【正文】 PQ,則 ? =? .? (14分 ) 22 2 ABPQ212.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點 E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC,∴∠ BEC=∠ ADC=90176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 .由于△ ARB∽ △ PEQ,所以 ∠ ARB=90176。.∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。,∠ MON=150176。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。 (2)延長 PC,QD交于點 R. ① 如圖 2,若 ∠ MON=150176。,∴∠ EAD=90176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。2β. 10.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。, 所以 α=2β180176。 ② 設(shè) ∠ ABC=x,∠ ADE=y,則 ∠ ACB=x,∠ AED=y, 由 ∠ AED=∠ CDE+∠ ACB得 ,y=β+x, 由 ∠ BAD+∠ ABC=∠ ADE+∠ CDE得 ,α+x=y+β,所以 α=2β. (2)當(dāng)點 E在 CA延長線上 ,點 D在線段 BC上時 , 設(shè) ∠ ABC=x,∠ ADE=y,則 ∠ ACB=x,∠ AED=y, 由 ∠ ABD+∠ BAD=∠ CDE∠ ADE得 ,x+α=βy, 由 ∠ ACB+∠ AED+∠ CDE=180176。60176。=20176。, 所以 α=∠ BAC∠ DAE=60176。, 又因為 AB=AC,∠ ABC=60176。 若不存在 ,說明理由 . 解析 (1)① 因為 AD=AE, 所以 ∠ AED=∠ ADE=70176。,β= 176。,∠ ADE=70176。,∴∠ DCE=45176。y)+(x+y)=180176。y. 在△ DCE中 ,∠ DCE+∠ CDE+∠ DEC=180176。. 8.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,D,E為斜邊 AB上的兩個點 ,且 BD=BC,AE=AC,則 ∠ DCE 的大小為 . ? 答案 45176。2=80176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。.故選 A. 127.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個底角為 50176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。 176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。② 當(dāng) AB=BC時 ,以點 B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個交點 ,均符合題意 。 ⑤ 如圖 5,作 AB的垂直平分線交 AC于點 G,則△ AGB就是等腰三角形 。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點 F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角形 。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個頂點在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于點 D,則△ BCD就是等腰三角形 。,∵∠ BDA=∠ C+∠ DAC,∴∠ DAC=∠ BDA ∠ C=34176。 176。 176。,∠ C=36176。=15176。,故 ∠ ACE=∠ ACB∠ ECB=60176。 答案 A 由等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點 D,可得 ∠ ACB=60176。 176。,則 ∠ ACE等于 ? ( ) ? 176。=70176。.因為 ∠ ADC=∠ B+∠ BAD,所以 ∠ BAD=∠ ADC∠ B=130176。+25176。,所以 ∠ ADC=1 80176。 176。 176。,∠ C=25176。=110176。, ∴∠ BDC=180176。=140176。,∴∠ ABC+∠ ACB=180176。,D點是 ∠ ABC和 ∠ ACB角平分線的交點 , 則 ∠ BDC= . ? 答案 110176。,又 AC=CF=1,∴∠ FAC=∠ AFC=30176。,AC=1,D是邊 AB的中點 ,E是邊 BC上一 點 .若 DE平分△ ABC的周長 ,則 DE的長是 . ? 答案 ? 32解析 延長 BC至點 F,使 CF=AC,連接 AF,∵ D是 AB的中點 ,∴ AD=DB.∵ DE平分△ ABC的周長 , ∴ AC+CE+AD=DB+BE,∴ AC+CE=BE,∴ BE=CF+CE=EF,∴ DE是△ ABF的中位線 ,∴ DE∥ AF, ∵∠ ACB=60176。若 a2+b2c2,則 三角形為銳角三角形 。, ∵ DE∥ BC,∴∠ B=∠ ADE=64176。54176。,∴∠ ADE=180176。 答案 C ∵∠ A=62176。 176。,則 ∠ B的大小為 ( ) ? 176。, 故選 B. 3.(2022浙江金華 ,3,3分 )下列各組數(shù)中 ,不可能成為一個三角形三邊長的是 ? ( ) ,3,4 ,7,7 ,6,12 ,8,10 答案 C ∵ 5+612,∴ 5,6,12不可能成為一個三角形的三邊長 ,故選 C. 4.(2022吉林長春 ,5,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點 D在 AB上 ,點 E在 AC上 ,DE∥ ∠ A=62176。30176。 答案 B ∵ AB∥ CD, ∴∠ ABD=∠ EDF=45176。 176。,則 ∠ DBC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 (2)在 (1)的條件下 ,若 DE=4,求 BC的長 . ? 解析 (1)如圖 . ? (2分 ) E點 ,DE即為所求 .? (3分 ) (2)∵ DE是△ ABC的中位線 ,且 DE=4, ∴ BC=2DE=24=8.? (6分 ) 解題關(guān)鍵 本題主要考查平面幾何中尺規(guī)作圖的基本方法 (中點的作法 ),以及三角形中位線 的性質(zhì) . 7.(2022浙江杭州 ,21,10分 )“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形 ,記這些三角形的三 邊分別為 a,b,c,并且這些三角形三邊的長度為大于 1且小于 5的整數(shù)個單位長度 . ? (1) 用記號 (a,b,c)(a≤ b≤ c)表示一個滿足條件的三角形 ,如 (2,3,3)表示邊長分別為 2,3,3個單位 長度的一個三角形 ,請列舉出所有滿足條件的三角形 。 (2)在圖 2中 ,若 BA=BD,畫出△ ABD的 AD邊上的高 . ? ??????無 刻 度 的 直 尺解析 畫法如圖 . (1)AF即為所求 . (2)BF即為所求 . 思路分析 (1)連接 EC,通過判斷四邊形 BEDC是平行四邊形得出 EC和 BD的交點 F為線段 BD 的中點 ,進(jìn)而畫出所求 。② 分別以 M,N為圓心 ,以大于 ? MN的長為半徑作弧 ,兩弧相交 于點 P。,∴∠ BAF=∠ BFA=30176。③ 作射線 AE交 PQ于點 AB=2,∠ ABP=60176。,故選 B. 思路分析 先根據(jù)直線 l與線段 AB的關(guān)系 ,得出線段 AC與線段 BC的關(guān)系 ,再根據(jù)三角形的外角 與內(nèi)角的關(guān)系 ,求出 ∠ BCM. 2.(2022山西 ,14,3分 )如圖 ,直線 MN∥ PQ,直線 AB分別與 MN,PQ相交于點 A, 按以下步驟作圖 :① 以點 A為圓心 ,以任意長為半徑作弧交 AN于點 C,交 AB于點 D。 12答案 B ∵ l垂直平分 AB,C在 l上 ,∴ AC=BC, ∴∠ B=∠ CAB=25176。 176。,延長 AC至 M,則 ∠ BCM的度數(shù)為 ( ) ? 176。a+b.? (2分 ) (2)① DC= : ∵ △ ABD和△ ACE為等邊三角形 , ∴ AD=AB,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=60176。 ② 直接寫出線段 BE長的最大值 . ? 圖 2 (3)拓展 如圖 3,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 A的坐標(biāo)為 (2,0),點 B的坐標(biāo)為 (5,0),點 P為線段 AB外一動點 ,且 PA =2,PM=PB,∠ BPM=90176。,∴∠ ABD=∠ A,∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。,∴∠ ABC=∠ C=72176。,所以 OH=6,所以 OM=OHMH=61= C. ? 12解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形 . 7.(2022吉林 ,14,3分 )我們規(guī)定 :等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ,記作 k=? ,則該等腰三角形的頂角為 度 . 12答案 36 解析 設(shè)等腰三角形的頂角為 x度 ,則一個底角的度數(shù)為 2x度 ,由 x+22x=180?x= 3 6度 . 思路分析 設(shè)出頂角度數(shù) ,根據(jù)“特征值”可知底角度數(shù) ,再由三角形內(nèi)角和定理即可求得 . 8.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點 D,交邊 AC 于點 E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE,∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5= 13. 9.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) 答案 D 依題意 ,可知題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個等腰三角形 .故選 D. 5.(2022廣東 ,9,3分 )一個等腰三角形的兩邊長分別為 3和 7,則它的周長為 ? ( ) 17 答案 A ∵ 三角形為等腰三角形 ,且三角形任意兩邊之和大于第三邊 ,∴ 三角形的三邊長分 別為 3,7,7,∴ 周長為 A. 6.(2022江蘇揚州 ,7,3分 )如圖 ,已知 ∠ AOB=60176。, 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 , 得 x+x+3x=180,解得 x=36. 所以 ∠ B=36176。, 因為 BD=BA,所以 ∠ BAD=∠ ADB=2x176。,由 DA=DC可得 ∠ DAC=∠ C=x176。 176。 176。,∴∠ C=24176。 答案 D ∵ AB∥ CD,∴∠ DFE=∠ BAF=48176。 176。,若 CF與 EF的長度相等 ,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。=10176。, ∴∠ EDC=∠ AED∠ C=45176。. ∵∠ DAE=90176。(∠ C+∠ BAC)=35176。 176。 176。,AD= ∠ C+∠ BAC=145176。, ∴∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=360176。 ∠ 1+∠ 2+∠ 3=180176。=360176。(∠ 1+∠ 2+∠ 3). ∵ , ∴∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=540176。3=540176?！? 如圖 ,∠ BAE、 ∠ CBF、 ∠ ACD是△ ABC的三個外角 . 求證 :∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=360176。, 所以 S1=S2,故選 C. ? 12 12 12 126.(2022福建 ,13,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,S2=? EF.故選 C. 12 12解題關(guān)鍵 本題主要考查三角形內(nèi)角和定理 ,角平分線的概念 ,屬容易題 . 5.(2022江蘇連云港 ,6,3分 )如圖 ,若△ ABC和△ DEF的面積分別為 S S2,則 ? ( ) =? S2 =? S2 =S2 =? S2 12 72 85答案 C 如圖 ,過點 A作 AM⊥ BC于點 M, 過點 D作 DN⊥ EF交 FE的延長線于點 N, S1=? BC39176?！?FBC∠ FCB=180176。,∠ FCB=? ∠ ACB=39176。=78176。60176。 答案 C 在△ ABC中 ,∠ ACB=180176。 176。,則 ∠ BFC=? ( ) ? 176。,∴ AC=? =10, ∵ E是 AC的