【正文】 D的長是方程 x2+2axb2=0的一個(gè)根 . ② ∵ AD=AE,AD=EC, ∴ AE=EC=? , 由勾股定理得 a2+b2=? ,整理得 ? =? . 22AC BC? 22ab?22ab?222 4 42a a b? ? ? 22ab?2b212 ba???????ab 34思路分析 (1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 ∠ B,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 ∠ BCD,根據(jù) ∠ ACD為 ∠ BCD的余角計(jì)算即可 。∠ BCD=31176。, 由題意知 BD=BC, ∴∠ BCD=∠ BDC=59176。,∠ A=28176。 (2)設(shè) BC=a,AC=b. ① 線段 AD的長是方程 x2+2axb2=0的一個(gè)根嗎 ?說明理由 。以點(diǎn) A為圓心 ,AD長為半徑畫弧 ,交線段 AC于點(diǎn) E,連接 CD. (1)若 ∠ A=28176。M=? BC=? . 綜上所述 ,BM的長為 1或 ? . 22 212 212?212?答案 ? 或 1 212?7.(2022遼寧遼陽 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BD⊥ AC于 D,點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,AD=6,DE=5,則線段 BD的長等于 . ? 答案 8 解析 ∵ BD⊥ AC于 D,點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,DE=5,∴ AB=2DE=25=10,∴ 在 Rt△ ABD中 ,BD= ? =? =8. 22AB AD? 2210 6?8.(2022浙江杭州 ,21,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。時(shí) ,點(diǎn) B39。C中 ,由勾股定理得 MC=? x, ∴ ? x+x=? +1,解得 x=1,∴ BM=1. (2)如圖 ,當(dāng) ∠ B39。M=B39。MC=∠ C=45176。C=90176。,AB=AC,∴∠ B=∠ C=45176。? 落在邊 AC上 .若△ MB39。,點(diǎn) D到 AB的距離等于 DC,在 Rt△ BDC中 ,DC=tan∠ DBCBC=? 3=? , ∴ 點(diǎn) D到 AB的距離等于 ? . 1233336.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=6, ∴∠ ABC=60176。,BD是 ∠ ABC的平分線 .若 AB=6,則 點(diǎn) D到 AB的距離是 . ? 答案 ? 3解析 ∵∠ C=90176。. ∵ G是 EF的中點(diǎn) ,∴ EG=? . 12332∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 22DE EG? 22 32 2??? ????192疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長 ,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系 ,所以應(yīng)根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運(yùn)用勾股 定理求出 DG的長 . 思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長 . 5.(2022山東聊城 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。30176。,EF=? . ∴∠ DEG=180176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。F90176。FE為 90176。在直線 DE上方時(shí) ,∠ A39。在 DE的下方時(shí) ,△ A39。EF為直角三角形時(shí) ,AB的長為 4或 4? . 圖 1 33 ? 圖 2 圖 3 思路分析 由題意知 ,點(diǎn) B為邊 AN上的動(dòng)點(diǎn) ,A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) A39。B,不可能為 90176。在直線 DE上方時(shí) ,∠ EA39。=4? 。,∴ 在 Rt△ ACB中 ,AB=ACCE為等邊三角 形 ,∴∠ ACB=∠ A39。E.∵ A39。CE,∴ A39。E∥ AC,所以 ∠ A39。 EF=90176。② 當(dāng)點(diǎn) A39。B∥ ABA39。時(shí) ,∵ DE∥ AB,∴∠ EDA=90176。在直線 DE上方時(shí) ,如圖 ∠ A39。EF為鈍角三角 形 ,不符合 。F∠ CA39。F=90176。EF為直角三角形時(shí) ,AB的長為 . ? 答案 4或 4? 3解析 (1)當(dāng)點(diǎn) A39。B所在直線 于點(diǎn) F,連接 A39。,點(diǎn) C在邊 AM上 ,AC=4,點(diǎn) B為邊 AN上一動(dòng)點(diǎn) ,連接 BC,△ A39。,又 ∵∠ B=∠ DEC=90176。, ∵ DE是 AC的中垂線 ,∴ AD=CD,∠ ECD=∠ A=30176。,∠ B=90176。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF.∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? ,∴ CE=CF=? .選 A. 32 322.(2022湖南張家界 ,7,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=60176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。β,∴∠ FRM=∠ ABC,∴ RM∥ BC, ∴∠ CBD=∠ RMB, ∵∠ CAD=∠ CBD=β,∴∠ RMB=∠ CAD.? (9分 ) 又 ∠ RBM=∠ ACD,∴ △ RMB∽ △ DAC, ∴ ? =? =? =? ,∴ FBFM=BR=? CD. ∴ 2MH=FM+? CD.? (10分 ) BRCDBMCA BMAB 34 3434評(píng)析 本題是一道綜合題 ,主要考查了等腰三角形的判定 ,三角形全等的判定及三角形相似的 判定等知識(shí) ,所探究的線段之間的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜 ,綜合性較強(qiáng) ,屬難題 . 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,? (8分 ) ∵ H為 BF中點(diǎn) ,∴ BF=2MH, 在 FB上截取 FR=FM,連接 RM, ? 圖 2 ∴∠ FRM=∠ FMR=90176。β,∵ GN=GD, ∴∠ GND=∠ GDN=90176。∠ BAC∠ ACB=90176。α=90176。, ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 121210.(2022黑龍江哈爾濱 ,28,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC、 BD相交于點(diǎn) E,且 AC⊥ BD,∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ BAD=3∠ CBD. (1)求證 :△ ABC為等腰三角形 。. ∴∠ FGC=30176。, 點(diǎn) G為 AB的中點(diǎn) ,∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。∠ DAG=90176。. 1212∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。. ∴∠ DAE=60176。,∠ DAH=30176。, ∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。, ∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。,∠ BAC=60176。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是否是等邊三角形 ?若是 ,請(qǐng)證明 。.點(diǎn) E是 ∠ BAC的平分線上一 點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AE的垂線 ,過點(diǎn) A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) D,連接 DB,點(diǎn) F是 BD的中點(diǎn) .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? ,求 AB,BD的長 。MC,∴ CM=? . 在 Rt△ AMC中 ,AM=? =? .∴ t=AD=2AM=? . 綜上所述 ,當(dāng) t=5或 6或 ? 時(shí) ,△ DMN為等腰三角形 .(13分 ) 12 12 24522AC CM?185 3653659.(2022重慶 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∴∠ B=∠ BCD,∴ BD=CD=AD, 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =10, ∴ t=AD=? AB=5.? (11分 ) iii)當(dāng) DN=MN=3時(shí) ,AC=DC,連接 MC,則 CM⊥ AB. 12 12 1222AC BC?12? ∵ S△ ACB=? BC,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。,∴ S?AFGE=AE (2)求點(diǎn) D由點(diǎn) A向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng)的過程中 ,線段 MN所掃過區(qū)域的面積 。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點(diǎn) O,點(diǎn) M,N分別為線段 BO和 CO的中點(diǎn) .當(dāng)△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離 與底邊長相等時(shí) ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB, ∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE, ∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離與底邊長相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 128.(2022福建龍巖 ,24,13分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∴ BF=? =? ? =3? . cosGFGFB? 92 233 3思路分析 遷移應(yīng)用 :① 根據(jù) SAS證全等 .② 由問題背景可知 ,DE=? AD,由①可得 ,EC=BD,∴ DC=DE+EC=? AD+BD. 拓展延伸 :① 要證明△ CEF為等邊三角形 ,根據(jù)對(duì)稱性可知 ,FE=FC,∠ EFB=∠ CFB,那么我們只 需證明 ∠ EFB=30176。,即 ∠ EFC=60176。=60176。, ∴∠ DAE∠ BAE=∠ BAC∠ BAE,即 ∠ DAB=∠ EAC. ∴ △ ADB≌ △ AEC(SAS). ② DC=? AD+BD. 詳解 :由問題背景可知 ,在△ ADE中 ,有 DE=? AD, 由①可知 ,BD=EC, ∴ DC=DE+EC=? AD+BD. 拓展延伸 ①證明 :如圖所示 ,連接 BE. 333? ∵ C,E關(guān)于 BM對(duì)稱 , ∴ BE=BC,FE=FC,∠ EBF=∠ CBF,∠ EFB=∠ CFB, ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,且 ∠ ABC=120176。,在 ∠ ABC內(nèi)作射線 BM,作點(diǎn) C關(guān)于 BM的對(duì)稱 點(diǎn) E,連接 AE并延長交 BM于點(diǎn) F,連接 CE,CF. ? 圖 3 ① 證明 :△ CEF是等邊三角形 。 ② 請(qǐng)直接寫出線段 AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式 。 ? 圖 1 遷移應(yīng)用 :如圖 2,△ ABC和△ ADE都是等腰三角形 ,∠ BAC=∠ DAE=120176。,作 AD⊥ BC于點(diǎn) D,則 D為 BC的中點(diǎn) ,∠ BAD=? ∠ BAC=60176。,sin∠ COH=sin∠ BAC=? =? . 12 1212CHCO 35∵ CH=3,∴ sin∠ COH=? =? ,∴ CO=AO=5, ∴ OH=? =? =4, ∴ AH=AO+OH=5+4=9,tan∠ COH=tan∠ DOK=? . 在 Rt△ ACH中 ,∠ AHC=90176。. 5.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AB=AC,CO的延長線交 AB于點(diǎn) D. (1)求證 :AO平分 ∠ BAC。是旋轉(zhuǎn)角 ,∴∠ α=∠ BCB39。=60176。=60176。, ∴∠ ACB=∠ A39。 解析 ∵ △ CBA是等邊三角形 ,△ CBA旋轉(zhuǎn)到△ CB39。,使得 B,C,A39。 ⑥ 如圖 6,作 BC的垂直平分線交 AB于 I,則△ BCI就是等腰三角形 .故選 D. ? 3.(2022湖南邵陽 ,8,3分 )如圖所示 ,點(diǎn) D是△ ABC的邊 AC上一點(diǎn) (不含端點(diǎn) ),AD=BD,則下列結(jié)論 正確的是 ? ( ) ? BC =BC C.∠ A∠ ABC D.∠ A=∠ ABC 答案 A ∵ AD=BD,∴∠ A=∠ ABD, ∵∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC,