【文章內容簡介】 2176。,∠ AED =54176。,則 ∠ B的大小為 ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵∠ A=62176。,∠ AED=54176。,∴∠ ADE=180176。62176。54176。=64176。, ∵ DE∥ BC,∴∠ B=∠ ADE=64176。.故選 C. 5.(2022江蘇南京 ,4,2分 )下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是 ? ( ) ,4,4 ,4,5 ,4,6 ,4,7 答案 C 由三角形的三邊關系知 A,B,C能構成三角形 ,D不能構成三角形 . 設一個三角形的三邊長分別為 a,b,c,且 abc,若 a2+b2=c2,則三角形為直角三角形 。若 a2+b2c2,則 三角形為銳角三角形 。若 a2+b2c2,則三角形為鈍角三角形 .∵ 32+4262,∴ 長為 3,4,6的三條線段可 組成鈍角三角形 ,故選 C. 6.(2022湖南長沙 ,10,3分 )過△ ABC的頂點 A,作 BC邊上的高 ,以下作法正確的是 ? ( ) ? 答案 A 根據三角形高線的定義知△ ABC中 BC邊上的高是以點 A為端點 ,且垂直于 BC的垂 線段 .故選 A. 7.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=60176。,AC=1,D是邊 AB的中點 ,E是邊 BC上一 點 .若 DE平分△ ABC的周長 ,則 DE的長是 . ? 答案 ? 32解析 延長 BC至點 F,使 CF=AC,連接 AF,∵ D是 AB的中點 ,∴ AD=DB.∵ DE平分△ ABC的周長 , ∴ AC+CE+AD=DB+BE,∴ AC+CE=BE,∴ BE=CF+CE=EF,∴ DE是△ ABF的中位線 ,∴ DE∥ AF, ∵∠ ACB=60176。,∴∠ ACF=120176。,又 AC=CF=1,∴∠ FAC=∠ AFC=30176。,作 CH⊥ AF,則 AH=? AC, 所以 AF=? AC=? ,∴ DE=? AF=? . ? 323 312 32思路分析 延長 BC至點 F,使 CF=AC,利用已知條件證明 DE為△ ABF的中位線 ,由已知條件求 得 AF的長 ,從而求得 DE的長 . 解題技巧 對于求線段長度的問題 ,若條件涉及三角形邊的中點 ,可以考慮運用中位線性質來 解答 . 8.(2022黑龍江大慶 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=40176。,D點是 ∠ ABC和 ∠ ACB角平分線的交點 , 則 ∠ BDC= . ? 答案 110176。 解析 ∵ D點是 ∠ ABC和 ∠ ACB角平分線的交點 , ∴∠ CBD=∠ ABD=? ∠ ABC,∠ BCD=∠ ACD=? ∠ ACB, ∵∠ A=40176。,∴∠ ABC+∠ ACB=180176。40176。=140176。, ∴∠ CBD+∠ BCD=70176。, ∴∠ BDC=180176。70176。=110176。. 12 129.(2022江蘇揚州 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC的中位線 DE=5 cm,把△ ABC沿 DE折疊 ,使點 A落在邊 BC 上的點 F處 ,若 A、 F兩點間的距離是 8 cm,則△ ABC的面積為 cm2. ? 答案 40 解析 連接 AF,因為 DE是中位線 ,且 DE=5 cm,所以 DE∥ BC,且 BC=2DE=10 cm,因為 A、 F關于 DE對稱 ,所以 AF⊥ DE,所以 AF⊥ BC,所以△ ABC的面積為 ? 108=40 cm2. ? 12考點二 等腰三角形 1.(2022湖北黃岡 ,4,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,直線 DE是 AC的垂直平分線 ,且分別交 BC,AC于點 D和 E,∠ B=60176。,∠ C=25176。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B 因為直線 DE是 AC的垂直平分線 ,所以 AD=DC,所以 ∠ DAC=∠ C=25176。,所以 ∠ ADC=1 80176。(25176。+25176。)=130176。.因為 ∠ ADC=∠ B+∠ BAD,所以 ∠ BAD=∠ ADC∠ B=130176。60176。=70176。,故選 B. 2.(2022福建 ,5,4分 )如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為 D,點 E在線段 AD上 ,∠ EBC=45176。,則 ∠ ACE等于 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A 由等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點 D,可得 ∠ ACB=60176。,且點 D是 BC的中點 ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據等邊對等角 ,得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。,故 ∠ ACE=∠ ACB∠ ECB=60176。45176。=15176。. 3.(2022吉林 ,5,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,以點 B為圓心 ,以 BA長為半徑畫弧交邊 BC于點 D,連接 AD. 若 ∠ B=40176。,∠ C=36176。,則 ∠ DAC的度數是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 由作圖知 BA=BD,∴∠ BAD=∠ BDA=70176。,∵∠ BDA=∠ C+∠ DAC,∴∠ DAC=∠ BDA ∠ C=34176。,故選 C. 4.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個頂點在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于點 D,則△ BCD就是等腰三角形 。 ② 如圖 2,以 A為圓心 ,AC長為半徑畫弧 ,交 AB于點 E,則△ ACE就是等腰三角形 。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點 F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角形 。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點 H,則△ ACH就是等腰三角形 。 ⑤ 如圖 5,作 AB的垂直平分線交 AC于點 G,則△ AGB就是等腰三角形 。 ⑥ 如圖 6,作 BC的垂直平分線交 AB于 I,則△ BCI就是等腰三角形 .故選 D. ? 5.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標軸上取點 C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點 C的個數是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當 AB=AC時 ,以點 A為圓心 ,AB長為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 (點 B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點 C0與 A、 B兩點共線 ,不符合題意 。② 當 AB=BC時 ,以點 B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 ,均符合題意 。③ 當 AC=BC時 ,作 AB的垂直平分線 ,與坐標軸有 兩個交點 ,均符合題意 .所以滿足條件的點 C有 5個 ,故選 A. ? 6.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AD=DC,∠ B=70176。,則 ∠ C的度數為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。, ∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC. ∵∠ ADB是△ ADC的外角 ,∴∠ C=? ∠ ADB=35176。.故選 A. 127.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個底角為 50176。,則它的頂角的度數為 . 答案 80176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。50176。2=80176。,∴ 頂角為 80176。. 8.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,D,E為斜邊 AB上的兩個點 ,且 BD=BC,AE=AC,則 ∠ DCE 的大小為 . ? 答案 45176。 解析 設 ∠ DCE=x,∠ ACD=y,則 ∠ ACE=x+y.∵ AE=AC,∴∠ DEC=∠ ACE=x+y,∵ BD=BC,∴∠ CDE=∠ DCB=90176。y. 在△ DCE中 ,∠ DCE+∠ CDE+∠ DEC=180176。, ∴ x+(90176。y)+(x+y)=180176。,解得 x=45176。,∴∠ DCE=45176。. 9.(2022浙江紹興 ,23,12分 )已知△ ABC,AB=AC,D為直線 BC上一點 ,E為直線 AC上一點 ,AD=AE, 設 ∠ BAD=α,∠ CDE=β. (1)如圖 ,若點 D在線段 BC上 ,點 E在線段 AC上 . ? ① 如果 ∠ ABC=60176。,∠ ADE=70176。,那么 α= 176。,β= 176。.② 求 α,β之間的關系式 . (2)是否存在不同于以上②中的 α,β之間的關系式 ?若存在 ,請求出這個關系式 (求出一個即可 )。 若不存在 ,說明理由 . 解析 (1)① 因為 AD=AE, 所以 ∠ AED=∠ ADE=70176。,∠ DAE=40176。, 又因為 AB=AC,∠ ABC=60176。, 所以 ∠ BAC=∠ C=∠ ABC=60176。, 所以 α=∠ BAC∠ DAE=60176。40176。=20176。, β=∠ AED∠ C=70176。60176。=10176。 ② 設 ∠ ABC=x,∠ ADE=y,則 ∠ ACB=x,∠ AED=y, 由 ∠ AED=∠ CDE+∠ ACB得 ,y=β+x, 由 ∠ BAD+∠ ABC=∠ ADE+∠ CDE得 ,α+x=y+β,所以 α=2β. (2)當點 E在 CA延長線上 ,點 D在線段 BC上時 , 設 ∠ ABC=x,∠ ADE=y,則 ∠ ACB=x,∠ AED=y, 由 ∠ ABD+∠ BAD=∠ CDE∠ ADE得 ,x+α=βy, 由 ∠ ACB+∠ AED+∠ CDE=180176。得 ,x+y+β=180176。, 所以 α=2β180176。. 注 :求出其它關系式 ,相應給分 ,如點 E在 CA的延長線上 ,點 D在 CB的延長線上 ,可得 α=180176。2β. 10.(2022內蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。,D為 AB邊上一點 . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。,∴∠ EAD=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2,∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2,∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??11.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點 . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。 (2)延長 PC,QD交于點 R. ① 如圖 2,若 ∠ MON=150176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。. ∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE=∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)① 證明 :如圖 ,連接 OR. ? ∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , 12 12∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。,∠ MON=150176。, ∴∠ CRD=30176。.∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) ② 如圖 ,由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. ?