【文章內(nèi)容簡介】 A39。B,不可能為 90176。. 綜上所述 ,當(dāng)△ A39。EF為直角三角形時 ,AB的長為 4或 4? . ? 圖 1 33 圖 2 圖 3 4.(2022貴州遵義 ,16,4分 )我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理 ,創(chuàng)制了一幅“弦圖” ,后人 稱其為“趙爽弦圖” (如圖 (1)),圖 (2)由弦圖變化得到 ,它是由八個全等的直角三角形拼接而成 , 記圖中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面積分別為 S S EFGH 的邊長為 2,則 S1+S2+S3= . ? 答案 12 解析 設(shè) AH=a,AE=b,EH=c,則 c=2,所以 S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(ab)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12. 5.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個動點 ,∠ AOC =60176。,則當(dāng)△ PAB為直角三角形時 ,AP的長為 . ? 答案 2或 2? 或 2? 3 7解析 由題意知 ,滿足條件的點 P有三個位置 .如圖① ,∠ APB=90176。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因為 ∠ AOC=60176。,所以△ POA為等邊三角形 ,所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA=OB=2,又 ∠ AOC=∠ BOP=60176。,所以△ OBP為 等邊三角形 ,所以 ∠ OBP=60176。,所以 ∠ OAP=30176。,所以 AP=ABcos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。, 因為 ∠ BOP=∠ AOC=60176。, 所以 BP=OBtan 60176。=2? . 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長為 2或 2? 或 2? . 323322AB BP? 224 (2 3)? 28 73 76.(2022貴州貴陽 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=AC=16 cm,AD為 BC邊上的高 ,動 點 P從點 A出發(fā) ,沿 A→ D方向以 ? cm/s的速度向點 D運動 .設(shè)△ ABP的面積為 S1,矩形 PDFE的面 積為 S2,運動時間為 t秒 (0t8),則 t= 秒時 ,S1=2S2. ? 2答案 6 解析 由題意可知 Rt△ ADC、 Rt△ APE和 Rt△ EFC都是等腰直角三角形 ,AD=DC=BD=8? AP=? t cm,所以 DP=EF=FC=(8? ? t)cm,DF=? t cm,所以 S1=? APBD=? ? t8 ? =8t cm2,S2=PDDF=(8? ? t)? t=(2t2+16t)cm2,所以當(dāng) S1=2S2時 ,有 8t=4t2+32t,解得 t=6. 22 2 2 212 1222 2 2 27.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=4,CD=3,∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45176。,則 BD的長為 . ? 答案 ? 41解析 作 AD39?！?AD,且使 AD39。=AD,連接 CD39。,DD39。,如圖 . 由已知條件可得 ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAD39。+∠ CAD,即 ∠ BAD=∠ CAD39。. 在△ BAD與△ CAD39。中 , ? ∴ △ BAD≌ △ CAD39。(SAS), ∴ BD=CD39。.又 ∠ DAD39。=90176。,由勾股定理得 DD39。=? = ? =4? ,易知 ∠ D39。DA+∠ ADC =90176。,由勾股定理得 CD39。=?= ? =? , ∴ BD=CD39。=? . ? ,39。,39。,B A C AB A D C A DA D A D???? ? ?????22( 39。)AD AD? 32 222( 39。)DC DD? 9 32? 41418.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。.點 D為邊 AC上一點 ,DE⊥ AB于點 M為 BD的中點 ,CM的延長線交 AB于點 F. (1)求證 :CM=EM。 (2)若 ∠ BAC=50176。,求 ∠ EMF的大小 。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點 N為 CM的中點 .求證 :AN∥ EM. ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。,M為斜邊 BD的中點 , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。50176。=40176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。=80176。, ∴∠ EMF=180176。∠ CME=100176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。,∠ MEF=30176。,∴ ? =? , 1212MFEF 12又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM, ∴ △ AFN∽ △ EFM, ∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。, ? 12 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。30176。)=75176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點 , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 129.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,P是線段 BC上一動點 (與點 B,C不重合 ), 連接 AP,延長 BC至點 Q,使得 CQ=CP,過點 Q作 QH⊥ AP于點 H,延長 QH交 AB于點 M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系 ,并證明 . ? 解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。, ∴∠ PAB=45176。α. ∵ QH⊥ AP, ∴∠ AMQ=90176?！?PAB=45176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過點 M作 MN⊥ BQ于點 N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP, ∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。+∠ QAC=45176。+∠ PAC=∠ AMQ, 22∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。, ∴∠ MQN=∠ PAC,∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 210.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點 ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。 (2)若 ∠ BAD=60176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長 . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,M為 AC的中點 , ∴ BM=? AC. ∵ N為 CD的中點 , ∴ MN=? AD. ∵ AC=AD,∴ BM=MN. (2)∵∠ BAD=60176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。. 由 BM=AM,可得 ∠ BMC=2∠ BAC=60176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。. ∵ AC=AD=2, ∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 121222BM MN? 211.(2022廣東 ,21,7分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。,∠ ACB=90176。,CD⊥ AB交 AB于 CD為較短的 直角邊向△ CDB的同側(cè)作 Rt△ DEC,滿足 ∠ E=30176。,∠ DCE=90176。,再用同樣的方法作 Rt△ FGC,∠ FCG=90176。,繼續(xù)用同樣的方法作 Rt△ HIC,∠ HCI=90176。.若 AC=a,求 CI的長 . ? 解析 ∵ Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。,∠ ACB=90176。, ∴∠ A=60176。.? (1分 ) ∵ CD⊥ AB, ∴∠ ADC=90176。,∠ ACD=30176。.? (2分 ) ∵ AC=a, ∴ Rt△ ADC中 ,AD=? AC=? ,CD=? AD=? a.? (4分 ) 同理可得 ,Rt△ DFC中 ,DF=? CD=? a,CF=? DF=? a.? (5分 ) Rt△ FHC中 ,FH=? CF=? a,CH=? FH=? a,? (6分 ) Rt△ CHI中 ,CI=? CH=? a.? (7分 ) 12 2a33212 3433412 383 338398評析 本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運算 . 12.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側(cè)作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點 . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。 (2)延長 PC,QD交于點 R. ① 如圖 2,若 ∠ MON=150176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD. ∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 ,∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。, ∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE=∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)① 證明 :如圖 ,連接 OR. ? ∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , 12 12∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。,∠ MON=150176。, ∴∠ CRD=30176。. ∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) ② 由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. 又 ∵ AO∥ ED,∴∠ CED=∠ ACE, ∴∠ PEQ=∠ CED∠ CEP∠ DEQ=∠ ACE∠ CEP∠ CPE=∠ ACE∠ RCE=∠ ACR=90176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 . ∵ △ ARB∽ △ PEQ,∴∠ ARB=90176。. 于是在四邊形 OCRD中 , ∠ OCR=∠ ODR=90176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。, ∴∠ MON=135176。. 此時 P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 ,所以 AB=2PE=2? PQ=? 1222 2PQ,則 ? =? .? (14分 ) ABPQ2A組 2022—