【正文】 ,AD=BD,∴ OD=? AB=4. 當(dāng) O,D,C共線時 ,OC取最大值 ,此時 OD⊥ AB. ∵ OD⊥ AB,OD=AD=BD=4, ∴ △ AOB為等腰直角三角形 . ∴ OA=t=? AD=4? . (2)當(dāng) AC∥ y軸時 ,有 ∠ BAC=∠ ABO, ∵∠ AOB=∠ ADC=90176。=36176。,故選 A. 二、填空題 (每小題 2分 ,共 10分 ) 6.(2022石家莊裕華一模 ,18)如圖 ,△ ABC的頂點落在兩條平行線上 ,點 D,E,F分別是△ ABC三邊 中點 ,平行線間的距離是 8,BC=6,移動點 A,當(dāng) CD=BD時 ,EF的長度是 . ? 答案 5 解析 如圖 ,連接 DF, ? ∵ D為 AB中點 ,F為 BC中點 ,CD=DB, ∴ DF∥ AC,DF⊥ BC,∴ AC⊥ BC, 由題意得 AC=8,∵ BC=6, ∴ AB=? =10, ∵ E為 AC中點 ,F為 BC中點 , ∴ EF=? AB=5. 2268?127.(2022承德雙灤一模 ,18)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=54176。? AD=? AC,故②正確 。③ 點 D在 AB的中垂線上 。(CD為剪切線 ), ∵∠ BCD=∠ B=20176。,∴ AC=CD。,故選 B. 2.(2022石家莊裕華一模 ,10)如圖 ,DE是線段 AB的中垂線 ,AE∥ BC,∠ AEB=120176。A, ∴∠ 1+∠ 2=∠ DAA39。,則 ∠ 1+∠ 2=( ) ? 176。=130176。 ③ BD,EF交于點 O,則點 O即為所求 . ? ? 圖 1 圖 2 對于兩人的作法 ,下列說法正確的是 ? ( ) ,乙不對 ,乙對 答案 D 甲同學(xué)作了兩邊的垂直平分線 ,則有 OA=OB=OC,所以點 O為△ ABC的外心 ?！?ABC∠ ACB=180176。. 1212 125.(2022邯鄲叢臺期末質(zhì)檢 ,22)如圖 ,已知 BD平分 ∠ ABC,AB=AD,DE⊥ AB,垂足為 E. (1)求證 :AD∥ BC。在邊 A1B上任取一點 D,延長 CA1 到 A2,使 A1A2=A1D,得到第 2個△ A1A2D。2=48176。,則一腰上的高與底邊所成的角的度 數(shù)是 ? ( ) 176。,選項 B不符合題意 。 176。,∠ BCA=30176。, ∴∠ A=120176。 基礎(chǔ)題組 1.(2022秦皇島海港一模 ,2)如圖 ,在△ ABC中 ,D是 BC延長線上一點 ,∠ B=40176。② 作直線 MN交 AB于點 D,連接 CD=AC,∠ B=25176。. ∵∠ BAC=90176。圓的定義 4.(2022北京 ,17,5分 )下面是小東設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過 程 . 已知 :直線 l及直線 l外一點 P. ? 求作 :直線 PQ,使得 PQ∥ l. 作法 :如圖 , ? ① 在直線 l上取一點 A,作射線 PA ,以點 A為圓心 ,AP長為半徑畫弧 ,交 PA的延長線于點 B。∠ C. ∴∠ CBE=∠ CAD.∴∠ CBE=∠ BAD. 考點三 尺規(guī)作圖 1.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,ABAC,∠ CAD為△ ABC的外角 ,觀察圖中尺規(guī)作圖的 痕跡 ,則下列結(jié)論 ? 的是 ? ( ) ? A.∠ DAE=∠ B B.∠ EAC=∠ C ∥ BC D.∠ DAE=∠ EAC ??錯 誤答案 D 根據(jù)作圖痕跡可知 ,題圖是用尺規(guī)作一個角等于已知角 ,即 ∠ DAE=∠ B,進(jìn)而得到 AE∥ BC,從而有 ∠ EAC=∠ C,故選項 A、 B、 C均正確 。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) ② 如圖 ,由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. ? 又 ∵ AO∥ ED,∴∠ CED=∠ ACE. ∴∠ PEQ=∠ CED∠ CEP∠ DEQ=∠ ACE∠ CEP∠ CPE=∠ ACE∠ RCE=∠ ACR=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2,∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2,∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??11.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側(cè)作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點 . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。得 ,x+y+β=180176。, 所以 ∠ BAC=∠ C=∠ ABC=60176。. 9.(2022浙江紹興 ,23,12分 )已知△ ABC,AB=AC,D為直線 BC上一點 ,E為直線 AC上一點 ,AD=AE, 設(shè) ∠ BAD=α,∠ CDE=β. (1)如圖 ,若點 D在線段 BC上 ,點 E在線段 AC上 . ? ① 如果 ∠ ABC=60176。,∴ 頂角為 80176。 176。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點 H,則△ ACH就是等腰三角形 。 176。,且點 D是 BC的中點 ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對等角 ,得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。60176。 176。, ∴∠ CBD+∠ BCD=70176。,∴∠ ACF=120176。62176。,∠ AED =54176。 176。.在 Rt△ BFG中 ,FG=BFcos∠ BFG=2? =? , ∴ AF=2FG=2? . 32333.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :① 以 A為圓心 ,任意長為 半徑作弧 ,分別交 AB,AD于點 M,N。 176。,∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 10.(2022河南 ,22,10分 ) (1)發(fā)現(xiàn) 如圖 1,點 A為線段 BC外一動點 ,且 BC=a,AB=b. 填空 :當(dāng)點 A位于 時 ,線段 AC的長取得最大值 ,且最大值為 (用含 a,b的式子 表示 ). ? 圖 1 (2)應(yīng)用 點 A為線段 BC外一動點 ,且 BC=3,AB= 2所示 ,分別以 AB,AC為邊 ,作等邊三角形 ABD和等 邊三角形 ACE,連接 CD,BE. ① 請找出圖中與 BE相等的線段 ,并說明理由 。. 4.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=36176。 176。 176。,∴∠ C=35176。. 考點二 等腰三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,△ ADE的頂點 D,E分別在 BC,AC上 ,且 ∠ DAE=90176。. ∴∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=540176。AM=? 85sin 40176。.∵ BE、 CD分別平分 ∠ ABC、 ∠ ACB, ∴∠ FBC=? ∠ ABC=21176。 176。,可知三個角分別為 30176。=18176。=56176。 由選項 B可得 PA =PC,所以 BC=PB+PA 。 176。 步驟 3:連接 AD,交 BC延長線于點 H. 下列敘述正確的是 ? ( ) AD ∠ BAD △ ABC=BC,為避免行進(jìn)中甲、乙相撞 ,則乙的航向 ? 是 ? ( ) ? 55176。Ⅱ .作線段的垂直平分 線 。, 為避免行進(jìn)中甲、乙相撞 ,所以乙的航向不能是北偏西 35176。 ③△ PMN的面積 。70176。. 由作法可知 ,EF是線段 AC的垂直平分線 , ∴∠ AEF=90176。 再以 A2為圓心 ,1為半徑向右畫弧交 OC于點 A3,得第 3條線段 A2A3。(n+1)=90176。,∴ AC=? =10, ∵ E是 AC的中點 ,∴ EC=? AC=5. ∵ CF平分 ∠ ACM,∴∠ ACF=∠ FCM,∴∠ ACF=∠ EFC, ∴ EF=EC=5,∴ DF=DE+EF= B. 1222AB BC?12解題關(guān)鍵 本題考查三角形的中位線、角平分線 ,平行線等知識 ,屬于容易題 . 4.(2022四川綿陽 ,5,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ B、 ∠ C的平分線 BE、 CD相交于點 F,∠ ABC=42176。60176。39176?！? 如圖 ,∠ BAE、 ∠ CBF、 ∠ ACD是△ ABC的三個外角 . 求證 :∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=360176。 ∠ 1+∠ 2+∠ 3=180176。 176。=10176。,∴∠ C=24176。, 因為 BD=BA,所以 ∠ BAD=∠ ADB=2x176。,∴∠ ABC=∠ C=72176。,延長 AC至 M,則 ∠ BCM的度數(shù)為 ( ) ? 176。③ 作射線 AE交 PQ于點 AB=2,∠ ABP=60176。 (2)在 (1)的條件下 ,若 DE=4,求 BC的長 . ? 解析 (1)如圖 . ? (2分 ) E點 ,DE即為所求 .? (3分 ) (2)∵ DE是△ ABC的中位線 ,且 DE=4, ∴ BC=2DE=24=8.? (6分 ) 解題關(guān)鍵 本題主要考查平面幾何中尺規(guī)作圖的基本方法 (中點的作法 ),以及三角形中位線 的性質(zhì) . 7.(2022浙江杭州 ,21,10分 )“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形 ,記這些三角形的三 邊分別為 a,b,c,并且這些三角形三邊的長度為大于 1且小于 5的整數(shù)個單位長度 . ? (1) 用記號 (a,b,c)(a≤ b≤ c)表示一個滿足條件的三角形 ,如 (2,3,3)表示邊長分別為 2,3,3個單位 長度的一個三角形 ,請列舉出所有滿足條件的三角形 。30176。 答案 C ∵∠ A=62176。若 a2+b2c2,則 三角形為銳角三角形 。,∴∠ ABC+∠ ACB=180176。,∠ C=25176。+25176。 176。,∠ C=36176。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個頂點在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于點 D,則△ BCD就是等腰三角形 。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。y)+(x+y)=180176。 若不存在 ,說明理由 . 解析 (1)① 因為 AD=AE, 所以 ∠ AED=∠ ADE=70176。60176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。,∠ MON=150176。. 12此時 P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 , 所以 AB=2PE=2? PQ=? PQ,則 ? =? .? (14分 ) 22 2 ABPQ212.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點 E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC,∴∠ BEC=∠ ADC=90176。 (3)以 O為圓心 ,OA長為半徑作☉ O. ☉ O即為所求作的圓 . 12請回答 :該尺規(guī)作圖的依據(jù)是 . 答案 到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上 。三角形的中位線平行于三角形的第三邊 . 5.(2022福建 ,19,8分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ BAC=90176。全等三角形的對應(yīng)角相等 ?！?A∠ B=105176。 176。CE, ∴ BC,將△ ABC沿過點 C的一條直線進(jìn)行裁 剪 ,得到兩個新的三角形 ,若這兩個新的三角形都是等腰三角形 ,則 ∠ B的度數(shù)不可能是 ? ( ) ? 176。 若 ∠ B=∠ BCD=176。 若 ∠ B=∠ BCD=40176。,∴∠ ABC=∠ C=(180176。=42176。, 同理可得 ∠ EA3A2=? ∠ DA2A1=20176。, ∵∠ DAC=2∠ ABD,∴∠ DAC=70176。 ② 作 BC的垂直平分線 FG。,∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC, ∴∠ B+∠ BAD=180176。 提升題組 (時間 :30分鐘 分值 :40分 ) 一、選擇題 (每小題 2分 ,共 10分 ) 1.(2022保定定興二模 ,7)如圖 ,將 ∠ BAC沿 DE向 ∠ BAC內(nèi)折疊 ,使 AD與 A39。+∠ DA39。E, 由折疊可得 ∠