【正文】 2ABBC EFFB12(2 5)2na?∵ DH∥ AM,∴ ? =? ,∴ DH=(2n5)a,∴ HE=(5n)a. 當(dāng) MN∥ BE時(shí) ,四邊形 MBEH是平行四邊形 , ∴ (5n)a=a,∴ n=4. ∴ 當(dāng) n=4時(shí) ,MN∥ BE. ? 解法二 :? =? =n,設(shè) MB=a,與 (2)同理可得 CE=na,BC=2a, 當(dāng) MN∥ BE時(shí) ,CM⊥ BE,可證△ MBC∽ △ BCE,∴ ? =? . ∴ ? =? ,∴ n=4. ∴ 當(dāng) n=4時(shí) ,MN∥ BE. DNAN DHAMABBC EFFBMBBC BCCE2aa 2 ana思路分析 (1)所證結(jié)論是相等關(guān)系 ,考慮證三角形全等 . (2)設(shè) MB=a,利用相似三角形將 AN,ND用含 a的式子表示出來(lái) ,進(jìn)而得比值 . (3)類比 (2)求解 . 評(píng)析 本題是探究型問(wèn)題 ,考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定 和性質(zhì) . 6.(2022麗水、衢州 ,23,10分 ) 提出問(wèn)題 : (1)如圖 1,在正方形 ABCD中 ,點(diǎn) E,H分別在 BC,AB上 ,若 AE⊥ DH于點(diǎn) O,求證 :AE=DH。 類比探究 : (2)如圖 2,在正方形 ABCD中 ,點(diǎn) H,E,G,F分別在 AB,BC,CD,DA上 ,若 EF⊥ HG于點(diǎn) O,探究線段 EF 與 HG的數(shù)量關(guān)系 ,并說(shuō)明理由 。 綜合運(yùn)用 : (3)在第 (2)問(wèn)條件下 ,HF∥ GE,如圖 3所示 ,已知 BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=DA,∠ ABE=∠ DAH=90176。. ∴∠ HAO+∠ OAD=90176。. ∵ AE⊥ DH, ∴∠ ADO+∠ OAD=90176。. ∴∠ HAO=∠ ADO. ∴ △ ABE≌ △ DAH(ASA), ∴ AE=DH. (2)EF=GH. 理由如下 :將 FE平移到 AM處 ,則 AM∥ EF,AM=EF. 將 GH平移到 DN處 ,則 DN∥ GH,DN=GH. ? ∵ EF⊥ GH,∴ AM⊥ DN, 根據(jù) (1)的結(jié)論得 AM=DN,所以 EF=GH. (3)∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB∥ CD, ∴∠ AHO=∠ CGO, ∵ FH∥ EG, ∴∠ FHO=∠ EGO, ∴∠ AHF=∠ CGE, 又 ∠ HAF=∠ GCE=90176。, ∴ △ AHF∽ △ CGE,又 FH∥ EG, ∴ ? =? =? =? , ∵ EC=2,∴ AF=1, 過(guò) F作 FP⊥ BC于點(diǎn) P, AFCE FHEG FOOE12? ∴ BP=AF=1,PF=BC=4, ∴ PE=BEBP=1, 則有 EF=? =? , ∵ FH∥ EG, ∴ ? =? , ∴ ? =? , 根據(jù) (2)知 EF=GH, ∴ FO=HO. ∴ S△ FOH=? FO2=? ? =? , 22PF PE? 17FOOEHOOGFOFE HOHG12 12213 EF??????1718S△ EOG=? EO2=? ? =? , ∴ 陰影部分面積為 S△ FOH+S△ EOG=? . 12 12223 EF??????3498518評(píng)析 本題考查了三角形的綜合知識(shí) .用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與 性質(zhì)、勾股定理等 ,綜合性較強(qiáng) ,難度較大 . 1.(2022杭州 ,10,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D在 AB邊上 ,DE∥ BC,與邊 AC交于點(diǎn) E,連接 △ ADE,△ BCE的面積分別為 S1,S2? ( ) ? 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 2ADAB,則 3S12S2 考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用 答案 D 由平行線分線段成比例知 ? =? , 當(dāng) AD=BD時(shí) ,AE=EC,則 DE為△ ABC的中位線 , 此時(shí) ? =? ,即 3S1=S四邊形 BDEC, ∵ DE為△ ABC的中位線 ,∴ E為 AC的中點(diǎn) , 易得 S△ BEC=S△ BAE,∴ 2S2=S△ ABC,∴ 2S23S1. ∴ 當(dāng) 2ADAB時(shí) ,AECE,S1變小 ,S2變大 ,一定有 2S23S1。 當(dāng) 2ADAB時(shí) ,AECE,S1變大 ,S2變小 ,不能確定 2S2與 3S1的大小關(guān)系 ,故選 D. AEEC ADDBADEBDECSS四 邊 形 132.(2022湖州 ,10,3分 )如圖 1,在等腰三角形 ABC中 ,AB=AC=4,BC= 2,在底邊 BC上取一點(diǎn) D, 連接 AD,使得 ∠ DAC=∠ 3,將△ ACD沿著 AD折疊 ,使得點(diǎn) C落在點(diǎn) E處 ,連接 BE,得到 四邊形 BE的長(zhǎng)是 ? ( ) ? B.? ? ? 1742 5答案 B 如圖 ,設(shè) AE與 BC交于點(diǎn) O,∠ C=α. ∵ AB=AC,∴∠ ABC=∠ C=α,由已知條件及折疊的性質(zhì)得 ∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ C=α,AE=AC=AB=4, ? ∴ △ CDA∽ △ CAB,∴ AC2=CDCB,∴ CD=? ,∴ BD=? . ∵∠ ADO=∠ ADB,∠ 2=∠ ABD, ∴ △ ADO∽ △ BDA,∴ AD2=DODB,又 AD=CD,∴ DO=? . ∴ CO=DO+CD=? ,∴ BO=BCCO=? . ∵∠ BAE=180176。4α,由 AE=AB得 ∠ ABE=∠ AEB,∴∠ AEB=2α,∵∠ EAC=2α, ∴∠ AEB=∠ EAC,∴ AC∥ BE,∴ △ ACO∽ △ EBO, ∴ ? =? ,∴ BE=? =? ,故選 B. 167 33725623111233 11933ACBE OCOB AC OBOC? 1743.(2022衢州 ,9,3分 )如圖 ,已知“人字梯”的 5個(gè)踩檔把梯子等分成 6份 ,從上往下的第二個(gè)踩檔 與第三個(gè)踩檔的正中間處有一條 60 cm長(zhǎng)的綁繩 EF,tan α=? ,則“人字梯”的頂端離地面的高 度 AD是 ? ( ) ? cm cm cm cm 52關(guān)鍵提示 本題考查了等腰三角形的性質(zhì) ,軸對(duì)稱的性質(zhì) ,相似三角形的判定與性質(zhì) .解題的關(guān) 鍵是多次運(yùn)用相似求出相關(guān)線段的長(zhǎng) . 答案 B 如圖 : ? 根據(jù)題意可知 :△ AFO∽ △ ACD,OF=? EF=30 cm, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ CD=72 cm. ∵ tan α=? ,∴ ? =? , ∴ AD=? 72=180(cm).故選 B. 12OFDC AFAC 30DC2 . 5652 ADDC5252思路分析 在 Rt△ ADC中已知 tan α=? ,根據(jù)正切函數(shù)的定義 ,要求 AD,只需求出 DC,這可由相 似三角形獲得 . 524.(2022寧波 ,25,12分 )若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積 ,我們把這個(gè)三角形叫 做比例三角形 . (1)已知△ ABC是比例三角形 ,AB=2,BC=3,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的 AC的長(zhǎng) 。 (2)如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,AD∥ BC,對(duì)角線 BD平分 ∠ ABC,∠ BAC=∠ ADC. 求證 :△ ABC是比例三角形 。 (3)如圖 2,在 (2)的條件下 ,當(dāng) ∠ ADC=90176。時(shí) ,求 ? 的值 . ? BDAC解析 (1)? 或 ? 或 ? . (2)證明 :∵ AD∥ BC, ∴∠ ACB=∠ CAD, 又 ∵∠ BAC=∠ ADC, ∴ △ ABC∽ △ DCA, ∴ ? =? ,即 CA2=BCAD. ∵ AD∥ BC, ∴∠ ADB=∠ CBD, ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ CBD, ∴∠ ADB=∠ ABD, ∴ AB=AD, 43 926BCCA CAAD∴ CA2=BCAB, ∴ △ ABC是比例三角形 . (3)如圖 ,過(guò)點(diǎn) A作 AH⊥ BD于點(diǎn) H. ∵ AB=AD, ∴ BH=? BD. ∵ AD∥ BC,∠ ADC=90176。, ∴∠ BCD=90176。, ∴∠ BHA=∠ BCD=90176。. 又 ∵∠ ABH=∠ DBC, 12∴ △ ABH∽ △ DBC, ∴ ? =? , ∴ ABBC=DBBH, ∴ ABBC=? BD2. 又 ∵ ABBC=AC2, ∴ ? BD2=AC2, ∴ ? =? . ABDBBHBC1212BDAC 25.(2022湖州 ,23,10分 )已知在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB≥ AC,D,E分別為 AC,BC邊上的點(diǎn) (不包 括端點(diǎn) ),且 ? =? =m,連接 AE,過(guò)點(diǎn) D作 DM⊥ AE,垂足為點(diǎn) M,延長(zhǎng) DM交 AB于點(diǎn) F. (1)如圖 1,過(guò)點(diǎn) E作 EH⊥ AB于點(diǎn) H,連接 DH. ① 求證 :四邊形 DHEC是平行四邊形 。 ② 若 m=? ,求證 :AE=DF。 (2)如圖 2,若 m=? ,求 ? 的值 . ? DCBE ACBC2235 DFAE解析 (1)證明 :① ∵ EH⊥ AB,∠ BAC=90176。, ∴ EH∥ CA, ∴ △ BHE∽ △ BAC, ∴ ? =? , ∵ ? =? , ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ HE=DC, ∴ 四邊形 DHEC是平行四邊形 . ② ∵ ? =? ,∠ BAC=90176。,∴ AC=AB, ∵ ? =? ,HE=DC,∴ ? =? , 又 ∠ BHE=90176。,∴ BH=HE. BEBC HEACDCBE ACBCBEBC DCACHEAC DCACACBC 22DCBE 22 HEBE 22∵ HE=DC,∴ BH=CD,∴ AH=AD. ∵ DM⊥ AE,EH⊥ AB, ∴∠ EHA=∠ AMF=90176。, ∴∠ HAE+∠ HEA=∠ HAE+∠ AFM=90176。, ∴∠ HEA=∠ AFD, ∵∠ EHA=∠ FAD=90176。, ∴ △ HEA≌ △ AFD, ∴ AE=DF. (2)過(guò)點(diǎn) E作 EG⊥ AB于 G, ∵ CA⊥ AB, ∴ EG∥ CA, ∵∠ EGA=∠ AMF=90176。, ∴∠ GEA+∠ EAG=∠ EAG+∠ AFM, ∴∠ AFM=∠ AEG, ∵∠ FAD=∠ EGA=90176。, ∴ △ FAD∽ △ EGA, ∴ ? =? =? =? . DFAE ADAG 3344yx?? 34∴ △ EGB∽ △ CAB,∴ ? =? , ∴ ? =? =? , ∵ ? =? , ∴ EG=CD. 設(shè) EG=CD=3x,AC=3y, 由題意得 BE=5x,BC=5y, ∴ BG=4x, AB=4y, EGCA BEBCEGBE CABC 35CDBE 35小穎解得此題的答案為 48 ,她又提出了如下的問(wèn)題 : (1)如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形 ,且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成 ,如圖 1,此時(shí) ,這個(gè)矩形零件的兩鄰邊長(zhǎng)又分別為多少 mm?請(qǐng)你計(jì)算 。