【正文】 ∵ DE∥ AB,∴∠ EDC=∠ B=60176。, ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 13.(2022浙江溫州 ,20,10分 )如圖 ,在等邊三角形 ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在邊 BC,AC上 ,且 DE∥ AB,過 點(diǎn) E作 EF⊥ DE,交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F. (1)求 ∠ F的度數(shù) 。. 1212∴∠ FGC=30176。, 點(diǎn) G為 AB的中點(diǎn) ,∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。∠ DAG=90176。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。. ∴∠ DAE=60176。,∠ DAH=30176。,∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。,∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。,∠ BAC=60176。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是否是等邊三角形 .若是 ,請(qǐng)證明 。.點(diǎn) E是 ∠ BAC角平分線上一 點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AE的垂線 ,過點(diǎn) A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) D,連接 DB,點(diǎn) F是 BD的中點(diǎn) .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? ,求 AB,BD的長(zhǎng) 。MC,∴ CM=? . 在 Rt△ AMC中 ,AM=? =? .∴ t=AD=2AM=? . 綜上所述 ,當(dāng) t=5或 6或 ? 時(shí) ,△ DMN為等腰三角形 .(13分 ) 22AC BC?1212 12 245 AC CM?185 36536512.(2022重慶 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, AMAB6610185 365512 12 12∴∠ B=∠ BCD,∴ BD=CD=AD, 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =10, ∴ t=AD=? AB=5.? (11分 ) (iii)當(dāng) DN=MN=3時(shí) ,AC=DC,連接 MC,則 CM⊥ AB. ? ∵ S△ ACB=? BC,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。,∴ S?AFGE=AE (2)求點(diǎn) D由點(diǎn) A向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng)的過程中 ,線段 MN所掃過區(qū)域的面積 。∠ C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 11.(2022福建龍巖 ,24,13分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. ∴∠ CBE=90176。+∠ PAC=∠ AMQ, ∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過點(diǎn) M作 MN⊥ BQ于點(diǎn) N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP,∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系 ,并證明 . ? 解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。=22? ? =6, ∴ FE=DE=66x, 在 Rt△ EFH中 ,FE2=FH2+EH2,即 (66x)2=(3x)2+(? x)2, 解得 x1=? ,x2=? (舍去 ). ∴ DE=66x=3? 3. 33 323332? 2?39.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. 過點(diǎn) E作 EH⊥ CF,交 CF于點(diǎn) H,設(shè) CE=2x, 則 BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=? x. 過點(diǎn) A作 AM⊥ BC,交 BC于點(diǎn) M, 則 BC=2CM=2AC得△ ACF,連接 EF,∴ CF=△ ADE≌ △ AFE, ∴ DE=EF. ∵∠ ACD=∠ B=30176。cos 30176。, ∴∠ DFE=60176。, 又 ∠ BAD=∠ FAD,∴∠ FAD+∠ CAE=60176。,∠ DAE=60176。.若 BD=2CE,則 DE的長(zhǎng)為 . ? 3答案 3? 3 3解析 如圖 ,將△ ABD沿 AD翻折得△ AFD,連接 EF, ∴ AB=AF=AC,BD=DF,∠ AFD=∠ B=30176。. 8.(2022湖北武漢 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=2? ,∠ BAC=120176。,∴∠ ACB=180176。 解析 由題意知 MN垂直平分 BC,∴ CD=BD, 又 CD=AC,∴ AC=CD=BD,∴∠ DCB=∠ B=25176。②作直線 MN交 AB于點(diǎn) D,連接 CD=AC,∠ B=25176。=60176。, ∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, 121212180 2 BAC???∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA),∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。45176。, ? ∴∠ FCG=75176。,∠ DCG=45176。, ∴ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。當(dāng) CP=2時(shí) ,根據(jù)勾股定理得 AP= ? =? =? ,故 AP的長(zhǎng)為 ? 或 ? . 2231?10AC CP?32?135.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。. ∵ G是 EF的中點(diǎn) ,∴ EG=? . 1 3 32∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 22DE EG?22 32 2??? ????192思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長(zhǎng) . 疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長(zhǎng) ,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系 ,所以應(yīng)根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運(yùn)用勾股 定理求出 DG的長(zhǎng) . 4.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。30176。,EF=? . ∴∠ DEG=180176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。 ∠ DAC=55176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點(diǎn) ,∴∠ CAD=∠ BAD=35176。 176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。tan 30176。. ∵ AC=AD=2, ∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 12 12 22BM MN?2考點(diǎn)一 等腰三角形 C組 教師專用題組 1.(2022福建龍巖 ,8,4分 )如圖 ,在邊長(zhǎng)為 ? 的等邊三角形 ABC中 ,過點(diǎn) C垂直于 BC的直線交 ∠ ABC的平分線于點(diǎn) P,則點(diǎn) P到邊 AB所在直線的距離為 ? ( ) ? A.? B.? C.? 333 323答案 D 由題意可得 ,∠ PBC=30176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點(diǎn) ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。與點(diǎn) A重合 , ? 此時(shí) BM=B39。MC=90176。C=x, 在 Rt△ MB39。. 設(shè) BM=x,則 B39。時(shí) ,∠ B39。. (1)當(dāng) ∠ MB39。C為直角三角 形 ,則 BM的長(zhǎng)為 . ? 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,BC=? +1,點(diǎn) M,N分別是邊 BC,AB上 的動(dòng)點(diǎn) ,沿 MN所在的直線折疊 ∠ B,使點(diǎn) B的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B39。,∠ B+∠ 6=90176。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點(diǎn) E,交 CB于點(diǎn) AC=3,AB=5,則 CE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 43 53 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點(diǎn) G, ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。C是直角三角形 ,∴ B39。=90176。=3? ,在△ AB39。C39。C的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? ? D.? 3 221答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。=90176。 ∠ ACB=∠ AC39。與 點(diǎn) A重合 ,點(diǎn) C39。C39。.故選 D. 2.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。35176。, AD=AE,∴∠ AED=∠ ADE=45176。,∴∠ C=35176。 答案 D ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵∠ B=180176。 176。,則 ∠ EDC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,△ ADE的頂點(diǎn) D,E分別在 BC,AC上 ,且 ∠ DAE=90176。. ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=36176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176?；?27176。2=27176。126176。=126176。 ? ②若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。)247。, 此時(shí) ,底角 =(180176。36176。或 27176。(2)分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓 心 ,以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓 ,除頂點(diǎn)外 ,共有 8個(gè)交點(diǎn) ,這 8個(gè)點(diǎn)也是腰點(diǎn) .綜上 ,正方形共有 9 個(gè)腰點(diǎn) . ? 6.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。,∴ 頂角為 80176。50176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。,∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC.∵∠ ADB是△ ADC的外角 , ∴∠ C=? ∠ ADB=35176。 176。 176。26=6 048,點(diǎn) B2 016的縱坐標(biāo)為 2. ∴ 點(diǎn) B2 016的坐標(biāo)為 (6 048,2). 3 22AO BO?52思路分析 首先根據(jù)已知求出三角形三邊的長(zhǎng)度 ,然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn) ,B、 B B … 的縱坐標(biāo) 相等 ,即可得每個(gè)相鄰的偶數(shù)之間的橫坐標(biāo)相差 6個(gè)單位長(zhǎng)度 ,根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以求得 B2 016的坐 標(biāo) . 考點(diǎn)一 等腰三角形 B組 20222022年 全國(guó) 中考題組 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點(diǎn) P在線段 AB外 ,且 PA = :點(diǎn) P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結(jié)論時(shí) ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C P作 PC⊥ AB于點(diǎn) C且 AC=BC AB中點(diǎn) C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C,還是取 AB中點(diǎn) C,連接 PC或過點(diǎn) P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論 ,選項(xiàng) A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD,CE是△ ABC的兩條中線 ,P是 AD上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn) ,則下列線段的長(zhǎng)等于 BP+EP最小值的是 ? ( ) ? 答案 B 如圖 ,連接 PC,∵ AB=AC,BD=CD,∴ AD⊥ BC, ∴ PB=PC, ∴ PB+PE=PC+PE,∵ PE+PC≥ CE, ∴ 當(dāng) P、 C、 E三點(diǎn)共線時(shí) ,PB+PE的值最小 ,最小值為 CE,故選 B. ? 思路分析 先證 PB=PC,從而可得當(dāng) P、 C、 E三點(diǎn)共線時(shí) ,PB+PE的值最小 ,最小值為 CE. 3.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AD=DC,∠ B=70176。. ? (1)用尺規(guī)在邊 BC上求作一點(diǎn) P,使 PA =PB(不寫作法 ,保留作圖痕跡 )。,∠ ACD=30176。, ∴∠ A=60176。.若 AC=a,求 CI的長(zhǎng) . ? 解析 ∵ Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。,再用同樣的方法作 Rt△ FGC, ∠ FCG=90176。,CD⊥ AB交 AB于 CD為較短的 直角邊向△ CDB的同側(cè)作 Rt△ DEC,滿足 ∠ E=30176。? =2, DE=ADsin A=2? =1, a=? +1