【正文】 ,則 A+B=90176。 ③ tan Asin A。 176。tan 30176。, ∴ △ PAB為等腰直角三角形 , 在直角△ PHB中 ,PB=? =? =20? (米 ). 在直角△ PBA中 ,AB=PB=20? ≈ 米 . 答 :A、 B兩點間的距離約為 米 . 3sin PHPBH?3032335.(2022肇慶端州一模 ,21)如圖 ,兩座建筑物 AB及 CD,其中 A,C距離為 60米 ,在 AB的頂點 B處測得 CD的頂部 D的仰角 β=30176。, ∵ tan B=? =? , ∴ 設(shè) AD=5a,則 AB=3a, ∵ CD=? BD,∴ ? =? , ∴ ? =? =? , ∴ DP=a,∴ tan∠ CAD=? =? =? . ? AD5312 CB1313 PDAD5aa154.(2022廣州廣大附中一模 ,20)如圖 ,小明在大樓 30米高 (即 PH=30米 )的窗口 P處進行觀測 ,測得 山坡上 A處的俯角為 15176。, ∴ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴ AC=BC, ∴ 300? +x=300+? x, 12333 333解得 x=300. ∴ BC=AC=300+300? , ∴ 山高是 300+300? 15=285+300? ≈ 805 米 . 33 32.(2022珠海三模 ,13)某水庫大壩的橫斷面是梯形 ,壩內(nèi)斜坡的坡度 i=1∶ ? ,壩外斜坡的坡度 i= 1∶ 1,則兩個坡角的和為 . 3答案 75176。+? tan 45176。,sin∠ CED=? , ∴ CE=? =4+? ≈ (米 ). CDCEsin 6 0?3思路分析 過點 A作 AH⊥ CD,垂足為 H,構(gòu)造直角三角形 ,在 Rt△ ACH中 ,利用銳角三角函數(shù)求 出 CH,在 Rt△ CDE中 ,求出 CE即可 . 9.(2022潮陽一模 ,20)校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題 ,安全隱患主要是超速和超載 ,某 中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的試驗 :先在公路旁邊選取一點 C, 再在筆直的車道 l上確定點 D,使 CD與 l垂直 ,測得 CD的長等于 24 米 ,在 l上點 D的同側(cè)取點 A、 B, 使 ∠ CAD=30176。=60176。 12答案 C ∵∠ A為 Rt△ ABC的內(nèi)角 ,且 ∠ C=90176。, ∴ sin∠ EDB=sin∠ EFB=? .故選 B. 222.(2022深圳寶安模擬 ,5)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ B=37176。FB39。分別為 110 米 ,310 米 ,710 米 ,鋼纜 AB的坡度 i1=1∶ 2,鋼纜 BC的坡度 i2=1∶ 1,景區(qū)因改造纜車線路 ,需要從 A到 C直線架設(shè) 一條鋼纜 ,那么鋼纜 AC的長度是多少米 ?(注 :坡度 i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比 ) ? 解析 如圖 ,過點 A作 AE⊥ CC39。. 又 MQ=MN+NQ, ∴ (40+NQ)tan 54176。,MN=40. ∵ 在 Rt△ MPQ中 ,tan∠ PMQ=? , PQ∴ PQ=MQ的長為 m。=? , ∴ BD=? ≈ ? =? x m. 在 Rt△ ACD中 ,∠ ADC=90176。,再往山的方向 (水平方向 )前進 80 m至索道口 C處 ,沿索道方向仰望山頂 ,測得仰角 ∠ ACE= 39176。=? a海里 . 在 Rt△ BCE中 ,BE=CE, ∴ 100(? +1)a=? a, ∴ a=100. ∴ AC=2a=200海里 . 在△ ACD和△ ABC中 ,∠ ACB=180176。tan 68176。.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇 C離 開海平面的下潛深度 .(結(jié)果保留整數(shù) .參考數(shù)據(jù) :sin 68176。, ∴ CF=tan 45176。. (2)設(shè) PQ=x m,則 QB=QP=x, 在△ BCQ中 ,BC=x≈ 9=.? (6分 ) ∴ AB=AD+DB=+9=.? (7分 ) ()247。,旗桿底部 B點的俯角為 45176。,∠ CBD=60176。,利用 tan 60176。30=(小時 ).? (8分 ) 而 1,所以 C船至少要等待 .? (9分 ) 5 tan 53tan 53 1???45 34 13??sin 5 3?sin 5 3x ?452解題技巧 本題是解三角形兩種典型問題中的一種 . 以下介紹兩種典型問題 : (1)如圖 ,當(dāng) BC=a時 ,設(shè) AD=x,則 CD=? ,BD=? . ∵ CD+BD=a,∴ ? +? =a,∴ x=? . ? (2)如圖 ,當(dāng) BC=a時 ,設(shè) AD=x,則 BD=? ,CD=? , ∵ CDBD=a,∴ ? ? =a, ∴ x=? . t a nx βt a nx αt a nx βt a αtan tann tana α βα β?t a nx αt a nx βt a nx βt a αtan tant tanα ββ?14.(2022茂名 ,21,8分 )如圖 ,在數(shù)學(xué)活動課中 ,小敏為了測量校園內(nèi)旗桿 CD的高度 ,先在教學(xué)樓 的底端 A點處 ,觀測到旗桿頂端 C的仰角 ∠ CAD=60176。.? (1分 ) 已知 ∠ CAD=45176?！?100176?！?? ,tan 43176。=. ∴ x=? . ∴ x≈ 34. ∴ “聚賢亭”到“鄉(xiāng)思柳”之間的距離約為 34 米 .? (7分 ) tan23?? ?解后反思 解決此類問題的步驟如下 :(1)根據(jù)題目中的已知條件 ,將實際問題抽象為解直角三 角形的數(shù)學(xué)問題 ,畫出平面幾何圖形 ,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 ?！? 2) 解析 作 BD⊥ MN, 垂足為 D, 作 CE⊥ MN, 垂足為 E. 設(shè) AN=x米 ,則 BD=CE=x米 . 在 Rt△ MBD中 ,MD=x,此時測得小軍的眼睛距地面的高度 AB為 米 。, 在△ ABE和△ FDE中 ,∠ ABE=∠ FDE=90176。tan 42176。,∠ EAB=30176?！?, cos 176。≈ 60=(cm). ∵ OC=OB,∴ BC=2BD. ∴ AC=ABBC=1202=(cm). (2)如圖 , ? ∵ AB=120 cm,AC=60 cm, ∴ BC=ABAC=60 cm. ∵ OC=OB=60 cm,∴ BC=OC=OB, ∴ △ OBC為等邊三角形 ,∴∠ OBC=60176。+1=247。,∠ CAB=30176。=2 km,在 Rt△ ABD中 ,AB=? =? =2? km,故選 C. ? cos ADBAD?2c 45?24.(2022江蘇連云港 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=60176。,∴ AB=EB=2 km,∴ AE=2? km,∵∠ EBC=176。,AC=12,BC=5,則 sin A的值為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 5125135答案 D 在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ △ ADE為等腰三角形 , ∴ DE=AE=20(米 ).? (3分 ) 在 Rt△ DEF中 ,EF=DE≈ 10=8海里 .? (7分 ) ∵ EF=AD= ,∴ FC=EFCE= . AF=ED=EB+BD=18海里 . 在 Rt△ AFC中 ,AC=? =? ≈ .? (9分 ) 247。,∠ CBE=37176。,在斜坡 D處測得山頂 A的仰角為 45176。,測得旗桿頂端 A的仰角為 30176。=6米 ,∵ i=1∶ ? =DF∶ FC,∴ tan C=? =? , ∴∠ C=30176。,∴ BN=? =? =2,∴ AN=BNAB=2? . ∵∠ NAK=∠ G=90176。.然后沿在同一剖面的斜坡 AB行走 13 米至坡頂 B 處 ,然后沿水平方向行走 6 米至大樹底端 D處 ,斜面 AB的坡度 (或坡比 )i=1∶ ,那么大樹 CD的 高度約為 (參考數(shù)據(jù) :sin 36176。DF 的正切值 .再根據(jù)平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為 ∠ AA39。的垂線 ,解法一樣 ) ∵ AA39。∠ EAD=90176。,BC=15,tan A=? ,則 AB= . ? 158答案 17 解析 在 Rt△ ABC中 ,∵ tan A=? =? ,BC=15, ∴ AC=8,∴ AB=? =? =17. AC158 22AC BC?228 15?3.(2022廣州 ,22,12分 )如圖 ,某無人機于空中 A處探測到目標(biāo) B,D,從無人機上看目標(biāo) B,D的俯角 分別為 30176。,∴ tan A=? =? .故選 D. BCAB433.(2022廣州 ,12,3分 )如圖 ,旗桿高 AB=8 m,某一時刻 ,旗桿影子長 BC=16 m,則 tan C= . ? 答案 ? 12解析 由銳角三角函數(shù)正切的定義可知 ,在直角三角形中 ,銳角 C的對邊與鄰邊的比叫做 ∠ C 的正切 ,所以 tan C=? =? . ABBC12思路分析 由銳角三角函數(shù)正切的定義可得 . 易錯警示 求銳角三角函數(shù)時 ,容易弄錯角的對邊和鄰邊 ,例如此題一不小心就有可能求得 tan C=? =2. AB4.(2022廣州 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,DE是 BC的垂直平分線 ,DE交 AC于點 E,連接 BE=9,BC =12,則 cos C= . ? 答案 ? 23解析 ∵ DE是 BC的垂直平分線 , ∴ EC=BE=9,CD=? BC=6. ∴ cos C=? =? =? . 126923考點二 解直角三角形 1.(2022深圳 ,11,3分 )如圖 ,學(xué)校環(huán)保社成員想測量斜坡 CD旁一棵樹 AB的高度 ,他們先在點 C處 測得樹頂 B的仰角為 60176。=10? m, 設(shè) AC=x m,AB=y m, 在 Rt△ ABC中 ,? =tan 60176。處從無人機上看目標(biāo) D的俯角的正切值 . ? 3解析 (1)如圖 1,∵ AA39。D,過點 A39。AFDF605 0 32355圖 2 思路分析 (1)求出 ∠ B,然后解直角三角形 .(2)構(gòu)造 Rt△ A39。=? ,故選 B. 323.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,4,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176?！?18= 米 , ∴ CD=CEDE=≈ 米 ,故選 A. 2.(2022遼寧沈陽 ,16,4分 )如圖 ,正方形 ABCD繞點 B逆時針旋轉(zhuǎn) 30176。,∴ AK=? =? =2? 3. ? 33cosGBGBN?3c o 3 0 ?33tan NANKA?23t a n 3 0? ?33.(2022四川德陽 ,15,3分 )如圖所示 ,某攔水大壩的橫斷面為梯形 ABCD,AE、 DF為梯形的高 ,其 中迎水坡 AB的坡角 α=45176。 (2)求斜坡 CD的長度 . ? 解析 (1)在 Rt△ ABC中 ,AB=60米 ,∠ ACB=60176。, ∴ AE=CE方向航行至 C處突然出現(xiàn)故障 ,在 C處等待救援 ,B、 C之間的距離為 10海里 ,救援 艇從港口 A出發(fā) 20分鐘到達 C處 ,求救援艇的航行速度 .(sin 37176?！?10=6海里 .? (5分 ) 22AB BD?3BC∵ cos 37176。,求 C、 D兩點間的距離 . ? 解析 如圖 ,過 D作 l1的垂線 ,垂足為 F. ? ∵∠ DEB=60176。=? . 222.(2022甘肅蘭州 ,5,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。, ∴ tan∠ ABC=? =? =? . 3BE32 aa325.(2022貴州貴陽 ,18,8分 )如圖① ,在 Rt△ ABC中 ,以下是小亮探索 ? 與 ? 之間關(guān)系的方法 : ∵ sin A=? ,sin B=? , ∴ c=? ,c=? , ∴ ? =? . 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 ,在圖②的銳角△ ABC中 ,探索 ? ,? ,? 之間的關(guān)系 ,并寫出 探索過程 . ? s ina As inb Bacbcs ina As inb Bs inas inb s ina As inb Bsinc C解析 如圖 1,過點 A作 BC邊上的高 AD, ? 圖 1 ∵ 在 Rt△ ABD中 ,sin B=? ,在 Rt△ ACD中 ,sin C=? , ∴ AD=csin B,AD=bsin C, ∴ csin B=bsin C,∴ ? =? . 同理 ,如圖 2,過點 B作 AC邊上的高 BE, ? cADbs inb Bsinc C圖 2 ∵ 在 Rt△ ABE中 ,sin A=? ,在 Rt△ BCE中 ,sin C=? , ∴ BE=csin A,BE=asin C, ∴ csin A=asin C, ∴ ? =? . 綜上 ,? =? =? . BEc BEas ina Asinc Cs inas inb Bsinc C考點二 解直角三角形 1.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在一筆直的海岸線 l上有 A、 B兩個觀測站 ,AB=2 km,從 A測得船 C 在北偏東 45176。的方向 ,則該 船航行的距離 (即 AB的長 )為 ? ( ) ? km ? km ? km D.(? +1