【正文】 (2)若 DE=DF,且 FC=? AF,求 ? 的值 。,EC=ED,FC=FD, ∵∠ BDF+∠ FDE=∠ BDE=∠ A+∠ DEA, 又 ∵∠ FDE=∠ A=60176。 ② 如果 AD∶ DB=1∶ 2,求 CE與 CF的比 。EF(n為正整數(shù) ),試求 n的值 . ? 解析 (1)證明 :如圖 ,∵ 在 ?ABCD中 , ? AD∥ CB,CD∥ AB, ∴∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4 ∴ △ HDF∽ △ EBG. (2)① ∵ CF∥ AG, ∴ △ FCP∽ △ GAP, ∴ ? =? , CPPACFAG又 ∵ ? =? ,CF=5, ∴ ? =? =? , ∴ AG=15, ∴ BG=15AB=15CD=15(4+5)=6. ② ∵ AD∥ CB,CD∥ AB, ∴ △ ECP∽ △ HAP,△ FCP∽ △ GAP, ∴ ? =? =? ,? =? =? , ∴ PH=3PE,PG=3PF, ∴ HG=PH+PG=3PE+3PF=3EF, ∴ n=3. ACAP 435AG CPPA13CPAP PEPH 13CPAP PFPG 1310.(2022杭州西湖一模 ,23)已知 D是等邊△ ABC的邊 AB上的一點 ,現(xiàn)將△ ABC折疊 ,使點 C與點 D重合 ,折痕為 EF,點 E,F分別在 AC和 BC上 . (1)如圖 1,如果點 D是線段 AB的中點 ,求 CE與 CF的比 。 (2)如果 AC∶ AP=4∶ 3, ① 若 DF=4,FC=5,求 BG的長 。=113176。, ∴∠ BAC=67176。, ∴∠ BAD=∠ BDA=67176。,∴ DB=DA, ∴ △ ABD是等腰三角形 , ∵∠ C=∠ C,∠ DAC=∠ B=50176。, ∵ AD平分 ∠ BAC, ∴∠ BAD=∠ DAC=50176。, ∴∠ BAC=180176。 (3)在△ ABC中 ,AB=4,AC=2,AD是△ ABC的優(yōu)美線 ,且△ ABD是等腰三角形 ,求優(yōu)美線 AD的長 . 解析 (1)證明 :如圖 , ? ∵∠ B=50176。 (2)在△ ABC中 ,∠ B=46176。,∠ C=30176。,∴ DF=AF=x, ∴ CF=2? x, 易得 DF∥ AB,∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 x=? , ∴ ? =? =? ,∴ ? =? ,∴ BD=? BC=? , ∴ S△ BDE=? BDh,解得 h=2, ∵ 點 E是 AD的中點 , ∴ 在△ BDE中 ,BD邊上的高為 ? h=1. 如圖 ,過點 D作 DF⊥ AC于點 F,設(shè) AF=x, ∵∠ BAC=90176。, ∴ AB=? ,AC=2? . △ ABC中 ,設(shè) BC邊上的高為 h, 則 ? AB,D,E兩點分別在 BC,AD上 ,AD平分 ∠ BAC,∠ ABE=∠ C. (1)求證 :△ ABE∽ △ ACD。CD, ∵ AB=AD=2? , ∴ DE=120176。, ∴∠ BAE=∠ BAD∠ EAD=∠ EAF∠ EAD=∠ DAF, ∴∠ ADE=∠ ADB+∠ BDE=60176。, ∵ DE∥ AB, ∴∠ FDC=∠ ABC=∠ GDE=60176。CD的值 . ? 3解析 (1)證明 :∵ AB=AD=BD, ∴ △ ABD是等邊三角形 ,∠ BAD=∠ ABD=∠ ADB=60176。,連接 AE交 BC于點 G. (1)求證 :△ AED∽ △ CAD?！?B∠ DEB, ∠ CEF=180176。 提升題組 (時間 :55分鐘 分值 :80分 ) 一、選擇題（每小題 3分，共 12分） 答案 B ① ∵ DE∥ AB,BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ BDE=∠ DBE, ∴ △ BDE是等腰三角形 ,① 正確 . ② 四邊形 AFED是平行四邊形 ,不一定是菱形 ,② 錯誤 . ③ BE=ED=AF,③ 正確 . ④△ ABD∽ △ EDM,? =? =? =? ,④ 正確 .故選 B. EDMABDSS 2DEBA??????237??????9492.(2022溫州七校聯(lián)考 ,9)如圖 ,△ ABC中 ,D、 E兩點分別在 BC、 AD上 ,且 AD平分 ∠ BAC,若 ∠ ABE=∠ C,AD∶ ED=3∶ 1,則△ BDE與△ ADC的面積比為 ? ( ) ? ∶ 45 ∶ 9 ∶ 9 ∶ 3 答案 B ∵ AD∶ ED=3∶ 1, ∴ AE∶ AD=2∶ 3, ∵∠ ABE=∠ C,∠ BAE=∠ CAD, ∴ △ ABE∽ △ ACD, ∴ S△ ABE∶ S△ ACD=4∶ 9, ∴ S△ ACD=? S△ ABE, ∵ AE∶ ED=2∶ 1, ∴ S△ ABE∶ S△ BED=2∶ 1, ∴ S△ ABE=2S△ BED, ∴ S△ ACD=? S△ ABE=? S△ BED, ∴ S△ BDE與 S△ ADC的比為 2∶ 9. 9494 923.(2022寧波慈溪一模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,且 ? =? ,則 S四邊形 DBCE∶ S△ ABC=? ( ) ? ∶ 4 ∶ 9 ∶ 4 ∶ 9 AEEC 12答案 D ∵ D、 E分別是△ ABC的 AB、 AC邊上的點 ,DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC. ∵ AE∶ EC=1∶ 2,∴ AE∶ AC=1∶ 3, ∴ S△ ADE∶ S△ ABC=1∶ 9,∴ ? =? .故選 D. DBCEABCS S四 邊 形894.(2022杭州蕭山一模 ,1)下列判斷不正確的是 ? ( ) 答案 B 兩個直角三角形的銳角不一定對應(yīng)相等 ,所以兩個直角三角形不一定相似 ,故選項 B不正確 ,故選 B. 5.(2022舟山二模 ,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點 D、 E、 F分別在邊 AB、 BC、 AC上 ,∠ DEF= ∠ B. (1)求證 :△ BDE∽ △ CEF。③ BE= AF。, ∵∠ B=∠ B, ∴ △ ABD∽ △ CBE. (2)由 (1)知△ ABD∽ △ CBE,∴ ? =? . ∵∠ B=∠ B, ∴ △ BED∽ △ BCA, ∴ ? =? . ∵ △ ABC和△ BDE的面積分別為 20和 5,DE=2? , ∴ AC=4? , ∴ 點 B到直線 AC的距離為 ? =5? . DBEB ABCBBDEABCSS 2DEAC??????222 ABCSAC 21.(2022杭州西湖一模 ,8)如圖 ,BD是△ ABC的角平分線 ,點 E,F分別在 BC,AB上 ,且 DE∥ AB,∠ DEF=∠ A,EF與 BD交于點 M,以下結(jié)論 :①△ BDE是等腰三角形 。sin∠ ACH=2? ? =2, ∴ BH=BCCH=32=1. 2 22∵ △ ABC∽ △ DBE, ∴∠ ABC=∠ DBE,? =? ,∴∠ ABD=∠ CBE. ∴ △ ABD∽ △ CBE, ∴∠ BAD=∠ BCE. 又 ∵∠ AOB=∠ COP, ∴∠ DPC=∠ ABC, ∴ tan∠ DPC=tan∠ ABC=? =? = B. ABBD BCBEAHBH 21方法與策略 ∠ DPC放在直角三角形中解決 ,所以構(gòu)造直角三角形并將 ∠ DPC轉(zhuǎn) 化到 Rt△ ABH中 . ,從而把所求的角轉(zhuǎn)化到已知的直角三角形中 ,問題 就解決了 . 2.(2022麗水二模 )如圖 ,已知銳角△ ABC,AD、 CE分別是 BC、 AB邊上的高 . (1)求證 :△ ABD∽ △ CBE。. 又 ∵ AC=2? ,DE=? ,BE=,∴ BC=3. 過點 A作 AH⊥ BC于點 H. ACDEBCBE2 2∵∠ ACH=45176。CA, ∴ AC=? =? =4. ADAE ABADCDCA ECCD2CDEC9941.(2022濱江二模 ,10)如圖 ,△ ABC∽ △ DBE,延長 AD交 CE于點 ∠ DEB=45176。(∠ ADB+∠ ADE)=180176。 (2)若 CD=3,CE=? ,求 AC的長 . 94解析 (1)證明 :∵ AD平分 ∠ BAC, ∴∠ BAD=∠ CAD. 又 ∵ AD2=AE 基礎(chǔ)題組 答案 B ∵ 兩相似三角形的周長分別是 36和 12,∴ 相似 比為 3∶ 1.∵ 周長較大的三角形的最大邊長為 15,周長較小的三角形的最小邊長為 3,∴ 周長較 大的三角形的最小邊長為 9,周長較小的三角形的最大邊長為 5,∴ 周長較大的三角形的第三條 邊長為 12,∵ 92+122=152,∴ 兩個三角形均為直角三角形 ,∴ 周長較大的三角形的面積 =? 912= 54,故選 B. 121.(2022寧波北侖一模 ,16)在△ ABC中 ,D,E分別在邊 AB、 AC上 ,AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,要 使△ ADE與△ ABC相似 ,則線段 AE的長為 cm. 考點二 相似圖形的判定 答案 4或 ? 94解析 分兩種情況討論 : ① 當△ ADE∽ △ ABC時 ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=? cm. ② 當△ ADE∽ △ ACB時 ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=4 cm. 綜上 ,AE=4 cm或 ? cm. ADAB AEAC94ADAC AEAB942.(2022杭州名校二模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AD是 ∠ BAC的平分線 ,點 E在邊 AC上 ,且 AD2=AE, 即 ∠ ACB=90176。, ∴∠ A+∠ ACD=90176。 (2)求 ∠ ACB的大小 . ? ADCD CDBD解析 (1)證明 :∵ CD是邊 AB上的高 , ∴∠ ADC=∠ CDB=90176。AD, ∴ BD2=CD (2)若 ∠ CBD=∠ A,求 AB的長 . ? 考點三 相似圖形的應(yīng)用 解析 (1)∵ DH∥ AB,∴∠ BHD=∠ ABC=90176。,BC=3,D為 AC延長線上一點 ,AC=3 D作 DH∥ AB,交 BC的延長線于點 H. (1)求 BD 新矩形與原矩形的對應(yīng)角相等 ,但對應(yīng)邊的比并不相等 ,所以新矩形與原矩形不相似 ,乙的觀點 也正確 ,故選 A. 2.(2022陜西 ,17,5分 )如圖 ,已知△ ABC,∠ BAC=90176。CF, ∴ 2CE3CF=CF3CE,∴ ? =? .故選 B. AEBD ADBF EDDF3 2CE? CECF13 CF? CECFCECF452.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,在方格紙中 ,△ ABC和△ EPD的頂點均在格點上 ,要使△ ABC∽ △ EPD,則點 P所在的格點為 ? ( ) ? 答案 C 設(shè)方格紙中各小正方形的邊長為 ,∠ E=∠ A=90176。, ∴∠ AED=∠ BDF, 又 ∵∠ A=∠ B,∴ △ AED∽