【正文】 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=36176。,點(diǎn) P在邊 OA上 ,OP=12,點(diǎn) M、 N在邊 OB上 ,PM= PN,若 MN=2,則 OM=? ( ) 答案 C 如圖 ,過點(diǎn) P作 PH⊥ MN,垂足為 H,因?yàn)?PM=PN,MN=2,所以 MH=? MN=1,在 Rt△ POH 中 ,OP=12,∠ POH=60176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。. ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=36176。,∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 10.(2022河南 ,22,10分 ) (1)發(fā)現(xiàn) 如圖 1,點(diǎn) A為線段 BC外一動(dòng)點(diǎn) ,且 BC=a,AB=b. 填空 :當(dāng)點(diǎn) A位于 時(shí) ,線段 AC的長(zhǎng)取得最大值 ,且最大值為 (用含 a,b的式子 表示 ). ? 圖 1 (2)應(yīng)用 點(diǎn) A為線段 BC外一動(dòng)點(diǎn) ,且 BC=3,AB= 2所示 ,分別以 AB,AC為邊 ,作等邊三角形 ABD和等 邊三角形 ACE,連接 CD,BE. ① 請(qǐng)找出圖中與 BE相等的線段 ,并說明理由 。.請(qǐng)直接寫出線段 AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 解析 (1)CB延長(zhǎng)線上 。. ∴∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC,即 ∠ CAD=∠ EAB.? (5分 ) ∴ △ CAD≌ △ EAB.∴ DC=BE.? (6分 ) ② BE長(zhǎng)的最大值是 4.? (8分 ) (3)AM的最大值為 3+2? ,點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (2? ,? ).? (10分 ) 提示 :如圖 a,構(gòu)造△ BNP≌ △ MAP,則 NB= (1)知 ,當(dāng)點(diǎn) N在 BA的延長(zhǎng)線上時(shí) ,NB有最大值 (如 圖 b).易得 AN=2? ,∴ AM=NB=3+2? .過點(diǎn) P作 PE⊥ x軸于 E,PE=AE=? ,∴ P(2? ,? ). 2 2 22 2 2 2 2解題關(guān)鍵 本題屬類比探究題 ,主要考查三角形的全等 ,等邊三角形的性質(zhì) . 考點(diǎn)三 尺規(guī)作圖 1.(2022廣東深圳 ,8,3分 )如圖 ,已知線段 AB,分別以 A,B為圓心 ,大于 ? AB為半徑作弧 ,連接弧的交 點(diǎn)得到直線 l,在直線 l上取一點(diǎn) C,使得 ∠ CAB=25176。 176。 176。,∴∠ BCM=50176。② 分別以 C,D 為圓心 ,大于 ? CD長(zhǎng)為半徑作弧 ,兩弧在 ∠ NAB內(nèi)交于點(diǎn) E。,則線段 AF的長(zhǎng)為 . ? 12答案 2? 3解析 過點(diǎn) B作 BG⊥ AF交 AF于點(diǎn) G, ? 由尺規(guī)作圖可知 ,AF平分 ∠ NAB,∴∠ NAF=∠ BAF. ∵ MN∥ PQ,∴∠ NAF=∠ BFA,∴∠ BAF=∠ BFA,∴ BA=BF=2.∵ BG⊥ AF,∴ AG=FG,∵∠ ABP=6 0176。.在 Rt△ BFG中 ,FG=BFcos∠ BFG=2? =? , ∴ AF=2FG=2? . 32333.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :① 以 A為圓心 ,任意長(zhǎng)為 半徑作弧 ,分別交 AB,AD于點(diǎn) M,N。③ 作射線 AP,交邊 CD于點(diǎn) Q,若 DQ=2QC,BC=3,則平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為 . ? 12答案 15 解析 由作圖知 AQ平分 ∠ DAB,在 ?ABCD中 ,AB∥ CD,所以 ∠ DAQ=∠ BAQ=∠ DQA,所以 DQ =DA=BC= DQ=2QC,所以 DC= ABCD的周長(zhǎng)為 2(+3)=15. 4.(2022江西 ,15,6分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ CD,AB=2CD,E為 AB的中點(diǎn) .請(qǐng)僅用 ? 分別按下列要求畫圖 (保留畫圖痕跡 ). (1)在圖 1中 ,畫出△ ABD的 BD邊上的中線 。 (2)連接 EC,ED,連接點(diǎn) A與 EC和 BD的交點(diǎn) ,利用三角形重心的性質(zhì)及等腰三角形三線合一的知 識(shí)畫出△ ABD的 AD邊上的高 . 解題關(guān)鍵 本題考查復(fù)雜作圖 ,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和三角形的重心及 等腰三角形三線合一等性質(zhì)解決問題 . 5.(2022山東青島 ,15,4分 )已知 :四邊形 ABCD. 求作 :點(diǎn) P,使 ∠ PCB=∠ B,且點(diǎn) P到邊 AD和 CD的距離相等 . ? 解析 如圖 ,點(diǎn) P1或點(diǎn) P2即所求作的點(diǎn) .(兩種情況只要考慮到一種均得滿分 ) ? 6.(2022廣東 ,19,6分 )如圖 ,已知△ ABC中 ,D為 AB的中點(diǎn) . (1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊 AC的中點(diǎn) E,并連接 DE(保留作圖痕跡 ,不要求寫作法 )。 (2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足 abc的三角形 (用給定的單位長(zhǎng)度 ,不寫作法 ,保留作圖痕跡 ). 解析 (1)共九種 :(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4). (2)只有 a=2,b=3,c=4的一個(gè)三角形 .如圖的△ ABC即為滿足條件的三角形 . ? C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 三角形的有關(guān)概念 1.(2022福建 ,3,4分 )下列各組數(shù)中 ,能作為一個(gè)三角形三邊邊長(zhǎng)的是 ? ( ) ,1,2 ,2,4 ,3,4 ,3,5 答案 C 三角形的三邊邊長(zhǎng)要滿足“任意兩邊之和大于第三邊 ,任意兩邊之差小于第三 邊” ,選項(xiàng) A、 B、 D均不符合 ,故選 C. 2.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,4,3分 )一副直角三角板如圖放置 ,點(diǎn) C在 FD的延長(zhǎng)線上 ,AB∥ CF,∠ F= ∠ ACB=90176。 176。 176。, ∴∠ CBD=∠ ABD∠ ABC=45176。=15176。,∠ AED =54176。 176。 176。,∠ AED=54176。62176。=64176。.故選 C. 5.(2022江蘇南京 ,4,2分 )下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是 ? ( ) ,4,4 ,4,5 ,4,6 ,4,7 答案 C 由三角形的三邊關(guān)系知 A,B,C能構(gòu)成三角形 ,D不能構(gòu)成三角形 . 設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,且 abc,若 a2+b2=c2,則三角形為直角三角形 。若 a2+b2c2,則三角形為鈍角三角形 .∵ 32+4262,∴ 長(zhǎng)為 3,4,6的三條線段可 組成鈍角三角形 ,故選 C. 6.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,10,3分 )過△ ABC的頂點(diǎn) A,作 BC邊上的高 ,以下作法正確的是 ? ( ) ? 答案 A 根據(jù)三角形高線的定義知△ ABC中 BC邊上的高是以點(diǎn) A為端點(diǎn) ,且垂直于 BC的垂 線段 .故選 A. 7.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=60176。,∴∠ ACF=120176。,作 CH⊥ AF,則 AH=? AC, 所以 AF=? AC=? ,∴ DE=? AF=? . ? 323 312 32思路分析 延長(zhǎng) BC至點(diǎn) F,使 CF=AC,利用已知條件證明 DE為△ ABF的中位線 ,由已知條件求 得 AF的長(zhǎng) ,從而求得 DE的長(zhǎng) . 解題技巧 對(duì)于求線段長(zhǎng)度的問題 ,若條件涉及三角形邊的中點(diǎn) ,可以考慮運(yùn)用中位線性質(zhì)來 解答 . 8.(2022黑龍江大慶 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=40176。 解析 ∵ D點(diǎn)是 ∠ ABC和 ∠ ACB角平分線的交點(diǎn) , ∴∠ CBD=∠ ABD=? ∠ ABC,∠ BCD=∠ ACD=? ∠ ACB, ∵∠ A=40176。40176。, ∴∠ CBD+∠ BCD=70176。70176。. 12 129.(2022江蘇揚(yáng)州 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC的中位線 DE=5 cm,把△ ABC沿 DE折疊 ,使點(diǎn) A落在邊 BC 上的點(diǎn) F處 ,若 A、 F兩點(diǎn)間的距離是 8 cm,則△ ABC的面積為 cm2. ? 答案 40 解析 連接 AF,因?yàn)?DE是中位線 ,且 DE=5 cm,所以 DE∥ BC,且 BC=2DE=10 cm,因?yàn)?A、 F關(guān)于 DE對(duì)稱 ,所以 AF⊥ DE,所以 AF⊥ BC,所以△ ABC的面積為 ? 108=40 cm2. ? 12考點(diǎn)二 等腰三角形 1.(2022湖北黃岡 ,4,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,直線 DE是 AC的垂直平分線 ,且分別交 BC,AC于點(diǎn) D和 E,∠ B=60176。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 B 因?yàn)橹本€ DE是 AC的垂直平分線 ,所以 AD=DC,所以 ∠ DAC=∠ C=25176。(25176。)=130176。60176。,故選 B. 2.(2022福建 ,5,4分 )如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為 D,點(diǎn) E在線段 AD上 ,∠ EBC=45176。 176。 176。,且點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對(duì)等角 ,得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。45176。. 3.(2022吉林 ,5,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,以點(diǎn) B為圓心 ,以 BA長(zhǎng)為半徑畫弧交邊 BC于點(diǎn) D,連接 AD. 若 ∠ B=40176。,則 ∠ DAC的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 答案 C 由作圖知 BA=BD,∴∠ BAD=∠ BDA=70176。,故選 C. 4.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 ② 如圖 2,以 A為圓心 ,AC長(zhǎng)為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) E,則△ ACE就是等腰三角形 。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點(diǎn) H,則△ ACH就是等腰三角形 。 ⑥ 如圖 6,作 BC的垂直平分線交 AB于 I,則△ BCI就是等腰三角形 .故選 D. ? 5.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標(biāo)系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn) C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點(diǎn) C的個(gè)數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當(dāng) AB=AC時(shí) ,以點(diǎn) A為圓心 ,AB長(zhǎng)為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) (點(diǎn) B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點(diǎn) C0與 A、 B兩點(diǎn)共線 ,不符合題意 。③ 當(dāng) AC=BC時(shí) ,作 AB的垂直平分線 ,與坐標(biāo)軸有 兩個(gè)交點(diǎn) ,均符合題意 .所以滿足條件的點(diǎn) C有 5個(gè) ,故選 A. ? 6.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AD=DC,∠ B=70176。 176。 176。, ∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC. ∵∠ ADB是△ ADC的外角 ,∴∠ C=? ∠ ADB=35176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。50176。,∴ 頂角為 80176。 解析 設(shè) ∠ DCE=x,∠ ACD=y,則 ∠ ACE=x+y.∵ AE=AC,∴∠ DEC=∠ ACE=x+y,∵ BD=BC,∴∠ CDE=∠ DCB=90176。, ∴ x+(90176。,解得 x=45176。. 9.(2022浙江紹興 ,23,12分 )已知△ ABC,AB=AC,D為直線 BC上一點(diǎn) ,E為直線 AC上一點(diǎn) ,AD=AE, 設(shè) ∠ BAD=α,∠ CDE=β. (1)如圖 ,若點(diǎn) D在線段 BC上 ,點(diǎn) E在線段 AC上 . ? ① 如果 ∠ ABC=60176。,那么 α= 176。.② 求 α,β之間的關(guān)系式 . (2)是否存在不同于以上②中的 α,β之間的關(guān)系式 ?若存在 ,請(qǐng)求出這個(gè)關(guān)系式 (求出一個(gè)即可 )。,∠ DAE=40176。, 所以 ∠ BAC=∠ C=∠ ABC=60176。40176。, β=∠ AED∠ C=70176。=10176。得 ,x+y+β=180176。. 注 :求出其它關(guān)系式 ,相應(yīng)給分 ,如點(diǎn) E在 CA的延長(zhǎng)線上 ,點(diǎn) D在 CB的延長(zhǎng)線上 ,可得 α=180176。,D為 AB邊上一點(diǎn) . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2,∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2,∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??11.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側(cè)作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點(diǎn) C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點(diǎn) . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。. ∴∠ PCE=∠ PCO+∠