【正文】 PD時(shí) ,P點(diǎn)為 BD的中點(diǎn) ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?CDBPBD2106512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點(diǎn)在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。角的直角三角形的性質(zhì) ,三角形相似的判定和性質(zhì) .解答本題的 關(guān)鍵是作出 Rt△ BCD斜邊上的中線 . 2.(2022重慶 ,8,4分 )△ ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,則△ ABC與△ DEF的周長比為 ? ( ) ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 16 答案 C 因?yàn)椤?ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,所以由相似三角形周長的比等于相似比 ,得 △ ABC與△ DEF的周長比為 1∶ 4,故選 C. 3.(2022安徽 ,8,4分 )如圖 ,△ ABC中 ,AD是中線 ,BC=8,∠ B=∠ DAC,則線段 AC的長為 ? ( ) ? ? ? 2 3答案 B 由 AD是中線可得 DC=? BC=4. ∵∠ B=∠ DAC,∠ C=∠ C, ∴ △ ADC∽ △ BAC, ∴ ? =? ,∴ AC2=BC=3. ∵ E為 BC的中點(diǎn) ,∴ ED=BE=2,∴∠ 3=∠ 2=∠ 1. ∴ DE∥ AB,∴ △ AFB∽ △ EFD, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ DF=? ? .故選 D. 3BF2323DFDF?45 3思路分析 根據(jù)題意得 ,在 Rt△ ABD和 Rt△ BCD中 ,∠ ABD=∠ CBD=30176。=2? . 在 Rt△ ABD中 ,AB=BD. 在 Rt△ BCD中 ,BD=BC,則 DF的長為 ? ( ) ? A.? ? B.? ? C.? ? D.? ? 25 323 334 345 3答案 D 如圖 ,連接 DE. ? ∵ BD平分 ∠ ABC,∠ CBD=30176。 (2)以點(diǎn) O為位似中心 ,將△ ABC縮小為原來的 ? ,得到△ A2B2C2,請(qǐng)?jiān)?y軸右側(cè)畫出△ A2B2C2,并求 出 ∠ A2C2B2的正弦值 . ? 12解析 (1)△ A1B1C1為所求作三角形 . (2)△ A2B2C2為所求作三角形 . ? 根據(jù)勾股定理得 A2C2=? =? , ∴ sin∠ A2C2B2=? =? . 2213?101C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 相似的性質(zhì)與判定 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,BD平分 ∠ ABC,∠ BAD=∠ BDC=90176。得到線段 A2B1。的邊上 . 2 1,34mnx y nxy? ? ??? ???323x2 3x3232,2??????32, 2??32323x32, 23x 32評(píng)析 本題以平面直角坐標(biāo)系中的位似和方程組的解的存在性為背景 ,考查了反比例函數(shù)的 圖象與性質(zhì) ,解題關(guān)鍵是運(yùn)用中心對(duì)稱的性質(zhì) .本題屬難題 . 3.(2022甘肅蘭州 ,17,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD與四邊形 EFGH位似 ,位似中心是點(diǎn) O,? =? ,則 ? = . ? OEOA35FGBC答案 ? 35解析 ∵ 四邊形 ABCD與四邊形 EFGH位似 , ∴ △ OEF∽ △ OAB,△ OFG∽ △ OBC, ∴ ? =? =? ,? =? =? . 35FGBC354.(2022安徽 ,17,8分 )如圖 ,在由邊長為 1個(gè)單位長度的小正方形組成的 1010網(wǎng)格中 ,已知 點(diǎn) O,A,B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn) . (1)在給定的網(wǎng)格中 ,以點(diǎn) O為位似中心 ,將線段 AB放大為原來的 2倍 ,得到線段 A1B1(點(diǎn) A,B的對(duì) 應(yīng)點(diǎn)分別為 A1,B1).畫出線段 A1B1。C39。? 在函數(shù) y=? 的圖象上 ,即當(dāng) kt=? 時(shí) ,有且只有一個(gè)點(diǎn)在矩形 A39。? ,又 n≠ ? ,所以 A39。(k,kt),當(dāng) kt=? 時(shí) ,A39。與函數(shù) y=? 的圖象有交點(diǎn)時(shí) ,則交點(diǎn)至少有 兩個(gè) ,分別是 A39。C39。點(diǎn)的坐標(biāo)為 (k,kt),當(dāng)矩形 A39。與矩形 ABCD的位似比為 k,因?yàn)?A(1,t),所以 A39。C39。ABAB2 1,34mnx y nxy? ? ??? ???34 43 32答案 D 因?yàn)榉匠探M ? 無解 ,所以 mn=3,且 n≠ ? ,那么以實(shí)數(shù) m,n為坐標(biāo)的點(diǎn)在 反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,且 y≠ ? .矩形 A39。t的值等于 ? ( ) ? A.? C.? D.? 39。D39。B39。、 B39。D39。B39。,AP⊥ BN, ∴∠ BPA=∠ BAN=90176。. ∴∠ APN=90176。 (2)① 如圖二 ,在點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)過程中 ,滿足△ PBC∽ △ PAM的點(diǎn) M在 AB的延長線上時(shí) ,AP⊥ BN和 AM =AN是否成立 (不需說明理由 )? ② 是否存在滿足條件的點(diǎn) P,使得 PC=? ?請(qǐng)說明理由 . ? 12解析 (1)證明 :∵ △ PBC∽ △ PAM,∴∠ PBC=∠ PAM.? (1分 ) ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ PBC=∠ ANP. ∴∠ PAM=∠ ANP.? (2分 ) ∵∠ PAM+∠ PAN=90176。 (2)作 PM⊥ AP,MN⊥ PC,先判斷出△ PMN∽ △ APB,得出 ? =? =? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t,再 判斷出△ ABP∽ △ CBA,設(shè) PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得 BP=t,則 BC=5t,即可得出結(jié)論 。( BP+4t), ∴ BP=t,∴ BC=5t, ∴ tan C=? . PN2555555? (3)在 Rt△ ABC中 ,sin∠ BAC=? =? ,∴ tan∠ BAC=? =? . 過點(diǎn) A作 AG⊥ BE于點(diǎn) G,過點(diǎn) C作 CH⊥ BE交 EB的延長線于點(diǎn) H, ∵∠ DEB=90176。,∠ BAP=∠ C, ∴∠ MPC=∠ C,∴ CN=PN=2t. 易得△ ABP∽ △ CBA, ∴ AB2=BP, ∴∠ MAB+∠ MBA=∠ NBC+∠ MBA=90176。 (3)如圖 3,D是邊 CA延長線上一點(diǎn) ,AE=AB,∠ DEB=90176。. (1)如圖 1,分別過 A、 C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn) B的直線的垂線 ,垂足分別為 M、 N,求證 :△ ABM∽ △ BCN。. ∵∠ BAC=∠ DAE, ∴ △ ABC∽ △ ADE,? (3分 ) ∴ ? =? .? (5分 ) ∵ BC=1 m,DE= m,BD= m. ∴ ? =? , ∴ AB=17 m. ∴ 河寬 AB為 17 m.? (7分 ) ?11 . 5思路分析 首先根據(jù) ∠ ABC=∠ ADE,∠ BAC=∠ DAE判定△ ABC∽ △ ADE,再根據(jù)相似三角形 的性質(zhì)得出 ? =? ,進(jìn)而可求得 AB的值 . ADBC方法指導(dǎo) 解與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng) .① 審題 :結(jié)合圖形通讀題干 ,第一時(shí) 間鎖定采用的知識(shí)點(diǎn) ,如 :觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 ,如果含有 ,考慮利用銳角三角函數(shù) 解題 .如果僅涉及三角形的邊長 ,則采用相似三角形的性質(zhì)解題 .② 篩選信息 :由于實(shí)際問題文 字閱讀量較大 ,因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 .③ 構(gòu)造圖形 :只要是與三角形有關(guān)的實(shí)際問題都會(huì) 涉及圖形的構(gòu)造 ,如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 ,則可直接利用所給圖形進(jìn)行計(jì)算 ,必要時(shí)可添 加輔助線 。.測(cè)得 BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河寬 AB= m. ? 答案 100 解析 易知△ ABD∽ △ ECD,∴ ? =? ,又 ∵ BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,∴ AB=100 m. CDEC9.(2022北京 ,13,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,E是邊 AB的中點(diǎn) ,連接 DE交對(duì)角線 AC于點(diǎn) F,若 AB=4, AD=3,則 CF的長為 . ? 答案 ? 103解析 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB∥ CD,CD=AB=4,BC=AD=3,∴∠ DCA=∠ CAB,又 ∠ DFC= ∠ AFE,∴ △ CDF∽ △ AEF,∴ ? =? .∵ E是邊 AB的中點(diǎn) ,AB=4,∴ AE=2.∵ BC=3,AB=4,∠ ABC =90176。CF,CF=3CECE,∴∠ AED+∠ ADE=120176。,∴∠ EDA+∠ FDB=120176。選項(xiàng) D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是 2∶ 3,且兩邊的夾 角相等 ,所以兩個(gè)三角形也是相似的 ,故選 C. 評(píng)析 本題考查相似三角形的判定 ,熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵 . 6.(2022江蘇南京 ,3,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,? =? ,則下列結(jié)論中正確的是 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? E2 ADDB12AEAC12 BC12ADEABC的 周 長的 周 長13ADEABC的 面 積的 面 積13答案 C ∵ ? =? ,∴ ? =? ,∵ DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC,∴ ? =? =? =? ,故選項(xiàng) A、 B錯(cuò)誤 。,∴∠ ABF=∠ DAE,∴ △ ADE∽ △ BFA,則 ? =? ,即 ? =? =3,設(shè) AF=x(x0),則 BF=3x,在 Rt△ ABF中 , 由勾股定理得 AF2+BF2=AB2,即 x2+(3x)2=22,解得 x=? (負(fù)值舍去 ),所以 3x=? ,即 BF=? .故 選 B. ADDEBF311053 1 053 1 05思路分析 先通過證明△ ADE∽ △ BFA得到 AF與 BF的數(shù)量關(guān)系 ,再在 Rt△ ABF中 ,由勾股定理 建立方程求解 . 5.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ A=78176。,∴∠ FAB+∠ DAE=90176。,CD為 AB邊上的高 ,CE為 AB邊上的中 線 ,AD=2,CE=5,則 CD=? ( ) ? ? 3答案 C 在 Rt△ ABC中 ,因?yàn)?CE為 AB邊上的中線 ,所以 AB=2CE=25=10,又 AD=2,所以 BD=8, 易證△ ACD∽ △ CBD,則 CD2=AD④ 平行于三角形一邊的直線 截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似 。② 如果兩個(gè)三角形的兩條邊的比對(duì)應(yīng)相等 ,且夾角相等 ,那么這兩個(gè)三角形相 似 。AC. ? 證明 ∵∠ ABD=∠ C,∠ A是公共角 , ∴ △ ABD∽ △ ACB, ∴ ? =? , ∴ AB2=AD (2)分別取△ ABC三邊 AC,AB,BC的中點(diǎn) E,F,G,并連接 EG,FG,根據(jù)題意可得線段 MN掃過區(qū)域的 面積就是四邊形 AFGE的面積 ,求解即可 。, ∴ S四邊形 AFGE=AE (2)求點(diǎn) D由點(diǎn) A向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng)的過程中 ,線段 MN所掃過區(qū)域的面積 。, ∴ hb=c, 又 ∵ xb=2, ∴ ? +? =? . (3)xb : 由 (1)得 ? +? =? ,? +? =? , ∴ xb=? ,xc=? , AKADaxa aaahxh?1a 1ah1ax1b 1bh1bx1b1c121b1bh1bx1c1ch1cxbbbh? ccch?∵ S△ ABC=? bhb=? chc, ∴ 2S△ ABC=bhb=chc, 又 ∵ hb=csin∠ BAC,hc=bsin∠ BAC, ∴ ? ? =? =? =? , ∵ bc,sin∠ BAC1, ? ? 0, ∴ xbxc. 12121bx cx()2bcABCb