【正文】 形組成的網(wǎng)格中 ,給出了格點(diǎn)△ ABC 和△ DEF(頂點(diǎn)為網(wǎng)格線的交點(diǎn) ),以及過格點(diǎn)的直線 l. (1)將△ ABC向右平移兩個(gè)單位長度 ,再向下平移兩個(gè)單位長度 ,畫出平移后的三角形 。C39。, 又 ∵ 點(diǎn) P是直線 AA39。, ∴ AA39。B39。C39。,點(diǎn) P是直線 AA39。B39。為等邊 三角形 ,△ BDD39。=60176。BN=∠ QBN=30176。D39。D39。,作 D關(guān)于 BE的對稱點(diǎn) D39。是等邊三角形 , 得到 BN=? BD=? ,從而可得結(jié)論 。,則此時(shí) PN+ PD的長度取得最小值 ,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知 BD=BD39。作 D39。 (2)①作點(diǎn) D關(guān)于 BE的對稱點(diǎn) D39。=? =? . ∴ QN+NP+PD的最小值為 ? . 2231?10思路分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAO=∠ ABO=∠ OBD=30176。中 , 1232 32310D39。, ∴ 在 Rt△ D39。BQ39。為等邊三角形 ,△ BDD39。=60176。BN=∠ QBN=30176。D39。D39。,作 D關(guān)于 BE的對稱點(diǎn) D39。是等邊三角形 , ∴ BN=? BD=? , ∵∠ PBN=30176。, ∵∠ ABC=60176。, ? 則此時(shí) PN+PD的長度取得最小值 , ∵ BE垂直平分 DD39。作 D39。, ∴ OB=2OD, ∴ OA=2OD. (2)①作點(diǎn) D關(guān)于 BE的對稱點(diǎn) D39。 ②如圖③ ,若點(diǎn) Q在線段 BO上 ,BQ=1,則 QN+NP+PD的最小值 = . ? 解析 (1)AO=2OD. 理由 :∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ BAO=∠ ABO=∠ OBD=30176。 (3)利用相似三角形的性質(zhì) ,把線段 OF與矩形的邊聯(lián)系起來 ,求得線段 OF的長 ,再利用菱形的性 質(zhì)求出 FG的長 . 10.(2022江蘇徐州 ,27,9分 )如圖 ,將邊長為 6的正三角形紙片 ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊與展 平后 ,得折痕 AD,BE(如圖① ),點(diǎn) O為其交點(diǎn) . (1)探求 AO與 OD的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。, ∴ △ OFD∽ △ ABD.? (9分 ) ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ OF=? . ∴ FG=2OF=? .? (10分 ) 22AB AD?2268?12ABAD6581542思路分析 (1)利用折疊及矩形的性質(zhì)得到角的等量關(guān)系 ,再用等角對等邊轉(zhuǎn)化成邊的等量關(guān) 系 。 ②若 AB=6,AD=8,求 FG的長 . ? 解析 (1)證明 :由折疊得 ,△ BDC≌ △ BDE, ∴∠ DBC=∠ DBF.? (1分 ) 又 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC, ∴∠ DBC=∠ FDB.? (2分 ) ∴∠ DBF=∠ FDB. ∴ DF=BF. ∴ △ BDF是等腰三角形 .? (3分 ) (2)①四邊形 BFDG是菱形 .? (4分 ) 理由如下 : ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ FD∥ BG,? (5分 ) 又 ∵ DG∥ BE, ∴ 四邊形 BFDG是平行四邊形 .? (6分 ) 又 ∵ DF=BF, ∴ 四邊形 BFDG是菱形 .? (7分 ) ② ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴∠ A=90176。AN109.(2022甘肅蘭州 ,26,10分 )如圖 1,將一張矩形紙片 ABCD沿著對角線 BD向上折疊 ,頂點(diǎn) C落到點(diǎn) E處 ,BE交 AD于點(diǎn) F. (1)求證 :△ BDF是等腰三角形 。∽ Rt△ GMF,∴ ? =? ,∴ GF=? cm. ? 1232 92 32 2239。,又 ∠ 2+∠ 3=90176。=? =? cm,由對 稱性得 FG垂直平分 AA39。N=? Rt△ AA39。與 FG交于點(diǎn) O,由題意知 DN= ? DC39。,作 GM⊥ AD于點(diǎn) M,作 A39。處 ,最后按圖 3所示方式折疊 ,使點(diǎn) A落在 DE的中點(diǎn) A39。,∠ B=∠ DFN, ∴∠ A=∠ DFH, ∴∠ FDH+∠ DFH=90176。, ∵∠ DFN+∠ DFH=180176。BC BD?2243?7.(2022四川成都 ,24,4分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,tan A=? ,M,N分別在邊 AD,BC上 ,將四邊形 AMNB 沿 MN翻折 ,使 AB的對應(yīng)線段 EF經(jīng)過頂點(diǎn) D,當(dāng) EF⊥ AD時(shí) ,? 的值為 . ? 43BNCN答案 ? 27解析 延長 NF與 DC交于點(diǎn) H, ∵∠ ADF=90176。=4,根據(jù)勾股定理可得 DC39。C=45176。B⊥ BC,∠ BCC39。=90176。BO=∠ CBO=45176。的值最小 . ∵ DC=1,BD=3,∴ BC=4, 連接 BC39。,交 AB于 P,連接 CP. 此時(shí) DP+CP=DP+PC39。,使 OC39。只有等腰三角形只是軸對稱圖形 ,故選 A. 5.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,3,3分 )下圖中序號 (1)(2)(3)(4)對應(yīng)的四個(gè)三角形 ,都是△ ABC這個(gè)圖形 進(jìn)行了一次變換之后得到的 ,其中是通過軸對稱得到的是 ? ( ) ? A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 答案 A 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知 ,序號 (1)對應(yīng)的三角形與△ ABC的對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被一 條直線 (對稱軸 )垂直平分 ,故選 A. 6.(2022遼寧營口 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=BC,∠ ACB=90176。,以頂點(diǎn) C為圓心 ,適當(dāng)長為半徑畫弧 ,分別交 AC,BC于點(diǎn) E,F,再分別以點(diǎn) E,F為圓心 ,大于 ? EF的長為半徑畫弧 ,兩弧交于點(diǎn) P,作射線 CP交 AB于點(diǎn) BD=3,AC=10,則△ ACD的面積是 . ? 12答案 15 解析 由作圖知 CD是 ∠ ACB的平分線 ,∴ 點(diǎn) D到 ∠ ACB兩邊的距離相等 ,又 ∠ B=90176。,S△ ABC=? AB2. 由 (2)可知 CD=AC=BC=AB, ∴∠ CBD=∠ D=? ∠ ACB=30176。 (3)連接 BD,BC. 下列說法不正確的是 ? ( ) ? A.∠ CBD=30176。AP PD?9 ( 3)?21考點(diǎn)四 尺規(guī)作圖 1.(2022濰坊 ,6,3分 )如圖 ,木工師傅在板材邊角處作直角時(shí) ,往往使用“三弧法” ,其作法是 : (1)作線段 AB,分別以 A,B為圓心 ,以 AB長為半徑作弧 ,兩弧的交點(diǎn)為 C。中 ,AD39。,PD39。的中點(diǎn) ,得 AP⊥ D39。中 ,由 P為 D39。.? (9分 ) ②當(dāng) A、 C、 P三點(diǎn)共線時(shí) AP最大 ,如圖 . ? 此時(shí) ,AP=AC+CP.? (10分 ) 在等邊△ D39。. 綜上可知 ,AD39。,∴ AD39。, 又 ∵ AC=BC,CD39。,BE39。時(shí) ,AD39。=BE39。≌ △ BCE39。=CE39。=∠ BCE39。.? (6分 ) 333理由 :當(dāng) α≠ 180176。為菱形 .? (5分 ) (2)① AD39。=CE39。=EC=2? ,CC39。. 又 E39。為等邊三角形 ,∴ MC=CE39。, ∴ △ MCE39。=∠ NC39。=60176。C39?！?CN, ∴ 四邊形 MCND39。,∴ D39。C39。,? (3分 ) ∴∠ D39。C39。, ∴∠ D39。,∴ AB∥ D39。.? (2分 ) ∵ AB∥ DE,DE∥ D39。的平分線 ,∴∠ NCC39。=120176。=180176。. ∵ △ ABC為等邊三角形 ,∴∠ B=∠ ACB=60176。,DE∥ D39。為菱形 .? (1分 ) 理由 :由平移的性質(zhì)得 CD∥ C39。的值 .(結(jié)果保留根號 ) ? 圖 1 圖 2 3解析 (1)當(dāng) CC39。有怎樣的數(shù)量關(guān)系 ?并說明理由 。的中點(diǎn)為 P. ①在旋轉(zhuǎn)過程中 ,AD39。.邊 D39。C,連接 AD39。),得到△ D39。 (2)如圖 2,將△ DEC繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn) ∠ α(0176。多大時(shí) ,四邊形 MCND39。與 ∠ ACC39。與 AC的交點(diǎn)為 M,邊 C39。,邊 D39。E39。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為 45176。H=? 1,故答案為 ? 1. ? 2 22AC BC?12 22A AH?312 3 3規(guī)律總結(jié) 解這類題通常抓住變換前后的全等圖形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等 .當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為 60176。=1, ∴ C39。H, ∴ C39。=90176。=1, ∴ BH=? =? ,∵∠ AC39。,∴ BH⊥ AB39。=∠ ABC39。, ∴∠ B39。BC39。 =AC39。,B39。,又 ∵ BC39。=AB,∠ ABB39。,∴ △ ABB39。=AB=2,且 ∠ BAB39。于點(diǎn) H,∵∠ C=90176。,延長 BC39。B,則 C39。C39。,AC=BC=? ,將△ ABC繞點(diǎn) A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 6 0176。,PE=42? ,∴ PF=? PE=2? 3,∴ S△ PCE =? CE,∴ AP=AB=AD=2 ? .在 Rt△ ADE中 ,∠ DAE=30176。,∴∠ ABP=60176。,∵ 把邊 BC繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30176。NE=? ME2=? ? =? ,∴ ④正確 ,故選 C. AEc o sAEα2c o s α12 121222c o s α??????22co s α10.(2022棗莊 ,16,4分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,AD=2? ,把邊 BC繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30176。 ∵ AD=BC,AD=2AB=4,∴ BC=4,AB=2, ∴ BNAM=BCCNAM=BCBMAM=BC(BM+AM)=BCAB=42=2,∴ ③正確 。, ∴∠ AEM=∠ FEN. 在 Rt△ AME和 Rt△ FNE中 , ? ∴ Rt△ AME≌ Rt△ FNE, ∴ AM=FN,∴ MB=CN. ∵ AM不一定等于 BM,∴ AM不一定等于 CN,∴ ①錯(cuò)誤 。④ S△ EMN=? .上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 22co s α答案 C 如圖 ,作 EF⊥ BC于點(diǎn) F,則有 AB=AE=EF=FC, ? ∵∠ AEM+∠ DEN=90176。② ∠ AME=∠ BNE。α90176。連接 AP,由 ∠ AMP=∠ ADP=90176。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及△ ABM≌ △ MEF,得 AN=AM=MF=NF,∠ MAN=∠ MAD+∠ DAN=∠ AND+∠ DAN=90176。 由 FG∥ CM,易得△ MCP∽ △ FGP, ∴ ? =? ,即 ? =? , 解得 CP=b? ,故②正確 。? =a2+b2。② CP=b? 。CA=∠ B39。=∠ B+∠ CB39。, 又 ∠ A39。C平分 ∠ BB39。A39。B, ∴∠ CB39。, 由 BC=B39。AC,∠ ACB= ∠ A39。A39。A39。,BC=B39。 答案 C 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 ∠ BCB39。C平分 ∠ BB39。CA=∠ B39。=∠ ACA39。處 ,此時(shí) ,點(diǎn) A的對 應(yīng)點(diǎn) A39。得到“ 69” . 故選 B. 思路分析 直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合“ 69”兩個(gè)數(shù)字的特點(diǎn)得出答案 . 6.(2022青島 ,5,3分 )如圖 ,若將△ ABC繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。,得到數(shù)字 “ 6” ,現(xiàn)將數(shù)字“ 69”旋轉(zhuǎn) 180176。 的度數(shù) . 5.(2022棗莊 ,2,3分 )將數(shù)字“ 6”旋轉(zhuǎn) 180176。A39。A39。A=45176。是等腰直角三角形 ,從而可得 ∠ CAA39。. 思路分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 AC=AC39。+45176。=∠ BAC+∠ CAA39。C=20176。,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠ BAC=∠ B39。25176。A39。A=45176。是等腰直角三角形 ,所以 ∠ CAA39。=90176。 答案 C 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 AC=A39。 176。的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。,若 ∠ 1= 25176。B39。的垂直平分線 l1,l2,則 l1與 l2的交點(diǎn)為 (1,2),即點(diǎn) P的 坐標(biāo)為 (1,2). ? 4.(2022菏澤 ,5,3分 )如圖 ,將 Rt△ ABC繞直角頂點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。,分別作 AA39。,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? ( ) ? A.(0,4) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1) 答案 C 如圖 ,連接 AA39。B39。 (3)順次連接各對應(yīng)點(diǎn) . 3.(2022濟(jì)南 ,9,4分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,△ ABC的頂點(diǎn)都在方格線的格點(diǎn)上 ,將△ ABC繞 點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 (2)作出這些關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn) ,對應(yīng)點(diǎn)的作法 :將各關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接 。,如圖所示 ,則點(diǎn) A39。的坐標(biāo)是 ? ( ) ? A.(1,3) B.(4,0) C.(3,3) D.(5,1) 答案 D 將點(diǎn) A繞點(diǎn) P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90176。、 B39。B39。后能與自身重合 ,那么這個(gè)圖形叫做中 心對稱圖形 ,根據(jù)定義可知選項(xiàng) C是中心對稱圖形 . 2.(2022青島 ,7,3分 )如圖 ,將線段 AB繞點(diǎn) P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90176。,由此可知線段 AB上的點(diǎn) P(a,b)的對應(yīng)點(diǎn) P39。的坐標(biāo)為 ? ( ) ?