【正文】 提升題組 (時間 :35分鐘 分值 :25分 ) 一、選擇題（每小題 3分，共 9分） 答案 D ∵ 點 B在直線 OA上 ,且 OA=2OB,∴ OB與 OA的位似比為 ? ,∵ A(2,4),∴ 點 B的坐標(biāo)為 (1,2)或 (1,2).故選 D. 12思路分。? 或 A39。? 或 A39。C39。的相似比為 ? , ∴ △ A39。B39。的相似比為 ? ,則 A39。B39。C39。, nmDEDF ADDC∴ △ ADC∽ △ ACB, ∴ ? =? =? , ∴ ? =? . (3)CE的長為 2? 或 ? . ADDC ACBC nmDEDF nm5 2551.(2022重慶江津一模 ,6)在平面直角坐標(biāo)系中 ,△ ABC頂點 A的坐標(biāo)是 (2,3).若以原點 O為位似 中心 ,畫三角形 ABC的位似圖形△ A39。, ∴∠ A=∠ DCB, ∵∠ FDE=∠ ADC=90176。, ∴∠ A+∠ ABC=90176。 ②當(dāng)點 E在直線 AC上運動時 ,①中的結(jié)論是否仍然成立 ?請僅根據(jù)圖 3的情形給出證明 。,? =? ,CD⊥ AB于點 D,點 E是直線 AC上一動 點 ,連接 DE,過點 D作 FD⊥ ED,交直線 BC于點 F. (1)探究發(fā)現(xiàn) : 如圖 1,若 m=n,點 E在線段 AC上 ,則 ? = 。,? =? . ∵ 四邊形 CDEF是正方形 , ∴∠ FCE=45176。 (3)問題解決 當(dāng)正方形 CDEF旋轉(zhuǎn)到 B,E,F三點共線時 ,直接寫出線段 AF的長 . ? 解析 (1)BE=? AF. (2)無變化 . 證明 :在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,點 D為 BC的中點 ,以 CD為一邊作正方形 CDEF,點 E 恰好與點 A重合 ,則線段 BE與 AF的數(shù)量關(guān)系為 。(2)根據(jù)條件判定△ ABC∽ △ AMN,根據(jù)相似三角形的 性質(zhì)得到 ? =? ,又 ∠ BAM=∠ CAN,證明△ ABM∽ △ CAN,得到 ∠ ABC=∠ ACN。,∠ MAN=45176?！?ABC), ∵ AM=MN,∴∠ MAN=? (180176。 (2)深入探究 : 如圖② ,在等腰三角形 ABC中 ,BA=BC,點 M為 BC邊上異于 B、 C的一點 ,以 AM為邊作等腰三角形 AMN,使 ∠ ABC=∠ AMN,AM=MN,連接 CN,試探究 ∠ ABC與 ∠ ACN的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。,D是 AC上一點 ,DE⊥ AB于點 E,若 AC=8,BC=6, DE=3,則 AD的長為 . ? 答案 5 解析 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =? =10, ∵ DE⊥ AB,∴∠ AED=90176。 (2)以 M點為位似中心 ,在網(wǎng)格中畫出△ A1B1C1的位似圖形△ A2B2C2,使△ A2B2C2與△ A1B1C1的相 似比為 2∶ 1. ? 解析 (1)如圖所示 .? (3分 ) (2)如圖所示 . ? (6分 ) 考點一 相似的性質(zhì)與判定 1.(2022鄭州二模 ,6)如圖 ,兩條直線 l4,l5分別被三條平行直線 l1,l2,l3所截 ,若 AB=3,BC=6,DE=2,則 DF的長為 ? ( ) ? 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 . ∵∠ BAC=∠ DAE, ∴ △ ABC∽ △ ADE,? (3分 ) ∴ ? =? .? (5分 ) ∵ BC=1 m,DE= m,BD= m. ∴ ? =? , ∴ AB=17 m. ∴ 河寬 AB為 17 m.? (7分 ) ABAD BCDE? 11 . 5思路分析 首先根據(jù) ∠ ABC=∠ ADE,∠ BAC=∠ DAE判定△ ABC∽ △ ADE,再根據(jù)相似三角形 的性質(zhì)得出 ? =? ,進(jìn)而可求得 AB的值 . ABAD BCDE方法指導(dǎo) 解與三角形有關(guān)的實際應(yīng)用題時應(yīng)注意的事項 .①審題 :結(jié)合圖形通讀題干 ,第一時 間鎖定采用的知識點 ,如 :觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 ,如果含有 ,考慮利用銳角三角函數(shù) 解題 .如果僅涉及三角形的邊長 ,則采用相似三角形的性質(zhì)解題 .②篩選信息 :由于實際問題文 字閱讀量較大 ,因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 .③構(gòu)造圖形 :只要是與三角形有關(guān)的實際問題都會 涉及圖形的構(gòu)造 ,如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 ,則可直接利用所給圖形進(jìn)行計算 ,必要時可添 加輔助線 。39。 39。 39。AB 39。的面積比為 ? ( ) ? ∶ 9 ∶ 5 ∶ 3 D.? ∶ ? 2 3考點二 圖形的位似 答案 A 由位似圖形的性質(zhì)知 ? =? =? ,所以 ? =? =? .故選 A. 39。C39。=2∶ 3,則四邊形 ABCD與四邊形 A39。D39。B39。EC. ∵ DE∥ AC,DM∥ EF, ∴ 四邊形 DEFM是平行四邊形 . ∴ EF=DM=AD=BD. ∵ BE=EC,∴ EH=BG=1. 解法二 :如圖④ ,在 DG上取一點 N,使 DN=FH. ? 圖④ EHEF EFEC∵∠ A=∠ AFE,∠ ABC=∠ CFH,∠ C=∠ BDG, ∴∠ EFH=180176。BG. ∵∠ A=∠ AFE,∠ B=∠ CFH, ∴∠ C=180176。 (2)點 G在 BE上 ,且 ∠ BDG=∠ C,如圖② ,求證 :△ DEG∽ △ ECF。,? (12分 ) ∴∠ AGE=? ∠ AGB=45176。 (2)求證 :△ AGD∽ △ EGF。AD,∴ BD2=CD (2)若 ∠ CBD=∠ A,求 AB的長 . ? 解析 (1)∵ DH∥ AB,∴∠ BHD=∠ ABC=90176。,BC=3,D為 AC延長線上一點 ,AC=3 D作 DH∥ AB,交 BC的延長線于點 H. (1)求 BDEB,? (5分 ) 設(shè) BP=x,則 12=? AB.? (3分 ) (2)①解法一 :延長 PB至點 D,使 BD=PB,連接 CD. ? ∵ M為 CP的中點 ,∴ CD∥ MB.∴∠ D=∠ PBM,? (4分 ) ∵∠ PBM=∠ ACP, ∴∠ D=∠ PBM=∠ ACP. 由 (1)得 AC2=AP,∠ A=∠ BMP=60176。 (2)若 M為 CP的中點 ,AC=2. ①如圖 2,若 ∠ PBM=∠ ACP,AB=3,求 BP的長 。. 評析 本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的 應(yīng)用 ,證得△ ABC∽ △ BDC是解題的關(guān)鍵 . 19.(2022湖北武漢 ,23,10分 )在△ ABC中 ,P為邊 AB上一點 . (1)如圖 1,若 ∠ ACP=∠ B,求證 :AC2=AP. 解得 x=36176。CD,AD=BC, ∴ BC2=AC (2)求 ∠ ABD的度數(shù) . ? 512?解析 (1)∵ AD=BC=? ,∴ AD2=? =? . ∵ AC=1, ∴ CD=1? =? , ∴ AD2=AC. 由 (1)知 BE=CF,于是 tan∠ CBF=? =? =? .? (14分 ) 5GNBE ANAB2512y?121y ?125 12FCBC BEBC 512? 18.(2022福建福州 ,25,12分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=1,BC=? ,在 AC邊上截取 AD=BC,連接 BD. (1)通過計算 ,判斷 AD2與 ACCE,得 x2=1CE,得 x2=1CE. ∵ AB=BC,BE2=BCCE.? (9分 ) (2)解法一 :延長 AE,DC交于點 N(如圖 1). CECGCGCB? 圖 1 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ AB∥ CD. ∴∠ N=∠ ∠ CEN=∠ BEA,∴ △ CEN∽ △ BEA. 故 ? =? ,即 BE,點 M為 AB的中點 , ∴ MG=MA=MB,∴∠ GAM=∠ AGM. 又 ∵∠ CGE=∠ AGM,從而 ∠ CGE=∠ CBG. 又 ∠ ECG=∠ GCB,∴ △ CGE∽ △ CBG. ∴ ? =? ,即 CG2=BC. 又 ∠ ABG+∠ CBF=90176。. 又 ∠ AGB=90176。 (2)如圖 2,在邊 BC上取一點 E,滿足 BE2=BC ②求證 :BE2=BC(3)解法一 :設(shè) DP=a,則可求得 AD=2a,PC=4a,AB=5a,由 CD∥ AB,可得△ BFA∽ △ PFC,△ MEA∽ △ PEC,所以 ? =? ,? =? ,進(jìn)而可得 ? 的值 .解法二 :過點 F作 FG∥ PM,交 MB 于點 G,設(shè) DP=a,可求得 AD=2a,PC=4a,AB=5a,MA=MB=? ,根據(jù) CD∥ AB,FG∥ PM,AM=MB這些 條件可求得 ? 的值 . AFAC 59AEAC 513 EFAE52aEFAE解題關(guān)鍵 本題主要考查了矩形的性質(zhì) ,軸對稱 ,菱形的判定 ,相似三角形的判定與性質(zhì)等知 識 ,題目綜合性強(qiáng)、計算量大 ,屬難題 .解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的條件中確定解決問題所需的條 件 ,進(jìn)而推理、論證、計算 ,使題目得以解答 . 17.(2022安徽 ,23,14分 )已知正方形 ABCD,點 M為邊 AB的中點 . (1)如圖 1,點 G為線段 CM上的一點 ,且 ∠ AGB=90176。PC。PC得 PC=4a, ∴ DC=AB=5a,? (8分 ) ∴ MA=MB=? , ∵ CD∥ AB, ∴∠ ABF=∠ CPF,∠ BAF=∠ PCF, ∴ △ BFA∽ △ PFC, ∴ ? =? =? =? ,? (9分 ) ∴ ? =? , 同理可得△ MEA∽ △ PEC, 52aAFCF ABCP54 aa 54AFAC 59∴ ? =? =? =? , ∴ ? =? ,? (10分 ) ∴ ? =? ? =? ? =? ,? (11分 ) ∵ ? ∶ ? =? , ∴ ? =? ∶ ? =? .? (12分 ) 解法二 :過點 F作 FG∥ PM,交 MB于點 G. ? ∵∠ APM=∠ PAM, AECEAMCP524aa58AEAC 513EFAC AFACAEAC 59 51320227EFAC AEAC EFAEEFAE 20227 51349∴ PM=AM, ∵ PM=MB, ∴ AM=MB, ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ CD∥ AB且 CD=AB, 設(shè) DP=a,則 AD=2DP=2a, 由 AD2=DP,∠ APM+∠ BPM=90176。P, ∴∠ APD=∠ APM, ∵ CD∥ AB, ∴∠ APD=∠ PAM, ∴∠ APM=∠ PAM,? (6分 ) ∵∠ APB=90176。PC. ∵ AD=BC, ∴ AD2=DP, ∴∠ DAP=∠ CPB,? (1分 ) ∴ △ ADP∽ △ PCB, ∴ ? =? ,? (2分 ) ∴ AD, ∵∠ APB=90176。 (3)如圖 2,連接 AC,分別交 PM,PB于點 E, ? =? ,求 ? 的值 . ? DPAD 12EFAE解析 (1)證明 :在矩形 ABCD中 ,AD=BC,∠ C=∠ D=90176。PC。P,PD39。, ∴ △ ODE∽ △ FEM, ∴ ? =? ,即 ? =? , 解得 OD=? . 綜上所述 ,DO的長是 ? 或 ? . ODFE DEEM 5OD10135013256 5013評析 對于幾何探究型問題 ,分類討論思想是重點考查內(nèi)容 .本題中 ,要對△ OMN分兩種情況 進(jìn)行討論 ,一是 ∠ ONM為直角時 ,二是 ∠ MON為直角時 . 13.(2022山東臨沂 ,18,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BD,CE分別是邊 AC,AB上的中線 ,BD與 CE相交于點 O,則 ? = . ? OBOD答案 2 解析 連接 DE,∵ BD,CE分別是 AC,AB邊上的中線 ,∴ DE為△ ABC的中位線 ,∴ DE=? BC,DE∥ BC,∴ △ OBC∽ △ ODE,∴ ? =? =2. 12OBOD BCDE14.(2022重慶 ,15,4分 )已知△ ABC∽ △ DEF,△ ABC與△ DEF的相似比為 4∶ 1,則△ ABC與△ DEF對應(yīng)邊上的高之比為 . 答案 4∶ 1 解析 兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比 ,所以答案是 4∶ 1. 15.(2022四川成都 ,12,4分 )如圖 ,為估計池塘岸邊 A,B兩點間的距離 ,在池塘的一側(cè)選取點 O,分 別取 OA,OB的中點 M,N,測得 MN=32 m,則 A,B兩點間的距離是 m. ? 答案 64 解析 由題意易知 MN為△ OAB的中位線 ,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得 AB=2MN=232=64 m,故答案為 64. 16.(2022云南昆明 ,23,12分 )如圖 1,在矩形