【正文】 ,∴ B39。=4, ∵ A39。C39。=2,∴ B39。C39。B39。,連接 A39。B39。B的解析式 ,然后令 y=0,解得 x=2,從而得 到 P點的坐標為 (2,0)) 1.(2022江西 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=4,BC=6,∠ B=60176。的坐標為 (1,1),連接 A39。 (2)請畫出△ ABC關于原點對稱的△ A2B2C2。 (3)利用相似三角形的性質 ,把線段 OF與矩形的邊聯(lián)系起來 ,求得線段 OF的長 ,再利用菱形的性 質求出 FG的長 . 14.(2022黑龍江哈爾濱 ,22,7分 )圖 圖 2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙 ,方格紙中每個 小正方形的邊長均為 1,線段 AC的兩個端點均在小正方形的頂點上 . (1)如圖 1,點 P在小正方形的頂點上 ,在圖 1中作出點 P關于直線 AC的對稱點 Q,連接 AQ、 QC、 CP、 PA ,并直接寫出四邊形 AQCP的周長 。, ∴ △ OFD∽ △ ABD.? (9分 ) ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ OF=? . ∴ FG=2OF=? .? (10分 ) 22AB AD? 2268?12OFAB ODAD 6OF58 154152思路分析 (1)利用折疊及矩形的性質得到角的等量關系 ,再用等角對等邊轉化成邊的等量關 系 。 ②若 AB=6,AD=8,求 FG的長 . ? 解析 (1)證明 :由折疊得 ,△ BDC≌ △ BDE, ∴∠ DBC=∠ DBF.? (1分 ) 又 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC, ∴∠ DBC=∠ FDB.? (2分 ) ∴∠ DBF=∠ FDB. ∴ DF=BF. ∴ △ BDF是等腰三角形 .? (3分 ) (2)①四邊形 BFDG是菱形 .? (4分 ) 理由如下 : ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ FD∥ BG,? (5分 ) 又 ∵ DG∥ BE, ∴ 四邊形 BFDG是平行四邊形 .? (6分 ) 又 ∵ DF=BF, ∴ 四邊形 BFDG是菱形 .? (7分 ) ② ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴∠ A=90176。. ∴ △ DEF是等邊三角形 . ∴ △ DEF的周長是 3a. 評析 本題考查折疊的性質 ,等邊三角形的判定和性質 ,屬容易題 . 12.(2022寧夏 ,15,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=3,BC=5,在 CD上任取一點 E,連接 BE,將△ BCE沿 BE折疊 ,使點 C恰好落在 AD邊上的點 F處 ,則 CE的長為 . ? 答案 ? 53解析 設 CE=x,在矩形 ABCD中 ,∵ AB=3,BC=5,∴ AD=BC=5,CD=AB=3,則 ED= 質可知 ,BF=BC=5,FE=CE= Rt△ ABF中 ,AF=? =4,∴ FD=54= Rt△ DEF中 ,有 DF2+ DE2=EF2,即 12+(3x)2 =x2,解得 x=? ,即 CE的長為 ? . 2253?53 5313.(2022甘肅蘭州 ,26,10分 )如圖 1,將一張矩形紙片 ABCD沿著對角線 BD向上折疊 ,頂點 C落到 點 E處 ,BE交 AD于點 F. (1)求證 :△ BDF是等腰三角形 。. ∵∠ EDB=∠ B=30176。. ∵∠ B=30176。,點 D(不與 B,C重合 )是 BC上任意 一點 .將此三角形紙片按下列方式折疊 .若 EF的長度為 a,則△ DEF的周長為 (用含 a的 式子表示 ). ? 答案 3a 解析 易知 ∠ FDC=∠ C=90176。D項是軸 對稱圖形 ,但不是中心對稱圖形 ,故 D項錯誤 .故選 C. 評析 本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的判定 ,屬容易題 . 11.(2022吉林 ,14,3分 )在三角形紙片 ABC中 ,∠ C=90176。B項既不是軸對稱圖形 ,也 不是中心對稱圖形 ,故 B項錯誤 。,∴∠ BCE=30176。=? , ∴ DM=? ,∴ AM=? . 在 Rt△ AMG中 ,∵ AM2+GM2=AG2, ∴ GM=? =? =? . DMAD2 222AG AM? 22(2 2) ( 2)? 6∵ DG=DM+GM=? +? ,∴ BE=DG=? +? .? (8分 ) (3)△ GHE與△ BHD面積之和的最大值為 6.? (10分 ) 對于△ EGH,點 H在以 EG為直徑的圓上 ,∴ 當點 H與點 A重合時 ,△ EGH的邊 EG上的高最大 ,對 于△ BDH,點 H在以 BD為直徑的圓上 ,∴ 當點 H與點 A重合時 ,△ BDH的邊 BD上的高最大 ,∴ △ GHE與△ BHD面積之和的最大值是 2+4=6.(12分 ) 2 6 2 6考點一 圖形的軸對稱 C組 教師專用題組 1.(2022河北 ,3,3分 )圖中由“ ? ”和“ ? ”組成軸對稱圖形 ,該圖形的對稱軸是直線 ? ( ) ? 答案 C 如果一個圖形沿一條直線折疊 ,直線兩旁的部分能夠完全重合 ,這個圖形叫做軸對 稱圖形 ,由此知該圖形的對稱軸是直線 l3,故選 C. 2.(2022天津 ,10,3分 )如圖 ,將一個三角形紙片 ABC沿過點 B的直線折疊 ,使點 C落在 AB邊上的點 E處 ,折痕為 BD,則下列結論一定正確的是 ? ( ) ? =BD =AC +EB=DB +CB=AB 答案 D 由折疊的性質知 ,BC=BE,∴ AE+CB= D. 3.(2022北京 ,7,3分 )甲骨文是我國的一種古代文字 ,是漢字的早期形式 .下列甲骨文中 ,? 軸對 稱圖形的是 ? ( ) ? ??不 是答案 D 選項 A、 B、 C都是軸對稱圖形 ,故選 D. 4.(2022河北 ,3,3分 )下列圖形中 ,既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 A 選項 B只是軸對稱圖形 ,選項 C和 D只是中心對稱圖形 ,只有選項 A既是軸對稱圖形 , 又是中心對稱圖形 . 5.(2022新疆烏魯木齊 ,9,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,點 E在 AB上 ,把這個直角三角形沿 CE折疊后 , 使點 B恰好落到斜邊 AC的中點 O處 ,若 BC=3,則折痕 CE的長為 ? ( ) ? A.? ? ? 3 33答案 B 根據(jù)折疊可知 ,∠ BCE=∠ ACE,BC=CO=3,∵ O是斜邊 AC的中點 ,∴ AC=2CO=6.∴ BC =? AC,∴∠ A=30176。. ? 圖 2 在 Rt△ AMD中 ,∵∠ MDA=45176。,AG=AE, ∴∠ DAB+∠ BAG=∠ GAE+∠ BAG, ∴∠ DAG=∠ BAE. ∵ AD=AB,∠ DAG=∠ BAE,AG=AE, ∴ △ ADG≌ △ ABE(SAS), ∴ DG=BE. 如圖 2,過點 A作 AM⊥ DG交 DG于點 M,∠ AMD=∠ AMG=90176。, ∴∠ DHE=90176。, ∴∠ AEB+∠ ADG=90176。 (3)如圖 3,小明將正方形 ABCD繞點 A繼續(xù)逆時針旋轉 ,線段 DG與線段 BE將相交 ,交點為 H,寫出 △ GHE與△ BHD面積之和的最大值 ,并簡要說明理由 . ? 2圖 1 圖 2 圖 3 解析 (1)∵ 四邊形 ABCD與四邊形 AEFG是正方形 , ∴ AD=AB,∠ DAG=∠ BAE=90176。AB AB? 233232 92 339,22??????(3)? . 6 3 2 7,55??????8.(2022江蘇連云港 ,26,12分 )在數(shù)學興趣小組活動中 ,小明進行數(shù)學探究活動 .將邊長為 2的正 方形 ABCD與邊長為 2? 的正方形 AEFG按圖 1位置放置 ,AD與 AE在同一條直線上 ,AB與 AG在 同一條直線上 . (1)小明發(fā)現(xiàn) DG⊥ BE,請你幫他說明理由 。=? .有 OC=OB+BC=? .∴ 點 O39。B cos∠ O39。=? ,BC=O39。Bsin∠ O39。C=O39。BO=60176。BC=180176。. 在 Rt△ O39。C⊥ y軸 ,垂足為 C,則 ∠ O39。B=OB=3,過點 O39。BO=120176。BA中 ,AA39。,A39。得到的 , 由旋轉的性質 ,可得 ∠ A39。BO39。取得最小值時 ,求點 P39。,當 O39。的坐標 。 (2)如圖② ,若 α=120176。,求 AA39。,O39。BO39。, ∵∠ ACB=90176。, ∵∠ DAB=90176。. ∵ △ EFG由△ ABC沿 CB方向平移得到 ,∴ AB∥ EF, ∴∠ BDF=∠ ABD=45176。得到 , ∴∠ DAB=90176。得到 ,△ EFG由△ ABC沿 CB方向平移得到 ,且直線 EF過點 D. (1)求 ∠ BDF的大小 。=? ,所以 BM=DM+BD=? +1. ? 3 3評析 解決本題的關鍵是證出 BM⊥ AC,再利用含有特殊角的直角三角形分別求得 BD、 DM的 長 ,從而求出 BM,綜合性較強 ,屬于難題 . 6.(2022福建 ,21,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。=1,所以 BD=CD= Rt△ CDM中 ,DM=CM.在 Rt△ CDB中 ,CD=CB,∠ CMB=∠ AMB=30176。,AB=BC=? .將△ ABC繞點 C逆時針旋 轉 60176。GMPD PMAD1212∴ ? =? ,∵ AB=CD=4,BC=8,∴ ? =? ,則 DM=? x,∴ PM=? x.∵ ? =? ,∴ ? =? ,解得 x= ? . 39。PGAP 39。M∥ BC,∴ △ DCB∽ △ DMG39?！?AP=1∶ 2,∴ ? =? =? , 不妨設 PD=x,則 G39。得 PG39。,∴ Rt△ PAD∽ Rt△ G39。=90176。, ∴∠ DAP+∠ APD=90176。,∠ GPG39。作 G39。在一條直線上時 ,PD= . ? 答案 ? 165解析 當 B、 D、 G39。,G的對應點為 G39。,∴∠ AFE= 45176。.故選 C. 評析 根據(jù)旋轉的性質和平行線的性質即可求解 . 3.(2022上海 ,16,4分 )一副三角尺按如圖的位置擺放 (頂點 C與 F重合 ,邊 CA與邊 FE疊合 ,頂點 B、 C、 D在一條直線上 ).將三角尺 DEF繞著點 F按順時針方向旋轉 n176。+30176。E39。B=∠ EAB=30176。.由旋轉的性質知 ,∠ E39。50176。,所以 ∠ BA39。.又因為 AD∥ BC,∠ ADA39。,∠ AEB=90176。,所以 ∠ CBA=60176。 176。 176。E39。=50176。.若 ∠ ADC=60176。E39。OE=? xOE=? x. ∴ OA⊥ OP, ∴ OA=OP且 OA⊥ OP.? (4分 ) ,A B P QA B O P Q OO B O Q???? ? ??? ??②當 BC向左平移時 ,如圖 , 同理可證 ,△ ABO≌ △ PQO(SAS). ∴ OA=OP,∠ AOB=∠ POQ, ∴∠ AOP+∠ POB=∠ POB+∠ BOQ, ∴∠ AOP=∠ BOQ=90176。, ∴∠ AOB+∠ BOP=90176。, ∴∠ BQO=∠ CBD=∠ ABD=45176。, ∴∠ BQO=90176。 (3)在平移變換過程中 ,設 y=S△ OPB,BP=x(0≤ x≤ 2),求 y與 x之間的函數(shù)關系式 ,并求出 y的最大值 . ? 解析 (1)四邊形 APQD是平行四邊形 .? (1分 ) (2)OA=OP且 OA⊥ : ①當 BC向右平移時 ,如圖 , ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=BC,∠ ABD=∠ CBD=45176。. 6.(2022廣東 ,25,9分 )如圖 ,BD是正方形 ABCD的對角線 ,BC= BC在其所在的直線上平移 ,將 通過平移得到的線段記為 PQ,連接 PA、 QD,并過點 Q作 QO⊥ BD,垂足為 O,連接 OA、 OP. (1)請直接寫出線段 BC在平移過程中 ,四邊形 APQD是什么四邊形 。 (3)填空 :∠ C+∠ E= 176。D=12x,則有 x(12x)=32,解得 x=4或 8,經(jīng)檢驗均符合題意 . 5.(2022安徽 ,18,8分 )如圖 ,在邊長為 1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中 ,給出了格點△ ABC 和△ DEF(頂點為網(wǎng)格線的交點 ),以及過格點的直線 l. (1)將△ ABC向右平移兩個單位長度 ,再向下平移兩個單位長度 ,畫出平移后的三角形 。等于 . ? 答案 4或 8 解析 設 AA39。C39。BC1,所以 ? 3 ? =? 2? (x+2),整理得 x2+4x77=0,解得 x1=7,x2=11(舍去 ),所以平移的距離為 7 cm. 22AB BE? 2231? 2221BC AB? 22( 2) 3x??12 12 1222( 2) 3x??122評析 本題是在平移中構造矩形 ,綜合考查矩形的性質 ,等腰三角形的性質以及勾股定理和解 方程 ,屬中檔題 . 4.(2022山東濟南 ,20,3分 )如圖 ,將邊長為 12的正方形 ABCD沿其對角線 AC剪開 ,再把△ ABC沿著 AD方向平移 ,得到