【正文】 兵利用云梯成功救出在 C處的求救者后 ,發(fā)現(xiàn)在 C處正上方 17米的 B處又有一名求救者 ,消防官 兵立刻升高云梯將其救出 .已知點 A與居民樓的水平距離是 15米 ,且在 A點測得第一次施救時云 梯與水平線的夾角 ∠ CAD=60176。+120cos 64176。. PCPA ACPA在 Rt△ BPC中 ,sin B=? ,tan B=? , ∴ BP=? =? ≈ ? ≈ 153(海里 ), BC=? =? =PC=120sin 64176。, AC=PA ,PA =120, 在 Rt△ APC中 ,sin A=? ,cos A=? , ∴ PC=PA ≈ ,? 取 . 2解析 如圖 ,過點 P作 PC⊥ AB,垂足為 C, 由題意可知 ,∠ A=64176。≈ ,cos 64176。方向 ,距離燈塔 120 海里的 A處 ,它沿正南方向航行一段時間后 ,到達(dá)位于燈塔 P的南偏東 45176。tan 42176。,∠ DAE=42176。cos 30176。,AB=10,∠ EAB=30176。,∠ EAB=30176?！?,tan 42176。(B,C,D在同一條直線上 ),AB=10 m,隧道高 m(即 BC= m),求標(biāo)語牌 CD的長 (結(jié)果保留小 數(shù)點后一位 ). (參考數(shù)據(jù) :sin 42176。(2)點 O運動路徑是以點 B為圓心 ,OB長為半徑的圓弧 ,先確定當(dāng) 點 C從點 A向右運動 60 cm后 ∠ OBC的大小 ,進(jìn)而利用弧長公式求出結(jié)果 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 ,根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確 理解點 O的運動路徑 . 16.(2022云南昆明 ,19,7分 )小婷在放學(xué)路上 ,看到隧道上方有一塊宣傳“中國 ——南亞博覽 會”的豎直標(biāo)語牌 CD,她在 A點測得標(biāo)語牌頂端 D處的仰角為 42176?！?60=(cm). ∵ OC=OB,∴ BC=2BD. ∴ AC=ABBC=1202=(cm). (2)如圖 , ? ∵ AB=120 cm,AC=60 cm, ∴ BC=ABAC=60 cm. ∵ OC=OB=60 cm,∴ BC=OC=OB, ∴ △ OBC為等邊三角形 ,∴∠ OBC=60176?！?,π取 . ? 解析 (1)如圖 ,過點 O作 OD⊥ AB于點 D, ? 在 Rt△ OBD中 , BD=OB≈ ,cos 50176。,求 AC的長 。. ∵ tan 28176。=? ,∴ AD=? ≈ ? =? x.? (2分 ) 在 Rt△ BDC中 ,∠ BDC=90176。,∠ A=38176?！?)。≈ ,cos 28176?！?,tan 38176。 234米 … … (1)請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù) ,求斜拉索端點 C到 AB的距離 (參考數(shù)據(jù) :sin 38176。,∴ BF=DF=ABAF=? 米 , ∵ DF=AE=AC+CE,∴ 20? +? x=60? x, 解得 x=80? 120,即 CD=(80? 120)米 . tan 60AB?312 32160 2 x???????332 123 314.(2022山西 ,19,8分 ) 祥云橋位于省城太原南部 ,該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成 ,全橋共設(shè) 13對直線型斜拉索 , 造型新穎 ,是“三晉大地”的一種象征 .某數(shù)學(xué)“綜合與實踐”小組的同學(xué)把“測量斜拉索頂 端到橋面的距離”作為一項課題活動 ,他們制訂了測量方案 ,并利用課余時間借助該橋斜拉索 完成了實地測量 .測量結(jié)果如下表 : 項目 內(nèi)容 課題 測量斜拉索頂端到橋面的距離 測量 示意圖 ? 說明 :兩側(cè)最長斜拉索 AC,BC相交于點 C,分別與橋面交于 A,B兩點 ,且 點 A,B,C在同一豎直平面內(nèi) 測量 數(shù)據(jù) ∠ A的度數(shù) ∠ B的度數(shù) AB的長度 38176。 (2)求斜坡 CD的長度 . ? 解析 (1)在 Rt△ ABC中 ,AB=60米 ,∠ ACB=60176。,在斜坡上的 D處測得樓頂 B的仰角為 45176。≈ ) ? 解析 在 Rt△ CAE中 ,AE=? =? ≈ ? ≈ .? (3分 ) 在 Rt△ DBF中 ,BF=? =? ≈ ? =40.? (6分 ) ∴ EF=AE+AB+BF=+90+40=≈ 151. ∵ 四邊形 CEFH為矩形 ,∴ CH=EF=151. 即高、低杠間的水平距離 CH的長約是 151 cm.? (9分 ) tanCECAE? 155tan ? tan DFDBF? 234tan ? 2345 .8 5 0思路分析 根據(jù) Rt△ CAE和 Rt△ DBF中的邊和角的數(shù)值 ,用正切函數(shù)分別求得 AE,BF的長度 , 得 EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知 CH=EF,可以求出問題的答案 . 方法總結(jié) 解直角三角形的應(yīng)用問題 ,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形 ,結(jié)合所給的線段或角 ,借 助邊角關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題 ,若幾何圖形中無直角三角形 ,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三 角形 ,再解直角三角形 ,求出實際問題的答案 . 13.(2022湖北黃岡 ,21,7分 )如圖 ,在大樓 AB正前方有一斜坡 CD,坡角 ∠ DCE=30176。≈ , cos 176。≈ ,tan 176。.求高、低杠間的水平距離 CH的長 . (結(jié)果精確到 1 :sin 176。若圖中沒有直角三角形 ,可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決 . 12.(2022河南 ,20,9分 )“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目 ,其比賽器材由高、低兩根 平行杠及若干支架組成 ,運動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的 距離 .某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題 ,請你解答 . 如圖所示 ,底座上 A,B兩點間的距離為 90 C到直線 AB的距離 CE的長為 155 cm,高 杠上點 D到直線 AB的距離 DF的長為 234 cm,已知低杠的支架 AC與直線 AB的夾角 ∠ CAE為 176?！?) ? 答案 B 如圖 ,延長 AB交 ED的延長線于 M,作 CJ⊥ DM于 BMJC是矩形 . ? 在 Rt△ CJD中 ,? =? =? ,設(shè) CJ=4k,DJ=3k,k0,已知 CD=2, 則有 9k2+16k2=4,解得 k=? , ∴ BM=CJ=? ,DJ=? ,又 ∵ BC=MJ=1, ∴ EM=MJ+DJ+DE=? , 在 Rt△ AEM中 ,tan∠ AEM=? ,∴ tan 58176?！?,cos 58176。 (3)作 AG⊥ BE,CH⊥ BE,先判斷出 ? =? =? ,同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH,所以 ? =? = ? =? ,設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進(jìn)一步得出關(guān)于 m,n的等式 ,解得 n=2m,最后得出結(jié)論 . PNAB PMAP 255 5GHEG ACAD 52BGCH AGBHABBC 43方法指導(dǎo) 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法 ,本題涉及的相似三角形 ,要尋 找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 .同時要注意挖掘題干中不變的幾何特征 ,根據(jù)特征尋方 法 . 11.(2022重慶 ,10,4分 )如圖 ,旗桿及升旗臺的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上 ,旗桿與地面垂 直 ,在教學(xué)樓底部 E點處測得旗桿頂端的仰角 ∠ AED=58176。,∴ CH∥ AG∥ DE, ∴ ? =? =? , 同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH, ∴ ? =? =? =? , 設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴ GH=BG+BH=4m+3n, ∵ AB=AE,AG⊥ BE,∴ EG=BG=4m, ∴ ? =? =? ,∴ n=2m,∴ EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在 Rt△ CEH中 ,tan∠ CEB=? =? . BCAC 35BCAB 34GHEG ACAD 52BGCH AGBH ABBC 43GHEG 434mnm? 52CHEH 314? 思路分析 (1)利用同角的余角相等判斷出 ∠ MAB=∠ NBC,即可得出結(jié)論 。BC,∴ (? t)2=BP, ∴∠ MAB=∠ NBC, ∴ △ ABM∽ △ BCN. (2)過點 P作 PM⊥ AP交 AC于點 M,過點 M作 MN⊥ PC交 BC于點 N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176。,sin∠ BAC=? ,? =? ,直接寫出 tan∠ CEB 的值 . ? 25535 ADAC 25解析 (1)證明 :∵∠ M=∠ N=∠ ABC=90176。 (2)如圖 2,P是邊 BC上一點 ,∠ BAP=∠ C,tan∠ PAC=? ,求 tan C的值 。思路二 :作 FG⊥ AB于點 G,由題意可推出△ ABE和△ FDE均為等腰直 角三角形 ,在直角三角形 AFG中由銳角三角函數(shù)求出 AB. 10.(2022湖北武漢 ,23,10分 )在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) AGFG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176。≈ =≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18米 .? (10分 ) 解法二 :作 FG⊥ AB于點 G, ? AEFEABFD AEFE由題意知 ,△ ABE和△ FDE均為等腰直角三角形 , ∴ AB=BE,DE=FD=, ∴ FG=DB=DE+BE=AB+,AG=ABGB=ABFD=. 在 Rt△ AFG中 ,? =tan∠ AFG=tan 176。,∠ AEB=∠ FED, ∴ △ ABE∽ △ FDE, ∴ ? =? =tan 176。. 在 Rt△ AEF中 ,? =tan∠ AFE=tan 176。≈ ) ? 解析 解法一 :由題意知 ,∠ AEB=∠ FED=45176。,FD= ,問旗桿 AB的高度約為多少米 ?(結(jié)果保留整數(shù) ) (參考數(shù)據(jù) :tan 176。AN=? ? ? =? . 3 33212 12332 3348.(2022貴州貴陽 ,18,8分 )如圖① ,在 Rt△ ABC中 ,以下是小亮探索 ? 與 ? 之間關(guān)系的方法 : ∵ sin A=? ,sin B=? , ∴ c=? ,c=? , ∴ ? =? . 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 ,在圖②的銳角△ ABC中 ,探索 ? ,? ,? 之間的關(guān)系 ,并寫出 探索過程 . ? sina A sinb Bac bcsina A sinb Bsina A sinb Bsina A sinb B sinc C解析 如圖 1,過點 A作 BC邊上的高 AD, ? 圖 1 ∵ 在 Rt△ ABD中 ,sin B=? ,在 Rt△ ACD中 ,sin C=? , ∴ AD=csin B,AD=bsin C, ∴ csin B=bsin C,∴ ? =? . 同理 ,如圖 2,過點 B作 AC邊上的高 BE, ? 圖 2 ADc ADbsinb B sinc C∵ 在 Rt△ ABE中 ,sin A=? ,在 Rt△ BCE中 ,sin C=? , ∴ BE=csin A,BE=asin C, ∴ csin A=asin C, ∴ ? =? . 綜上 ,? =? =? . BEc BEasina A sinc Csina A sinb B sinc C9.(2022安徽 ,19,10分 )為了測量豎直旗桿 AB的高度 ,某綜合實踐小組在地面 D處豎直放置標(biāo)桿 CD,并在地面上水平放置一個平面鏡 E,使得 B,E,D在同一水平線上 ,如圖所示 .該小組在標(biāo)桿的 F處通過平面鏡 E恰好觀測到旗桿頂 A(此時 ∠ AEB=∠ FED).在 F處測得旗桿頂 A的仰角為 176。∠ BAE=60176。. 又 ∵ AB與 AG關(guān)于 AE對稱 ,AE與 AF關(guān)于 AG對稱 , ∴∠ BAE=∠ GAE=∠ GAF=30176。. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC, ∴∠ EAD=∠ AEB=90176。≈ 78≈ 38. ABBCAEED答 :甲建筑物的高度 AB約為 125 m,乙建筑物的高度 DC約為 38 m. 思路分析 過點 D作 DE⊥ AB,構(gòu)造直角△ ADE和矩形 BCDE,通過解直角△ ABC和直角△ ADE 可求出答案 . 7.(2022貴州貴陽 ,20,10分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,AE是 BC邊上的高 ,點 F是 DE的中點 ,AB 與 AG關(guān)于 AE對稱 ,AE與 AF關(guān)于 AG對稱 . (1)求證 :△ AEF是等邊三角形 。ED. ∴ DC=EB=ABAE=BC≈ 78≈ 125. 在 Rt△ AED中 ,tan∠ ADE=? , ∴ AE=ED. 可得四邊形 BCDE為矩形 . ∴ ED=BC=78,DC=EB. 在 Rt△ ABC中 ,tan∠ ACB=? , ∴ AB=BC,∠ ABC=90176。. 由題意可知 ,BC=78,∠ ADE=48176?！?,tan 58176。,測得底部 C處的俯角為 58176。+1=247。=2