【正文】 ,教學(xué)樓與旗桿的水平距離是 4? 米 .? (4分 ) (也可先求 ∠ ABD=60176。.? (1分 ) 在 Rt△ ABD中 ,∠ BAD=90176。(? )(4分 ) (2)求旗桿 CD的高度 .(4分 ) ? ??????結(jié) 果 保 留 根 號解析 (1)∵ 在教學(xué)樓 B點處觀測旗桿底部 D處的俯角是 30176。,然后爬到教學(xué)樓上的 B處 ,觀測到旗桿底端 D的俯角是 30176。25=1(小時 ).? (7分 ) 在 Rt△ ADC中 ,AC=? x≈ 20= , ∴ A船到達 C船處約需時間 :247。, ∴ x=? ≈ ? =20.? (6分 ) ∴ BC=? =? ≈ 20247。,即 x=(x5),設(shè) CD=x海里 ,則 AD=CD=x海里 . ∴ BD=ADAB=(x5)海里 .? (3分 ) 在 Rt△ BDC中 ,CD=BD≈ ? ,? ≈ ? ? 4 3543 2解析 過點 C作 CD⊥ AB交 AB延長線于點 D,則 ∠ CDA=90176?！?? ,cos 53176。方向 ,B船測得漁船 C在其南偏東 53176。. ∴ 此時 β不符合科學(xué)要求的 100176。=111176。.? (5分 ) ∴ β=180176。, AB=? ≈ 20247?！?? ,所有結(jié)果精確到個位 ? 14154111415解析 (1)如圖 ,∵ AB⊥ BC,∴∠ B=90176?！?? ,tan 20176。. ? 參考數(shù)據(jù) :sin 69176。.圖 2是其側(cè)面簡化示意圖 ,其中視 線 AB水平 ,且與屏幕 BC垂直 . (1)若屏幕上下寬 BC=20 cm,科學(xué)使用電腦時 ,求眼睛與屏幕的最短距離 AB的長 。(2)若三角形是直角三 角形 ,根據(jù)邊角關(guān)系進行計算 ,若三角形不是直角三角形 ,可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來 解決 .解直角三角形的實際應(yīng)用問題關(guān)鍵是要根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫出圖形 ,找準(zhǔn) 三角形 . 12.(2022江西 ,17,6分 )如圖 1,研究發(fā)現(xiàn) ,科學(xué)使用電腦時 ,望向熒光屏幕畫面的“視線角” α約為 20176。tan 23176。tan 24176。tan 24176。tan 23176?！? 5,tan 24176?！? 5,sin 24176。 ≈ 7,cos 23176。然后 ,小軍在 A處蹲下 ,用測傾器測得“鄉(xiāng)思 柳”頂端 M點的仰角為 24176。思路二 :作 FG⊥ AB于點 G,由題意可推出△ ABE和△ FDE均為等腰直 角三角形 ,在直角三角形 AFG中由銳角三角函數(shù)求出 AB. 11.(2022陜西 ,20,7分 )某市一湖的湖心島有一棵百年古樹 ,當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳” ,不乘船不 易到達 ,每年初春時節(jié) ,人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳 .小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與 “鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離 .于是 ,有一天 ,他們倆帶著測傾器和皮尺來測量這個距離 .測量方 案如下 :如圖 ,首先 ,小軍站在“聚賢亭”的 A處 ,用測傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端 M點的仰角為 23176。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18 米 .? (10分 ) FG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176?！?=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18 米 .? (10分 ) 解法二 :作 FG⊥ AB于點 G, AEFEAB? 由題意知 ,△ ABE和△ FDE均為等腰直角三角形 , ∴ AB=BE,DE=FD=, ∴ FG=DB=DE+BE=AB+,AG=ABGB=ABFD=. 在 Rt△ AFG中 ,? =tan∠ AFG=tan 176。,∠ AEB=∠ FED, ∴ △ ABE∽ △ FDE, ∴ ? =? =tan 176。. 在 Rt△ AEF中 ,? =tan∠ AFE=tan 176?！?) ? 解析 解法一 :由題意知 ,∠ AEB=∠ FED=45176。,FD= 米 ,問旗桿 AB的高度約為多少米 ?(結(jié)果保留整數(shù) ) (參考數(shù)據(jù) :tan 176?！?5? =? ,? (5分 ) ∴ CD=BE+EDBC=5+? ≈ (m).? (6分 ) 答 :標(biāo)語牌 CD的長約為 m.? (7分 ) 39322思路分析 作 AE⊥ BD于點 E,構(gòu)造直角△ DEA和直角△ ABE,解直角△ DEA和直角△ ABE,求得 BE,DE的長 ,進而可求出 CD的長度 . 10.(2022安徽 ,19,10分 )為了測量豎直旗桿 AB的高度 ,某綜合實踐小組在地面 D處豎直放置標(biāo)桿 CD,并在地面上水平放置一個平面鏡 E,使得 B,E,D在同一水平線上 ,如圖所示 .該小組在標(biāo)桿的 F處通過平面鏡 E恰好觀測到旗桿頂 A(此時 ∠ AEB=∠ FED).在 F處測得旗桿頂 A的仰角為 176。, ∵ tan∠ DAE=? , 1212AE323AE∴ DE=AE=10? =5? .? (4分 ) 在 Rt△ DEA中 ,∠ DEA=90176。, ∴ BE=? AB=? 10=5.? (2分 ) ∵ cos∠ EAB=? , ∴ AE=AB, 在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=90176?！?,? ≈ ) ? 3解析 如圖 ,過點 A作 AE⊥ BD于點 E,? (1分 ) ? 由題意得 ∠ DAE=42176?！?,cos 42176。,測得隧道底端 B處的俯角為 30176?！?,tan 176?！?,sin 176?！?,cos 176。, 高杠的支架 BD與直線 AB的夾角 ∠ DBF為 176。. ∵ 點 O的運動路徑為 ?, ∴ 點 O運動的路徑長為 ? =20π=(cm). ︵60 60180? ?思路分析 (1)過點 O作 OD⊥ AB于點 D,先根據(jù) ∠ OBC的余弦求出 BD,然后根據(jù)等腰三角形的 性質(zhì)求得 BC,進而求得 AC的長 。cos∠ OBD=60cos 50176?！?,tan 50176。 (2)當(dāng)點 C從點 A向右運動 60 cm時 ,求 O在此過程中運動的路徑長 . 參考數(shù)據(jù) :sin 50176。+1≈ 16+1=17(個 ). 故這個路段最多可以劃出 17個這樣的停車位 . 2222 227.(2022江西 ,19,8分 )圖 1是一種折疊門 ,由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成 ,整個活頁門 的右軸固定在門框上 ,通過推動左側(cè)活頁門開關(guān) .圖 2是其俯視簡化示意圖 ,已知軌道 AB=120 cm,兩扇活頁門的寬 OC=OB=60 cm,點 B固定 ,當(dāng)點 C在 AB上左右運動時 ,OC與 OB的長度不變 (所有結(jié)果保留小數(shù)點后一位 ). (1)若 ∠ OBC=50176。? ≈ 米 , ()247。sin 45176。=? ≈ 米 , ? CE=5sin 45176。, 則 AD=? x海里 ,BD=? x海里 , ∴ ? x+20=? x, 解得 x=10? . ∴ CD的長為 10? 海里 . 3 3333336.(2022浙江寧波 ,17,4分 )為解決停車難的問題 ,在如圖一段長 56 米的路段開辟停車位 ,每個車 位是長 5 米寬 米的矩形 ,矩形的邊與路的邊緣成 45176。的方向 ,則海島 C到航線 AB的距離 CD等于 海里 . ? 答案 10? 3解析 設(shè) CD的長為 x海里 , 由題意知 ∠ CBD=60176。=? =? .∴ ? =? ,∴ AD=? . 在 Rt△ ABD中 ,由勾股定理得 AB=? =? =? . ∴ AC=? =? =? . ? ADBEABBC3213233 22BD AD?22 231 3??? ????213cos 60AB?213122 2 135.(2022廣西南寧 ,17,3分 )如圖 ,一漁船由西往東航行 ,在 A點測得海島 C位于北偏東 60176。,∴ △ ABD∽ △ BCE, ∴ ? =? .在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=60176。,∠ ABC=90176。,在 Rt△ OAD中 ,AD= OAsin∠ DOA=4sin 30176。的方向 ,則該 船航行的距離 (即 AB的長 )為 ? ( ) ? km ? km ? km D.(? +1)km 3 2 3答案 C 過 A作 OB邊的垂線 AD,垂足為 D,易知 ∠ BOA=30176。,∴ AD=DC=(2+? ) C到 l的距離為 (2+? )km,故選 B. ? 222.(2022廣西南寧 ,11,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,點 E是 AD的中點 ,延長 BC到點 F,使 CF∶ BC=1∶ 2, 連接 DF, AB=5,AD=8,sin B=? ,則 DF的長等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? 451015175答案 C ∵ CF∶ BC=1∶ 2,AD=BC=8,∴ BF=8+4=12. 過 D作 DG⊥ BF,交 BF于點 G. ? ∵ AB∥ CD,∴∠ B=∠ DCF,∴ sin B=sin∠ DCF=? . 在 Rt△ DCG中 ,∵ CD=5,∴ DG=4,CG=3, ∴ FG=BFBG=12(8+3)=1, ∴ DF=? =? =? . 45 22DG GF?2241?173.(2022江蘇蘇州 ,9,3分 )如圖 ,港口 A在觀測站 O的正東方向 ,OA=4 A出發(fā) ,沿北 偏東 15176。, ∴∠ ECB=∠ AEB∠ EBC=176。的方向 ,則船 C離海岸線 l的距離 (即 CD的長 )為 ? ( ) ? km B.(2+? )km ? km D.(4? )km 2 2 2答案 B 如圖 ,在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=45176。, ∴ tan∠ ABC=? =? =? . 3BE32 aa325.(2022貴州貴陽 ,18,8分 )如圖① ,在 Rt△ ABC中 ,以下是小亮探索 ? 與 ? 之間關(guān)系的方法 : ∵ sin A=? ,sin B=? , ∴ c=? ,c=? , ∴ ? =? . 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 ,在圖②的銳角△ ABC中 ,探索 ? ,? ,? 之間的關(guān)系 ,并寫出 探索過程 . ? s ina As inb Bacbcs ina As inb Bs inas inb s ina As inb Bsinc C解析 如圖 1,過點 A作 BC邊上的高 AD, ? 圖 1 ∵ 在 Rt△ ABD中 ,sin B=? ,在 Rt△ ACD中 ,sin C=? , ∴ AD=csin B,AD=bsin C, ∴ csin B=bsin C,∴ ? =? . 同理 ,如圖 2,過點 B作 AC邊上的高 BE, ? cADbs inb Bsinc C圖 2 ∵ 在 Rt△ ABE中 ,sin A=? ,在 Rt△ BCE中 ,sin C=? , ∴ BE=csin A,BE=asin C, ∴ csin A=asin C, ∴ ? =? . 綜上 ,? =? =? . BEc BEas ina Asinc Cs inas inb Bsinc C考點二 解直角三角形 1.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個觀測站 ,AB=2 km,從 A測得船 C 在北偏東 45176。, ∠ BEF=60176。,AC=12,BC=5,所以 AB=? =13,所以 sin A=? =? , 故選 D. 22AC BC?BCAB5134.(2022福建福州 ,18,4分 )如圖 ,6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格 ,菱形的頂點稱為格點 . 已知菱形的一個角 (∠ O)為 60176。,AC=4,BC=3, ∴ AB=? =? =5.∴ cos A=? =? ,故選 D. 22AC BC?2243?AB453.(2022貴州貴陽 ,6,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。=? . 222.(2022甘肅蘭州 ,5,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ AC∥ DF, 已知 l1∥ l2,∴ CD∥ AF,∴ 四邊形 ACDF為矩形 . ∴ CD=AF=AE+EF=30(米 ). 答 :C、 D兩點間的距離為 30米 .? (10分 ) 12考點一 銳角三角函數(shù) C組 教師專用題組 1.(2022天津 ,2,3分 )cos 45176。cos 60176。, ∴∠ ADE=∠ DEB∠ DAB=30176。,求 C、 D兩點間的距離 . ? 解析 如圖 ,過 D作 l1的垂線 ,垂足為 F. ? ∵∠ DEB=60176。,∠ DAB=30176。? ≈ 64海里 /小時 (247。cos 37176?！?10=6海里 .? (5分 ) 22AB BD?3BC∵ cos 37176。=? , ∴ CE=BC, ∴∠ BAD=30176?！?,? ≈ ,結(jié) 果取整數(shù) ) ? 3解析 如圖所示 . ? BD⊥ AD,BE⊥ CE,CF⊥ AF, 由題意知 ,∠ FAB=60176。方向航行至 C處突然出現(xiàn)故障 ,在 C處等待救援 ,B、 C之間的距離為 10海里 ,救援 艇從港口 A出發(fā) 20分鐘到達 C處 ,求救援艇的航行速度 .(sin 37176。=? =? , ∴ x=? , ∴ AC=AE+EC=? +60? =? . 答 :山頂 A到地面 B