【文章內(nèi)容簡介】 在 Rt△ AFC中 ,AC=? =? ≈ .? (9分 ) 247。? ≈ 64海里 /小時(shí) (247。20≈ 1海里 /分鐘 ). 答 :救援艇的航行速度是 64海里 /小時(shí) (1海里 /分鐘 ).? (10分 ) EBBC22AF FC? 2218 ?1310.(2022湖北黃岡 ,22,8分 )“一號(hào)龍卷風(fēng)”給小島 O造成了較大的破壞 ,救災(zāi)部門迅速組織力 量 ,從倉儲(chǔ)處調(diào)集物資 ,計(jì)劃先用汽車運(yùn)到與 D在同一直線上的 C,B,A三個(gè)碼頭中的一處 ,再用 貨船運(yùn)到小島 :OA⊥ AD,∠ ODA=15176。,∠ OCA=30176。,∠ OBA =45176。,CD=20 的速度為 50 km/時(shí) ,貨船航行的速度為 25 km/h,問這批物資在哪個(gè)碼頭裝船 ,最早運(yùn)抵小島 O? (在物資搬運(yùn)能力上每個(gè)碼頭工作效率相同 。參考數(shù)據(jù) :? ≈ 。? ≈ ) ? 2 3解析 ∵∠ OCA=30176。,∠ D=15176。, ∴∠ DOC=15176。,∴ CO=CD=20 km. 在 Rt△ OAC中 ,∵∠ OCA=30176。, ∴ OA=10 km,AC=10? km. 在 Rt△ OAB中 ,∵∠ OBA=45176。, ∴ OA=AB=10 km,OB=10? km. ∴ BC=ACAB=(10? 10)km. ① 從 C→ O所需時(shí)間為 :20247。25=(h)。 ② 從 C→ B→ O所需時(shí)間為 (10? 10)247。50+10? 247。25≈ (h)。 ③ 從 C→ A→ O所需時(shí)間為 10? 247。50+10247。25≈ (h). ∵ ,∴ 這批物資在 B 碼頭裝船 ,最早運(yùn)抵小島 O. (所需時(shí)間若同時(shí)加上 DC段耗時(shí) h,亦可 ) 3233 23C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 勾股定理 1.(2022浙江紹興 ,6,3分 )如圖 ,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻 ,一架梯子斜靠在左墻時(shí) ,梯子底端到左 墻角的距離為 ,頂端距離地面 ,如果保持梯子底端位置不動(dòng) ,將梯子斜靠在右墻時(shí) ,頂 端距離地面 2米 .則小巷的寬度為 ? ( ) ? 答案 C 設(shè)梯子斜靠在右墻時(shí) ,底端到右墻角的距離為 x米 , 由勾股定理可得 :梯子的長度 =?= ? , 可解得 x=,則小巷的寬度為 +=(米 ).故選 C. 22() ()? 222x ?2.(2022浙江杭州 ,10,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,BC=12,E為 AC邊的中點(diǎn) ,線段 BE的垂直平分 線交邊 BC于點(diǎn) BD=x,tan∠ ACB=y,則 ? ( ) ? =3 =9 =15 =21 答案 B 如圖 ,過 A作 AM⊥ BC于 M,過 E作 EN⊥ BC于 N,連接 ED. ∵ E為 AC的中點(diǎn) ,AM∥ EN, ∴ EN=? ,MN=? ,∵ AB=AC,AM⊥ BC, 2AM 2CM∴ CM=? =6,∴ MN=3, ∵ tan∠ ACB=? =y,∴ AM=6y,∴ EN=3y, ∵ 直線 DF是線段 BE的垂直平分線 , ∴ ED=BD=x,∵ DE2=DN2+EN2, ∴ x2=(9x)2+(3y)2,即 2xy2=9,此題選 B. 2BC6AM3.(2022湖南株洲 ,8,3分 )如圖 ,以直角三角形 a、 b、 c為邊 ,向外作等邊三角形、半圓、等腰直 角三角形和正方形 ,上述四種情況的面積關(guān)系滿足 S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)為 ? ( ) ? 答案 D (1)S1=? a2,S2=? b2,S3=? c2, ∵ a2+b2=c2, ∴ ? a2+? b2=? c2,∴ S1+S2=S3. (2)S1=? a2,S2=? b2,S3=? c2, ∵ a2+b2=c2,∴ ? a2+? b2=? c2, ∴ S1+S2=S3. (3)S1=? a2,S2=? b2,S3=? c2,∵ a2+b2=c2, ∴ ? a2+? b2=? c2,∴ S1+S2=S3. (4)S1=a2,S2=b2,S3=c2,∵ a2+b2=c2,∴ S1+S2=S3. 綜上 ,面積關(guān)系滿足 S1+S2=S3的圖形有 4個(gè) .故選 D. 34 34 3434 34 344? 4? 4?4? 4? 4?18 18 1818 18 184.(2022云南 ,6,3分 )在△ ABC中 ,AB=? ,AC=5,若 BC邊上的高等于 3,則 BC邊的長為 . 34答案 1或 9 解析 分兩種情況討論 : ① BC邊上的高在△ ABC內(nèi)時(shí) ,如圖 ,過 A作 AD⊥ BC于點(diǎn) D. 在 Rt△ ABD中 ,∵ AB=? ,AD=3,∴ BD=? =5. 在 Rt△ ACD中 ,∵ AC=5,AD=3,∴ CD=? =4.∴ BC=BD+CD=9. ② BC邊上的高位于△ ABC外時(shí) ,如圖 ,同①可求得 BD=5,CD=4,∴ BC=1. 綜上 ,BC的長為 1或 9. 34 22AB AD?22AC AD?思路分析 根據(jù)題意畫圖 ,要考慮全面 ,利用勾股定理解直角三角形即可 . 易錯(cuò)警示 本題容易只考慮 BC邊上的高在△ ABC內(nèi)的情況而導(dǎo)致漏解 . 5.(2022福建 ,15,4分 )把兩個(gè)同樣大小的含 45176。角的三角尺按如圖所示的方式放置 ,其中一個(gè)三 角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn) A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn) B,C,D在同一直線上 .若 AB=? ,則 CD= . ? 2答案 ? 1 3解析 由題意知△ ABC,△ ADE均為等腰直角三角形 ,且 AB=AC=AE=ED=? ,由勾股定理得 BC =AD= A作 AF⊥ BC于 F,則 FC=AF=1,在 Rt△ AFD中 ,由勾股定理得 FD=? ,故 CD=FDFC=? 1. 23 36.(2022江蘇蘇州 ,18,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD為矩形 ,過點(diǎn) D作對(duì)角線 BD的垂線 ,交 BC的延長線 于點(diǎn) E,取 BE的中點(diǎn) F,連接 DF,DF= AB=x,AD=y,則 x2+(y4)2的值為 . ? 答案 16 解析 由題意知 DF是 Rt△ BDE的中線 ,所以 DF=BF=FE= ABCD中 ,AB=DC=x,BC=AD=y, 在 Rt△ CDF中 ,CF=BFBC=4y,CD=x,DF=4,由勾股定理得 CF2+CD2=DF2,即 x2+(y4)2=42=16. 評(píng)析 本題考查勾股定理的應(yīng)用 ,直角三角形的性質(zhì) ,綜合性較強(qiáng) ,對(duì)學(xué)生能力要求較高 ,屬難題 . 7.(2022甘肅蘭州 ,27,10分 )給出定義 :若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線 的平方 ,則稱該四邊形為勾股四邊形 . (1)在你學(xué)過的特殊四邊形中 ,寫出兩種勾股四邊形的名稱 。 (2)如圖 ,將△ ABC繞頂點(diǎn) B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60176。得到△ DBE,連接 AD,DC, ∠ DCB=30176。. ① 求證 :△ BCE是等邊三角形 . ② 求證 :DC2+BC2=AC2,即四邊形 ABCD是勾股四邊形 . ? 解析 (1)正方形、矩形、直角梯形 .(任選兩個(gè)均可 )? (2分 ) (2)證明 :① ∵ △ ABC≌ △ DBE, ∴ BC=BE.? (4分 ) ∵∠ CBE=60176。, ∴ △ BCE是等邊三角形 .? (5分 ) ② ∵ △ ABC≌ △ DBE, ∴ AC=DE.? (6分 ) ∵ △ BCE是等邊三角形 , ∴ BC=CE,∠ BCE=60176。.? (7分 ) ∵∠ DCB=30176。,∴∠ DCE=90176。.? (8分 ) ∴ 在 Rt△ DCE中 ,DC2+CE2=DE2, ∴ DC2+BC2=AC2,? (9分 ) 即四邊形 ABCD是勾股四邊形 .? (10分 ) 8.(2022浙江溫州 ,22,8分 )勾股定理神秘而美妙 ,它的證法多樣 ,其巧妙各有不同 ,其中的“面積 法”給了小聰以靈感 .他驚喜地發(fā)現(xiàn) :當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖 1或圖 2擺放時(shí) ,都可以用 “面積法”來證明 .下面是小聰利用圖 1證明勾股定理的過程 : 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 1所示擺放 ,其中 ∠ DAB= 90176。.求證 :a2+b2=c2. 圖 1 證明 :連接 DB,過點(diǎn) D作 BC邊上的高 DF,則 DF=EC=ba. ∵ S四邊形 ADCB=S△ ACD+S△ ABC=? b2+? ab, 又 ∵ S四邊形 ADCB=S△ ADB+S△ DCB=? c2+? a(ba), ∴ ? b2+? ab=? c2+? a(ba). ∴ a2+b2=c2. 請(qǐng)參照上述證法 ,利用圖 2完成下面的證明 . 12 1212 1212 12 12 12 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 2所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。. 求證 :a2+b2=c2. 證明 :連接 . ∵ S五邊形 ACBED= , 又 ∵ S五邊形 ACBED= , ∴ . ∴ a2+b2=c2. 圖 2 證明 連接 BD,過點(diǎn) B作 DE邊上的高 BF,則 BF=ba, ∵ S五邊形 ACBED=S△ ACB+S△ ABE+S△ ADE=? ab+? b2+? ab, 又 ∵ S五邊形 ACBED=S△ ACB+S△ ABD+S△ BDE =? ab+? c2+? a(ba), ∴ ? ab+? b2+? ab =? ab+? c2+? a(ba),∴ a2+b2=c2. 12 12 1212 12 1212 12 1212 12 12評(píng)析 本題主要考查了勾股定理的證明 ,表示出五邊形的面積是解題關(guān)鍵 . 考點(diǎn)二 銳角三角函數(shù) 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=8,∠ ABC=60176。,∠ C=45176。,AD⊥ BC,垂足為 D,∠ ABC的平 分線交 AD于點(diǎn) E,則 AE的長為 ? ( ) ? ? ? C.? ? D.? ? 2 2432832答案 D ∵ AC=8,∠ C=45176。,AD⊥ BC,∴ AD=ACsin 45176。=4? ,過點(diǎn) E作 EF⊥ AB于點(diǎn) F,∵ BE是 ∠ ABC的平分線 ,∴ DE=EF,∵∠ ABC=60176。,AD⊥ BC,∴∠ BAE=30176。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE,又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 212223 832思路分析 首先利用 AC的長及 ∠ C的正弦求出 AD的長 ,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角 形中 30度角的性質(zhì)確定 DE和 AE的數(shù)量關(guān)系 ,最后求出 AE的長 . 2.(2022山東濱州 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC⊥ BC,∠ ABC=30176。,點(diǎn) D是 CB延長線上的一點(diǎn) ,且 BD=BA,則 tan∠ DAC的值為 ? ( ) ? +? ? +? ? 3 33 3答案 A 設(shè) AC=a,則 AC=? =2a,BC=? =? a,∴ BD=AB=2a,∴ tan∠ DAC=? =2 +? . sin 30a ? tan 30a ?3 (2 3 )aa?33.(2022廣東 ,8,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (4,3),那么 cos α的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 43 35 45答案 D 過點(diǎn) A作 AB垂直 x軸于 B,則 AB=3,OB=4. 由勾股定理得 OA=5.∴ cos α=? =? .故選 D. ? OBOA454.(2022甘肅蘭州 ,4,4分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ B=90176。,BC=2AB,則 cos A=? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 12255 55答案 D 設(shè) AB=k(k0),則 BC=2k,∵∠ B=90176。,∴ AC=? =? k,∴ cos A=? =? =? , 故選 D. 22AB BC? 5ABAC5k k555.(2022廣西南寧 ,11,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,點(diǎn) E是 AD的中點(diǎn) ,延長 BC到點(diǎn) F,使 CF∶ BC=1∶ 2, 連接 DF, AB=5,AD=8,sin B=? ,則 DF的長等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? 4510 15 17 5答案 C ∵ CF∶ BC=1∶ 2,AD=BC=8,∴ BF=8+4=12. 過 D作 DG⊥ BF,交 BF于點(diǎn) G.∵ AB∥ CD,∴∠ B=∠ DCF, ∴ sin B=sin∠ DCF=? .在 Rt