【正文】 AF=ED=EB+BD=18海里 . 在 Rt△ AFC中 ,AC=? =? ≈ .? (9分 ) 247。,再沿 AB方向前進 20米到達點 E(點 E在線段 AB上 ),測得 ∠ DEB=60176。,∴ △ ADE為等腰三角形 , ∴ DE=AE=20(米 ).? (3分 ) 在 Rt△ DEF中 ,EF=DE的值等于 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 12 22 323答案 B 本題考查特殊銳角的三角函數值 .cos 45176。,AC=12,BC=5,則 sin A的值為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 5125135答案 D 在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AE=? a,EB=2a, ? ∴∠ AEB=90176。,∴ AB=EB=2 km,∴ AE=2? km,∵∠ EBC=176。方向航行一段距離后到達 B處 ,此時從觀測站 O處測得該船位于北偏東 60176。=2 km,在 Rt△ ABD中 ,AB=? =? =2? km,故選 C. ? cos ADBAD?2c 45?24.(2022江蘇連云港 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=60176。, ∴ tan 60176。,∠ CAB=30176。=5? ≈ 米 , BE=BC+CE= 米 , EF=247。+1=247?！?,cos 50176?！?60=(cm). ∵ OC=OB,∴ BC=2BD. ∴ AC=ABBC=1202=(cm). (2)如圖 , ? ∵ AB=120 cm,AC=60 cm, ∴ BC=ABAC=60 cm. ∵ OC=OB=60 cm,∴ BC=OC=OB, ∴ △ OBC為等邊三角形 ,∴∠ OBC=60176。.求高、低杠間的水平距離 CH的長 . (結果精確到 1 :sin 176?！?, cos 176。 (B,C,D在同一條直線上 ),AB=10 m,隧道高 m(即 BC= m),求標語牌 CD的長 (結果保留小數 點后一位 ). (參考數據 :sin 42176。,∠ EAB=30176。cos 30176。tan 42176?！?,tan 176。, 在△ ABE和△ FDE中 ,∠ ABE=∠ FDE=90176。,即 ? =tan 176。,此時測得小軍的眼睛距地面的高度 AB為 米 ?！? 5,tan 23176?！? 2) 解析 作 BD⊥ MN, 垂足為 D, 作 CE⊥ MN, 垂足為 E. 設 AN=x米 ,則 BD=CE=x米 . 在 Rt△ MBD中 ,MD=x米 .? (4分 ) ? ∵ MEMD=DE=BC, ∴ x=. ∴ x=? . ∴ x≈ 34. ∴ “聚賢亭”到“鄉(xiāng)思柳”之間的距離約為 34 米 .? (7分 ) tan23?? ?解后反思 解決此類問題的步驟如下 :(1)根據題目中的已知條件 ,將實際問題抽象為解直角三 角形的數學問題 ,畫出平面幾何圖形 ,弄清已知條件中各量之間的關系 。 (2)若肩膀到水平地面的距離 DG=100 cm,上臂 DE=30 cm,下臂 EF水平放置在鍵盤上 ,其到地面 的距離 FH=72 β是否符合科學要求的 100176?！?? ,tan 43176。? =55(cm).? (3分 ) (2)如圖 ,延長 FE交 DG于點 I, ? ∵ DG⊥ GH,FH⊥ GH,EF∥ GH, ∴ IE⊥ DG, ∴ 四邊形 GHFI是矩形 , ∴ IG=FH, tan 20BC?411∴ DI=DGFH=10072=28(cm).? (4分 ) 在 Rt△ DEI中 ,sin∠ DEI=? =? =? , ∴∠ DEI≈ 69176?！?100176。方向 .已知 A船的航速為 30海里 /小時 ,B船的航速 為 25海里 /小時 ,問 C船至少要等待多長時間才能得到救援 ?? 參考數據 :sin 53176。.? (1分 ) 已知 ∠ CAD=45176。tan 53176。30=(小時 ).? (8分 ) 而 1,所以 C船至少要等待 .? (9分 ) 5 tan 53tan 53 1???45 34 13??sin 5 3?sin 5 3x ?452解題技巧 本題是解三角形兩種典型問題中的一種 . 以下介紹兩種典型問題 : (1)如圖 ,當 BC=a時 ,設 AD=x,則 CD=? ,BD=? . ∵ CD+BD=a,∴ ? +? =a,∴ x=? . ? (2)如圖 ,當 BC=a時 ,設 AD=x,則 BD=? ,CD=? , ∵ CDBD=a,∴ ? ? =a, ∴ x=? . t a nx βt a nx αt a nx βt a αtan tann tana α βα β?t a nx αt a nx βt a nx βt a αtan tant tanα ββ?14.(2022茂名 ,21,8分 )如圖 ,在數學活動課中 ,小敏為了測量校園內旗桿 CD的高度 ,先在教學樓 的底端 A點處 ,觀測到旗桿頂端 C的仰角 ∠ CAD=60176。, ∴∠ ADB=30176。,利用 tan 60176。tan 60176。,∠ CBD=60176。,∴∠ CAB=∠ ACB, ∴ BC=AB=10 m.? (3分 ) 在 Rt△ CBD中 ,sin 60176。,旗桿底部 B點的俯角為 45176?！?) ? 解析 過點 C作 CD⊥ AB,垂足為 D,則 DB=9.? (1分 ) 在 Rt△ CBD中 ,∠ BCD=45176?！?9=.? (6分 ) ∴ AB=AD+DB=+9=.? (7分 ) ()247。. (1)求 ∠ BPQ的度數 。. (2)設 PQ=x m,則 QB=QP=x, 在△ BCQ中 ,BC=x.求 DM和 BC的水平距離 BM.(結果精確到 米 ,參考數據 : sin 31176。, ∴ CF=tan 45176。=? =? ≈ ,? (6分 ) 解得 x=.? (7分 ) 答 :DM和 BC的水平距離 BM為 米 .? (8分 ) 45 xx??19.(2022上海 ,22,10分 )如圖 ,MN表示一段筆直的高架道路 ,線段 AB表示高架道路旁的一排居民 樓 .已知點 A到 MN的距離為 15 米 ,BA的延長線與 MN相交于點 D,且 ∠ BDN=30176。.試根據以上數據求出潛艇 C離 開海平面的下潛深度 .(結果保留整數 .參考數據 :sin 68176。,∠ BCD=68176。tan 68176。 (2)已知距觀測點 D處 100海里范圍內有暗礁 .若巡邏船 A沿直線 AC去營救船 C,在去營救的途中 有無觸礁危險 ?(參考數據 :? ≈ ,? ≈ ) ? 323解析 (1)如圖 ,過 C作 CE⊥ AB于 E. 設 AE=a海里 ,則 BE=ABAE=[100(? +1)a]海里 . 在 Rt△ ACE中 ,∠ AEC=90176。=? a海里 . 在 Rt△ BCE中 ,BE=CE, ∴ 100(? +1)a=? a, ∴ a=100. ∴ AC=2a=200海里 . 在△ ACD和△ ABC中 ,∠ ACB=180176。=∠ ADC,∠ CAD=∠ BAC, ∴ △ ACD∽ △ ABC,∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AD=200(? 1)海里 . 答 :A與 C間的距離 AC為 200海里 ,A與 D間的距離 AD為 200(? 1)海里 . 3cos 60AE?12a333ADACAB2002022 0 0 ( 3 1)?3 3? (2)如圖 ,過 D作 DF⊥ AC于 F, 在 Rt△ ADF中 ,∠ DAF=60176。,再往山的方向 (水平方向 )前進 80 m至索道口 C處 ,沿索道方向仰望山頂 ,測得仰角 ∠ ACE= 39176?！?? ,tan 39176。=? , ∴ BD=? ≈ ? =? x m. 在 Rt△ ACD中 ,∠ ADC=90176。=? , ∴ AC=? ≈ ? ≈ (m). 答 :索道 AC的長約為 m.? (8分 ) ADtan 3 9AD?911x953 9ADsin 3 9AD?18071123.(2022天津 ,22,10分 )解放橋是天津市的標志性建筑之一 ,是一座全鋼結構的部分可開啟的橋 梁 . (1)如圖① ,已知解放橋可開啟部分的橋面的跨度 AB等于 47 m,從 AB的中點 C處開啟 ,則 AC開啟 至 A39。的長為 m?！?1.4,tan 73176。,MN=40. ∵ 在 Rt△ MPQ中 ,tan∠ PMQ=? , PQ∴ PQ=MQ, ∴ MQ. 又 MQ=MN+NQ, ∴ (40+NQ)tan 54176。tan 73176。分別為 110 米 ,310 米 ,710 米 ,鋼纜 AB的坡度 i1=1∶ 2,鋼纜 BC的坡度 i2=1∶ 1,景區(qū)因改造纜車線路 ,需要從 A到 C直線架設 一條鋼纜 ,那么鋼纜 AC的長度是多少米 ?(注 :坡度 i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比 ) ? 解析 如圖 ,過點 A作 AE⊥ CC39。B39。FB39。DC39。,∠ B=37176?！?,? 取 . ? 2解析 如圖 ,過點 C作 CD⊥ AB,垂足為 D. ? 在 Rt△ ACD中 ,tan A=? ,sin A=? ,∠ A=45176。, ∴ sin∠ EDB=sin∠ EFB=? .故選 B. 222.(2022深圳寶安模擬 ,5)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ tan∠ DBE=? = B. AEAD35BE4.(2022韶關二模 ,4)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 12答案 C ∵∠ A為 Rt△ ABC的內角 ,且 ∠ C=90176。)=? ,則 α= . 3答案 75176。=60176。,已知測角儀高 AB為 米 ,求拉線 CE的長 (結果精確到 米 ,參考數據 :? ≈ ,? ≈ ). ? 23解析 過點 A作 AH⊥ CD,垂足為 H, 由題意可知四邊形 ABDH為矩形 ,∠ CAH=30176。,sin∠ CED=? , ∴ CE=? =4+? ≈ (米 ). CDCEsin 6 0?3思路分析 過點 A作 AH⊥ CD,垂足為 H,構造直角三角形 ,在 Rt△ ACH中 ,利用銳角三角函數求 出 CH,在 Rt△ CDE中 ,求出 CE即可 . 9.(2022潮陽一模 ,20)校車安全是近幾年社會關注的重大問題 ,安全隱患主要是超速和超載 ,某 中學數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的試驗 :先在公路旁邊選取一點 C, 再在筆直的車道 l上確定點 D,使 CD與 l垂直 ,測得 CD的長等于 24 米 ,在 l上點 D的同側取點 A、 B, 使 ∠ CAD=30176。2=8? ≈ (米 /秒 ), 因為 3 600=48 960, 所以該車速度為 /時 ,大于 45千米 /時 ,所以此校車在 AB路段超速 . tan 3 0CD?2433tan 60?33333310.(2022廣東潮州二模 ,18)計算 :sin230176。+? tan 45176。,已知這段山坡的坡角為 30176。, ∴ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴ AC=BC, ∴ 300? +x=300+? x, 12333 333解得 x=300. ∴ BC=AC=300+300? , ∴ 山高是 300+300? 15=285+300? ≈ 805 米 . 33 32.(2022珠海三模 ,13)某水庫大壩的橫斷面是梯形 ,壩內斜坡的坡度 i=1∶ ? ,壩外斜坡的坡度 i= 1∶ 1,則兩個坡角的和為 . 3答案 75176。+45176。, ∵ tan B=? =? , ∴ 設 AD=5a,則 AB=3a, ∵ CD=? BD,∴ ? =? , ∴ ? =? =? , ∴ DP=a,∴ tan∠ CAD=? =? =? . ? AD5312 CB1313 PDAD5aa154.(2022廣州廣大附中一模 ,20)如圖 ,小明在大樓 30米高 (即 PH=30米 )的窗口 P處進行觀測 ,測得 山坡上 A處的俯角為 15176。. (2)由題意得 ∠ PBH=60176。, ∴ △ PAB為等腰直角三角形 , 在直角△ PHB中 ,PB=? =? =20? (米 ). 在直角△ PBA中 ,AB=PB=20? ≈ 米 . 答 :A、 B兩點間的距離約為 米 . 3sin PHPBH?3032335.(2022肇慶端州一模 ,21)如圖 ,兩座建筑物 AB及 CD,其中 A,C距離為 60米 ,在 AB的頂點 B處測得 CD的頂部 D的仰角 β=30176。, ∴ BE=AC=60米 ,AB=CE, 在 Rt△ BCE中 ,∠ BCE=90176。tan 30176。,∠ ABC=45176。 176。,∵∠ A+∠ B+∠ C=180176。 ③ tan Asin A。,則 sin A+cos A=? +? =? 1,∴ ②正確 。,則 A+B=90176?？潭染€ ,則假山的高度為 ? ( ) ? A.(4? +)m B.(12? +)m C.(4? +)m ? m 3 33答案 A 作 AP⊥ CD于 P,則四邊形 ABDP為矩形 ,