O39。B=AB=5. ∴ 在 Rt△ A39。是△ ABO繞點 B逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。P+BP39。,求點 O39。.記旋轉(zhuǎn)角為 α. (1)如圖① ,若 α=90176。,∴∠ ADE=∠ ACB, ∴ △ ADE∽ △ ACB,∴ ? =? , ∵ AC=8,AB=AD=10, ∴ AE=? , ∴ CG=AE=? . ADAC AEAB252252解后反思 本題考查圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、 解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識 ,考查運算能力、推理能力、數(shù)形結(jié)合 思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想 . 7.(2022天津 ,24,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,O為原點 ,點 A(4,0),點 B(0,3),把△ ABO繞點 B逆時針 旋轉(zhuǎn) ,得△ A39。. (2)由平移的性質(zhì)可得 AE∥ CG,AB∥ EF,且 AE=CG. ∴∠ DEA=∠ DFC=∠ ABC,∠ ADE+∠ DAB=180176。 (2)求 CG的長 . ? 解析 (1)∵ 線段 AD由線段 AB繞點 A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。sin 60176。,所以 ∠ CDM=∠ CDB=90176。GMBC DMCD12 8 x4 14 54 PMAD 12 54 8 x121655.(2022福建福州 ,16,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。, 39。, ∴ PG39。, ∴∠ DAP=∠ DPG39。=90176。在一條直線上時 (如圖 ),過點 G39。,∴ n=45. 4.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=4,BC=8,P是邊 DC上的動點 ,G是 AP的中 點 ,以 P為中心 ,將 PG繞點 P順時針旋轉(zhuǎn) 90176。=160176。,所以 ∠ DA39。=130176。=50176。. 在△ AEB中 ,因為 ∠ EBA=60176。 176。,則 ∠ DA39。,連接 DA39。? (x+2), ∴ y=? x2+? x(0≤ x≤ 2). 當(dāng) x=2時 ,y有最大值 2.? (7分 ) ②當(dāng) BC向左平移時 ,如圖 ,BQ=PQPB=2x, 121212 12 1214 12? ∴ OE=? (2x). ∵ y=S△ OPB=? BP,即 ∠ AOP=90176?！?CBD=45176。 (2)請判斷 OA、 OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 ,并加以證明 。 (2)畫出△ DEF關(guān)于直線 l對稱的三角形 。,當(dāng)兩個三角形重疊部分的面積為 32時 ,它移動的距離 AA39。AC1=? AE,由此可知線 段 AB上的點 P(a,b)的對應(yīng)點 P39。B39。C中 ,x2+(6? x)2=(4? )2,? (11分 ) ∴ x1=3? ? ,x2=3? +? (不合題意 ,舍去 ), ∴ 點 D39。BG=45176。=BD39。,CE=CD39。,過 D39。交 AC于點 P,∴ 此時 DP+EP值最小 ,且 DP+EP=DD39。,∴∠ EFA=90176。E, ∴ △ AD39。(4分 ) (3)求點 D39。,點 E為 CD邊上的中點 ,連接 AE,將△ ADE沿 AE所在直線翻折得到△ AD39。72176。=∠ AED=108176。,∠ AEC=20176。,∴∠ AED=180176。的大小為 . ? 答案 36176。E處 , AD39。OA AF? 2242? 33綜上 ,點 A39。=OA=4, 在 Rt△ OA39。F∶ A39。(? ,1).