【正文】 . 答案 80176。50176。,∴ 頂角為 80176。,則該等腰三角 形的底角的度數(shù)為 . 解析 如圖 ,在△ ABC中 ,設(shè) AB=AC,BD⊥ AC于 D. ① 若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176。=54176。54176。2=63176。+90176。, 此時(shí) ,底角 =(180176。)247。. ? 綜上 ,該等腰三角形底角的度數(shù)是 63176。. 答案 63176。 評析 本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理 ,屬容易題 . 4.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。,∴∠ ABC=∠ C=72176。,∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。. ∴∠ CBE=90176?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD.∴∠ CBE=∠ BAD. 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022遼寧大連 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,點(diǎn) E是 AB的中點(diǎn) ,∴ AB =2CE=2? a,故選 B. 222.(2022湖北荊州 ,8,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ 3∠ CAD=90176。. ∵ AD平分 ∠ CAB,DE⊥ AB,CD⊥ AC,∴ CD=DE=? BD. ∵ BC=3,∴ CD=DE=1. 123.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點(diǎn) M與點(diǎn) C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點(diǎn)間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 124.(2022福建 ,13,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∠ A=60176。.E為 AB的中點(diǎn) ,過點(diǎn) E作 EF⊥ CD于點(diǎn) AD=4 cm,則 EF的長為 cm. ? 解析 如圖 ,連接 DE,過點(diǎn) E作 EM⊥ BD于點(diǎn) M,設(shè) EF交 BD于點(diǎn) N,∵ AD=4 cm,∠ A=60176。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM=2? cm,MN=EM=2 cm,∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN=2 ? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6答案 (? +? ) 2 6一題多解 過點(diǎn) A作 AG⊥ CD的延長線于點(diǎn) G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。,∴∠ ADG=4 5176。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) D,則△ BCD就是等腰三角形 。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點(diǎn) F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角 形 。 ⑤ 如圖 5,作 AB的垂直平分線交 AC于點(diǎn) G,則△ AGB就是等腰三角形 。A39。三點(diǎn)在同 一直線上 ,如圖所示 ,則 ∠ α的大小是 . ? 答案 120176。A39。CB39。,∴∠ ACB39。. 由題意可知 ,∠ BCB39。=120176。 (2)若 BC=6,sin∠ BAC=? ,求 AC和 CD的長 . ? 35解析 (1)證明 :連接 BO. ∵ AB=AC,OB=OC, ∴ A、 O在線段 BC的中垂線上 ,∴ AO⊥ BC. 又 ∵ AB=AC,∴ AO平分 ∠ BAC. (2)如圖 ,延長 AO交 BC于點(diǎn) H,過點(diǎn) D作 DK⊥ AO,交 AO于點(diǎn) K. ? 由 (1)知 AO⊥ BC,∵ OB=OC,BC=6, ∴ BH=CH=? BC=3,∠ COH=? ∠ BOC, ∵∠ BAC=? ∠ BOC,∴∠ COH=∠ BAC. 在 Rt△ COH中 ,∠ OHC=90176。,AH=9,CH=3, ∴ tan∠ CAH=? =? =? ,AC=? =? =3? , 由 (1)知 ∠ CAH=∠ BAH,∴ tan∠ BAH=tan∠ CAH=? . 設(shè) DK=3a(a0),在 Rt△ ADK中 ,tan∠ DAK=? , 在 Rt△ DOK中 ,tan∠ DOK=? , ∴ OK=4a,DO=5a,AK=9a, ∴ AO=OK+AK=13a=5, ∴ a=? ,∴ DO=5a=? , ∴ CD=OC+DO=5+? =? . 3CO 3522OC CH? 2253?34CHAH 39 1322AH CH? 2293? 10131334513 251325139013一題多解 (1)證明 :連接 OB. ∵ AO=AO,BO=CO,AB=AC, ∴ △ AOB≌ △ AOC,∴∠ BAO=∠ CAO. 即 AO平分 ∠ BAC. (2)過點(diǎn) C作 CE⊥ AB,交 AB于點(diǎn) E, ∵ sin∠ BAC=? =? ,∴ 可設(shè) AC=5m(m0),則 EC=3m, ∴ AE=4m,BE=m. 在 Rt△ CBE中 ,BE2+EC2=BC2,即 m2+(3m)2=36, 解得 m=? (舍負(fù) ),∴ AC=3? . 延長 AO交 BC于點(diǎn) H,則 AH⊥ BC,且 BH=CH=3, 過點(diǎn) O作 OF⊥ AH,交 AB于點(diǎn) F, ECAC 353 1 05 10? ∵∠ BOC=2∠ BAC,∠ BOC=2∠ HOC,∴∠ BAC=∠ HOC, ∴ sin∠ HOC=sin∠ BAC=? ,又 HC=3, ∴ OC=5,OH=4,∴ AH=OA+OH=9, ∴ tan∠ BAH=? =? =? ,∴ OF=? OA=? . ∵ OF∥ BC,∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 DC=? . 35OFOABHAH 13 13 53OFBC DODC 5365DCDC? 90136.(2022四川成都 ,27,10分 )問題背景 :如圖 1,等腰△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=120176。,于是 ? =? =? 。,D,E,C三點(diǎn)在同一條直 線上 ,連接 BD. ? 12 BCAB 2 BDAB3圖 2 ① 求證 :△ ADB≌ △ AEC。 拓展延伸 :如圖 3,在菱形 ABCD中 ,∠ ABC=120176。 ② 若 AE=5,CE=2,求 BF的長 . 解析 遷移應(yīng)用 ①證明 :∵ △ ABC和△ ADE都是等腰三角形 , ∴ AD=AE,AB=AC, 又 ∵∠ DAE=∠ BAC=120176。, ∴ AB=BC=BE. 過 B作 BG⊥ AE,則 AG=GE,∠ ABG=∠ GBE, ∴∠ GBF=∠ GBE+∠ EBF=? ∠ ABC=? 120176。. ∴∠ CFB=∠ EFB=30176。. ∴ △ CEF為等邊三角形 . ② ∵ AE=5,∴ GE=GA=? ,∵ EF=CE=2,∴ GF=GE+EF=? , 12 1252 92在 Rt△ GBF中 ,∵∠ GFB=30176。即可 .② 在①的基礎(chǔ)上 ,易得 GE=? AE=? ,EF=2,則 GF=GE+EF=? .在 Rt△ GBF中 ,BF=? =3? . 3312 52 92cos 30GF? 37.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。,AC=6,BC=8,點(diǎn) D以每秒 1個(gè)單位長度 的速度由點(diǎn) A向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng) ,到達(dá) B點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng) .M,N分別是 AD,CD的中點(diǎn) ,連接 D運(yùn) 動(dòng)的時(shí)間為 t. (1)判斷 MN與 AC的位置關(guān)系 。 (3)若△ DMN是等腰三角形 ,求 t的值 . ? 解析 (1)在△ ADC中 ,M是 AD的中點(diǎn) ,N是 DC的中點(diǎn) , ∴ MN∥ AC.? (3分 ) (2)如圖 ,分別取△ ABC三邊中點(diǎn) E,F,G,并連接 EG,FG. ? 根據(jù)題意可知線段 MN掃過區(qū)域的面積就是 ?AFGE的面積 . ∵ AC=6,BC=8,∴ AE=3,GC=4, ∵∠ ACB=90176。GC=12, ∴ 線段 MN掃過區(qū)域的面積為 12.? (7分 ) (3)解法一 :依題意可知 ,MD=? AD,DN=? DC,MN=? AC=3. i)當(dāng) MD=MN=3時(shí) ,△ DMN為等腰三角形 ,此時(shí) AD=AC=6,∴ t=6.? (9分 ) ii)當(dāng) MD=DN時(shí) ,AD=DC, 12 12 12過 D作 DH⊥ AC交 AC于 H, ? 則 AH=? AC=3, ∵ cos A=? =? , ∴ AD=t=5.? (11分 ) iii)當(dāng) DN=MN=3時(shí) ,AC= MC,則 CM⊥ AD. ∵ cos A=? =? ,即 ? =? , ∴ AM=? ,∴ AD=t=2AM=? . 綜上所述 ,當(dāng) t=5或 6或 ? 時(shí) ,△ DMN為等腰三角形 .? (13分 ) 12AHAD ACABAMAC ACAB 6AM 610185 365365? 解法二 :依題意可知 ,MD=? AD,DN=? DC,MN=? AC=3. i)當(dāng) MD=MN=3時(shí) ,△ DMN為等腰三角形 ,此時(shí) AD=AC=6, ∴ t=6.? (9分 ) ii)當(dāng) MD=DN時(shí) ,AD=DC,∴∠ DAC=∠ ACD, ∵∠ ACB=90176。,∠ B+∠ BAC=90176。AC=? AB,∠ BAC=60176。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。若不是 ,請說明理由 . ? 圖 1 3 ? 圖 2 解析 (1)∵ 點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。, ∴∠ ABC=30176。. ∴∠ DAH=30176。, ∴ BD2=AD2+AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 . 31233222 (4 3)? 13? ∵ F是 BD的中點(diǎn) ,∠ DAB=90176。. ∵∠ DHA=90176。, ∴ DH=? AD. ∵ AE平分 ∠ BAC,∴∠ CAE=? ∠ BAC=30176。,∴∠ ADE=30176。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD. ∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點(diǎn) G,連接 FG, . ? 12∵ F是 BD的中點(diǎn) ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。 (2)M是線段 BD上一點(diǎn) ,BM∶ AB=3∶ 4,點(diǎn) F在 BA的延長線上 ,連接 FM,∠ BFM的平分線 FN交 BD 于點(diǎn) N,交 AD于點(diǎn) G,點(diǎn) H為 BF中點(diǎn) ,連接 MH,當(dāng) GN=GD時(shí) ,探究線段 CD、 FM、 MH之間的數(shù)量 關(guān)系 ,并證明你的結(jié)論 . ? 解析 (1)證明 :如圖 1,作 ∠ BAP=∠ DAE,AP交 BD于 P, 圖 1 設(shè) ∠ CBD=α,∠ CAD=β, ∵∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ APE=∠ BAP+∠ ABD, ∴∠ APE=∠ ADB,∴ AP=AD,?(1 分 ) ∵ AC⊥ BD,∴∠ PAE=∠ DAE=β,?(2 分 ) ∴∠ PAD=2β,∠ BAD=3β, ∵∠ BAD=3∠ CBD, ∴ 3β=3α,∴ β=α,? (3分 ) ∵ AC⊥ BD,∴∠ ACB=90176。β, ∵∠ ABC=180176。β, ∴∠ ACB=∠ ABC,? (4分 ) ∴ AB=AC,