【正文】 5)6n ??深度解析 本題屬于與相似三角形有關(guān)的幾何綜合題 ,考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直 角三角形的 30度角的性質(zhì)等知識 ,同時也考查了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想 .解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加 常用輔助線 ,構(gòu)造常見的相似三角形基本圖形來解決問題 .對于第 (2)問 ,還可以運(yùn)用“轉(zhuǎn)化” 的數(shù)學(xué)思想來解題 ,通過作輔助線轉(zhuǎn)化為圖 1后直接運(yùn)用第 (1)問的結(jié)論 ,結(jié)合勾股定理即可求 得四邊形的面積 . 20.(2022佛山 ,24,12分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 O,點 E,F是 AD上的點 ,且 AE= EF= BE,BF,它們分別與 AO相交于點 G,H. (1)求 EG∶ BG的值 。, 在 Rt△ ABG中 ,BG=? AB=6,AG=? =6? , ∵ CF⊥ AD,AG⊥ EB,∴∠ EFC=∠ G=90176。,∠ G=90176。EB. (2)過點 C作 CF⊥ AD,交 AE于點 F,過點 A作 AG⊥ EB,交 EB的延長線于點 G. ? 在 Rt△ CDF中 ,cos∠ FDC=? ,∴ ? =? , 又 CD=5,∴ DF=3,∴ CF=? =4, 又 S△ CDE=6,∴ ? ED,∴∠ EDC=∠ ABC, 又 ∠ E為公共角 ,∴ △ EDC∽ △ EBA, ∴ ? =? ,∴ ED, ∴∠ EDC=90176。 (3)如圖 3,另一組對邊 AB,DC的延長線相交于點 F,若 cos∠ ABC=cos∠ ADC=? ,CD=5,CF=ED=n, 直接寫出 AD的長 (用含 n的式子表示 ). ? 35 3解析 (1)證明 :∵∠ ADC=90176。 (2)如圖 2,若 ∠ ABC=120176。EA=EC若未給出圖形 ,則需要通過②中獲取的信息構(gòu)造幾何圖形進(jìn)行解題 . 19.(2022湖北武漢 ,23,10分 )已知四邊形 ABCD的一組對邊 AD,BC的延長線相交于點 E. (1)如圖 1,若 ∠ ABC=∠ ADC=90176。 (3)作 AG⊥ BE,CH⊥ BE,先判斷出 ? =? =? ,同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH,所以 ? =? = ? =? ,設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進(jìn)一步得出關(guān)于 m,n的等式 ,解得 n=2m,最后得出結(jié)論 . PMAP2555GHEGACAD52 BGCHAGBHABBC4318.(2022陜西 ,20,7分 )周末 ,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬 .測量時 ,他們 選擇了河對岸岸邊的一棵大樹 ,將其底部作為點 A,在他們所在的岸邊選擇了點 B,使得 AB與河 岸垂直 ,并在 B點豎起標(biāo)桿 BC,再在 AB的延長線上選擇點 D,豎起標(biāo)桿 DE,使得點 E與點 C、 A共 線 . 已知 :CB⊥ AD,ED⊥ AD,測得 BC=1 m,DE= m,BD= . 請根據(jù)相關(guān)測量信息 ,求河寬 AB. ? 解析 ∵ CB⊥ AD,ED⊥ AD, ∴∠ ABC=∠ ADE=90176。,∴ CH∥ AG∥ DE, ∴ ? =? =? , 同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH, ∴ ? =? =? =? , 設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴ GH=BG+BH=4m+3n, ∵ AB=AE,AG⊥ BE,∴ EG=BG=4m, BCAC35BCAB34GHACAD52BGABBC43∴ ? =? =? ,∴ n=2m,∴ EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在 Rt△ CEH中 ,tan∠ CEB=? =? . ? GH434mnm?52CH314思路分析 (1)利用同角的余角相等判斷出 ∠ MAB=∠ NBC,即可得出結(jié)論 。BC,∴ (? t)2=BP, ∴∠ MAB=∠ NBC, ∴ △ ABM∽ △ BCN. (2)過點 P作 PM⊥ AP交 AC于點 M,過點 M作 MN⊥ PC交 BC于點 N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176。,sin∠ BAC=? ,? =? ,直接寫出 tan∠ CEB 的值 . ? 25535ADAC25解析 (1)證明 :∵∠ M=∠ N=∠ ABC=90176。 (2)如圖 2,P是邊 BC上一點 ,∠ BAP=∠ C,tan∠ PAC=? ,求 tan C的值 。,∴ △ ABC∽ △ CED,∴ ? = ? =? ,即 ? =? =? ,∴ CE=6,DE= Rt△ BED中 ,BD=? =? =2? . ? 5 CDABBC51034 22BE DE? 22(4 6) 8??4117.(2022湖北武漢 ,23,10分 )在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。, ∵∠ ACB+∠ BAC=90176。,AB=3,BC=4,∴ AC=5, ∵ CD=10,DA=5? ,∴ AC2+CD2=AD2,∴∠ ACD=90176。DE=20. 12BEFE21015.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,AB、 CD相交于點 O,OC=2,OD=3,AC∥ △ ODB的中位 線 ,且 EF=2,則 AC的長為 . ? 答案 ? 83解析 ∵ EF是△ ODB的中位線 ,∴ OE=? OD=? ,EF∥ BD,∵ AC∥ BD,EF∥ BD,∴ AC∥ EF, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ AC=? . 1232OC22328316.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。的坐標(biāo)是 ? ,即 (1,2). 12112 , 422????????13.(2022畢節(jié) ,19,5分 )在△ ABC中 ,D為 AB邊上一點 ,且 ∠ BCD=∠ BC=2? ,AB=3,則 BD= . ? 2答案 ? 83解析 ∵∠ BCD=∠ A,∠ B=∠ B, ∴ △ DCB∽ △ CAB, ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ BD=? . BDBCCBAB2238314.(2022遼寧鞍山 ,16,3分 )在△ ABC中 ,AB=AC=6,∠ A=2∠ BDC,BD交 AC邊于點 E,且 AE=4,則 BE 的坐標(biāo)是 (3,0),則點 A39。B39。 當(dāng) AP=PD時 ,P點為 BD的中點 ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?CDBPBD2106512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。C39。,相似比為 1∶ 2,則△ ABC與△ A39。B39。 新矩形與原矩形的對應(yīng)角相等 ,但對應(yīng)邊的比并不相等 ,所以新矩形與原矩形不相似 ,乙的觀點 也正確 ,故選 A. 7.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,在方格紙中 ,△ ABC和△ EPD的頂點均在格點上 ,要使△ ABC∽ △ EPD,則點 P所在的格點為 ? ( ) ? 答案 C 由題圖可知 ,∠ E=∠ A=90176。CF=2. ABADDE46 6 125.(2022江蘇南京 ,3,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,? =? ,則下列結(jié)論中正確的是 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADDB12AEAC12 BC12ADEABC的 周 長的 周 長13ADEABC的 面 積的 面 積13答案 C ∵ ? =? ,∴ ? =? ,∵ DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC,∴ ? =? =? =? ,故選項 A、 B錯誤 。,∴ DO∥ BC,∴ △ POD∽ △ PBC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ PA =4,故選 A. POPBODBC48PA??46思路分析 利用切線的性質(zhì)得出 ∠ PDO=90176。,求出 ? =? ,由△ AGD ∽ △ EGF,即可得出 ? 的值 . GAAGDGEGFG12 AGEG2EF考點 相似三角形的判定與性質(zhì) C組 教師專用題組 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 P在 BA的延長線上 ,PD與☉ O相切于點 D,過點 B作 PD的垂線交 PD的延長線于點 ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點 D,∴∠ PDO=90176。(3)延長 AD交 GB于點 M,交 BC的延長線于點 H,則 AH⊥ BH,由△ AGD≌ △ BGC,得出 ∠ GAD=∠ GBC,再求出 ∠ AGB=∠ AHB=90176。,∴ ? =? . 又△ AGD∽ △ EGF,∴ ? =? =? .? (14分 ) (本小題解法有多種 ,如可按圖 2和圖 3作輔助線求解 ,過程略 ) ? ? 圖 2 圖 3 12 AGEG2ADEF2深度分析 (1)由線段的垂直平分線的性質(zhì)容易得出 GA=GB,GD=GC,由“ SAS”可證明 △ AGD≌ △ BGC,再由對應(yīng)邊相等即可證得結(jié)論 。 (3)如圖 2,若 AD、 BC所在直線互相垂直 ,求 ? 的值 . ? ? AD解析 (1)證明 :由題意知 GE垂直平分 AB,∴ GA=GB. 同理 ,GD=GC. 在△ AGD和△ BGC中 ,∵ GA=GB,∠ AGD=∠ BGC,GD=GC, ∴ △ AGD≌ △ BGC,∴ AD=BC.? (5分 ) (2)證明 :∵∠ AGD=∠ BGC,∴∠ AGB=∠ DGC. 在△ AGB和△ DGC中 ,? =? ,∠ AGB=∠ DGC, ∴ △ AGB∽ △ DGC.? (8分 ) ∴ ? =? .又 ∠ AGE=∠ DGF,∴∠ AGD=∠ EGF, ∴ △ AGD∽ △ EGF.? (10分 ) (3)如圖 1,延長 AD交 GB于點 M,交 BC的延長線于點 H,則 AH⊥ BH. ? AGDGEGFG圖 1 由△ AGD≌ △ BGC,知 ∠ GAD=∠ GBC. 在△ GAM和△ HBM中 ,∠ GAD=∠ GBC,∠ GMA=∠ HMB, ∴∠ AGB=∠ AHB=90176。.請用尺規(guī)過點 A作一條直線 ,使其將△ ABC 分成兩個相似的三角形 .(保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) ? 解析 如圖 ,直線 AD即為所作 .? (5分 ) ? 12.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,點 E、 F分別是 AB、 CD的中點 .過點 E作 AB的 垂線 ,過點 F作 CD的垂線 ,兩垂線交于點 G,連接 GA、 GB、 GC、 GD、 EF,若 ∠ AGD=∠ BGC. (1)求證 :AD=BC。 (2)現(xiàn)需要加裝支架 DE、 EF,其中點 E在 AB上 ,BE=2AE,且 EF⊥ BC,垂足為點 DE的長 . ? 解析 (1)∵ AD⊥ BC,∴∠ ADB=90176。, 在 Rt△ BCM中 , ∵ BC=2DP=12,MC=6? , ∴ BM=6? . 易知△ BCM∽ △ CDM, ∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ MD=2? ,∴ ? =? =? . 2662MD666BP62662思路分析 第 (1)問需要通過線段的比相等來尋找合適的相似三角形 ,進(jìn)而得到角相等 。, ∴∠ ODP=90176。.測得 BD= 120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河寬 AB= m. ? 答案 100 解析 易知△ ABD∽ △ ECD,∴ ? =? ,又 ∵ BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,∴ AB=100 m. CDABEC6.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,AC是一條對角線 ,EF∥ BC,且 EF與 AB相交于點 E,與 AC相交于點 F,3AE=2EB,連接 S△ AEF=1,則 S△ ADF的值為 . ? 答案 ? 52解析 ∵ 3AE=2EB,∴ ? =? ,又 EF∥ BC,∴ △ AEF∽ △ ABC, ∴ ? =? =? ,∵ S△ AEF=1,∴ S△ ABC=? . 在 ?ABCD中 ,S△ ACD=S△ ABC=? ,∴ S△ ADF=? S△ ACD=? . AEAB25AEFABCSS 2??????425254425 52思路分析 根據(jù) 3AE=2EB,得 ? =? ,由 EF∥ BC,得△ AEF∽ △ ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及 S△ AEF=1求得 S△ ABC,由 S△ ACD=S△ ABC及 S△ ADF=? S△ ACD可求得 S△ ADF. AEAB2525