【正文】 ∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 ,∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。,∠ MON=150176。. ∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 . ∵ △ ARB∽ △ PEQ,∴∠ ARB=90176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。. 此時(shí) P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 ,所以 AB=2PE=2? PQ=? 1222 2PQ,則 ? =? .? (14分 ) ABPQ2A組 2022— 2022年模擬 ,則一腰上的高與底邊所成的角的度 數(shù)是 ? ( ) 176。 176。 答案 A 如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,BD是邊 AC上的高 . ? ∵∠ A=84176。84176。2=48176。,∠ C=48176。48176。. 故選 A. 3.(2022湖北襄陽谷城模擬 ,15)四邊形 ABCD是正方形 ,點(diǎn) E是直線 AB上的一動(dòng)點(diǎn) ,且△ AEC是以 AC為腰的等腰三角形 ,則 ∠ BCE的度數(shù)為 . 答案 176?；?176。, ∴∠ ACE=∠ BEC=176。 ? 圖 1 當(dāng) E在 AB的延長(zhǎng)線上時(shí) ,如圖 2,易知 ∠ EAC=45176。, ∴∠ BCE=∠ ACE∠ ACB=176。,∵∠ CBE=90176。, 綜上 ,∠ BCE的度數(shù)為 176?；?176。 ② 若 BC∶ AB=3∶ 2,則 設(shè) BC=3x(x0),則 AB=2x, ∴ BD=? x, 1222AB BD? 22(3 )xx? 2ADBD 22xx 232∴ AD=? =? =? x, 則 tan B=? =? =? . 故答案為 2? 或 ? . 22AB BD? 22 3(2 )2xx??? ????72ADBD 7232xx732 735.(2022海南海口模擬 ,23)已知△ ABC是等邊三角形 ,D、 E分別是 AB、 BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) (與 點(diǎn) A、 B、 C不重合 ),且始終保持 BD=CE. (1)當(dāng)點(diǎn) D、 E運(yùn)動(dòng)到如圖 1所示的位置時(shí) ,連接 CD,AE,求證 :CD=AE。到△ ABF的位置 (如圖 2),分別連接 DF、 EF. ① 找出圖 2中所有的等邊三角形 (△ ABC除外 ),并對(duì)其中一個(gè)給予證明 。. 又 ∵ BD=CE,∴ △ BCD≌ △ CAE, ∴ CD=AE. (2)① 題圖 2中有 2個(gè)等邊三角形 (△ ABC除外 ),分別是△ BDF,△ AFE. 現(xiàn)證明△ BDF為等邊三角形 . 由題設(shè) ,知△ ACE≌ △ ABF, ∴ CE=BF,∠ ECA=∠ ABF=60176。,從而得出△ AFE是等邊三角形 .) ② 四邊形 CDFE是平行四邊形 .理由如下 : ∵∠ FDB=∠ ABC=60176。,點(diǎn) E為直線 AC上一點(diǎn) ,點(diǎn) D為直線 BC上 一點(diǎn) ,且 DA=DE. 當(dāng)點(diǎn) D在線段 BC上時(shí) ,如圖① ,易證 :BD+AB=AE。,AB=BC=AC, ∴∠ CEM=∠ CAB=60176。, ∴ △ CME是等邊三角形 , ∴ CE=CM=EM,∠ EMC=60176。,AB=BC=AC, ,A B D E M DD A B E D MA D D E? ? ???? ? ?????∴∠ CEM=∠ CAB=60176。, ∴ △ CME是等邊三角形 , ∴ CE=CM=EM,∠ EMC=∠ MEC=60176。當(dāng)一直角邊長(zhǎng)是 12時(shí) ,第三邊的長(zhǎng) 是 ? = B. 2212 5? 1192212 5?2.(2022黑龍江龍東 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, AE=6 cm,那么 CE等于 ( ) ? A.? cm cm cm cm 3答案 C ∵ ED⊥ AB,∠ A=30176。,BE平分 ∠ ABC, ∴ ED=CE=3 cm. 故選 C. 3.(2022上海靜安 ,18)一張直角三角形紙片 ABC,∠ ACB=90176。,CO=OD=6, 又 ∠ DCB+∠ OCE=90176。,按如下步驟作圖 : ① 分別以點(diǎn) B、 C為圓心 ,大于 ? AB的長(zhǎng)為半徑作弧 ,兩弧相交于點(diǎn) M和 N。 ③ 連接 BD. 若 AC=8,則 BD的長(zhǎng)為 . ? 12答案 4 解析 由題意可得 MN是線段 BC的垂直平分線 , 則 AB∥ MN, ∵ MN垂直平分 BC,∴ D是 AC的中點(diǎn) , ∴ BD是直角三角形 ABC斜邊上的中線 , ∴ BD=? AC=4. 125.(2022湖北襄陽?？?4月模擬 ,18) (1)探究發(fā)現(xiàn) :如圖 1,△ ABC為等邊三角形 ,點(diǎn) D為 AB邊上的一點(diǎn) ,∠ DCE=30176。且 CF= CD. ① 求 ∠ EAF的度數(shù) 。,點(diǎn) D為 AB邊上的一點(diǎn) ,∠ DCE=45176。 ② 線段 AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系 . 解析 (1)① ∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴ AC=BC,∠ BAC=∠ B=∠ ACB=60176。,∴∠ ACB=∠ DCF,∴∠ ACF=∠ BCD, 在△ ACF和△ BCD中 ,? ∴ △ ACF≌ △ BCD(SAS),∴∠ CAF=∠ B=60176。. ② DE= : ∵∠ DCF=60176。,∴∠ FCE=60176。=30176。, ∴ AC=BC,∠ BAC=∠ B=45176。,∴∠ ACB=∠ DCF,∴∠ ACF=∠ BCD, 在△ ACF和△ BCD中 ,? ∴ △ ACF≌ △ BCD(SAS), ∴∠ CAF=∠ B=45176。. ② AE2+DB2= : ∵∠ DCF=90176。,∴∠ FCE=90176。=45176。提升題組 (時(shí)間 :40分鐘 分值 :50分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 1.(2022天津河?xùn)|一模 ,11)如圖 ,在底邊 BC為 2? ,腰 AB為 2的等腰三角形 ABC中 ,DE垂直平分 AB,交 AB于點(diǎn) D,交 BC于點(diǎn) E,則△ ACE的周長(zhǎng)為 ? ( ) ? +? +2? ? 33 3 3答案 B ∵ DE垂直平分 AB, ∴ BE=AE, ∴ AE+CE=BC=2? , ∴ △ ACE的周長(zhǎng) =AC+AE+CE=AC+BC=2+2? , 故選 B. 332.(2022遼寧大連 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。, ∴ DC=? =? =1, ∵∠ ADC=∠ B+∠ BAD,∠ ADC=2∠ B, ∴∠ B=∠ BAD, ∴ BD=AD=? , ∴ BC=? +1. 22AD AC? 22( 5) 2?553.(2022貴州黔南州一模 ,19)如圖 ,已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,四邊形 OABC為矩形 ,A(10,0),C(0,4),點(diǎn) D是 OA的中點(diǎn) ,點(diǎn) P在 BC上運(yùn)動(dòng) ,當(dāng)△ ODP是腰長(zhǎng)為 5的等腰三角形時(shí) ,則 P點(diǎn)的坐標(biāo)為 . ? 二、填空題 (每小題 3分 ,共 15分 ) 答案 (2,4)或 (3,4)或 (8,4) 解析 當(dāng) OD=PD(P在 D右邊 )時(shí) , 如圖 1,過 P作 PQ⊥ x軸于 Q, ? 圖 1 在 Rt△ DPQ中 ,PQ=4,PD=OD=? OA=5, 根據(jù)勾股定理得 DQ=3, 故 OQ=OD+DQ=5+3=8,則此時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo)為 (8,4)。 當(dāng) PO=OD時(shí) ,如圖 3,過 P作 PQ⊥ x軸于 Q, ? 圖 3 在 Rt△ OPQ中 ,OP=OD=5,PQ=4, 根據(jù)勾股定理得 ,OQ=3,則此時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,4). 綜上 ,滿足題意的 P點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,4)或 (3,4)或 (8,4). 4.(2022湖北武漢武昌一模 ,15)如圖 ,四邊形 ABDC中 ,AB∥ CD,AC=BC=DC=4,AD=6,則 BD= . ? 答案 2? 7解析 如圖 ,延長(zhǎng) BC至點(diǎn) E,使 CE=BC,連接 DE. ? ∵ BC=CD,∴ CD=BC=CE=4, ∴∠ BDE=90176。, 又 ∵∠ DCB+∠ DCE=180176。,取 BC的中點(diǎn) B從點(diǎn) O沿 x軸正半軸移動(dòng)到點(diǎn) M(2,0)時(shí) ,點(diǎn) P 移動(dòng)的距離為 . ? 答案 ? 2解析 如圖 1所示 ,過 P作 PD⊥ x軸于 D,作 PE⊥ y軸于 E,則 ∠ DPE=90176。,連接 AP, ? 圖 1 ∵ △ ABC是等腰直角三角形 ,P是 BC的中點(diǎn) , ∴ AP=? BC=BP,且 AP⊥ BC,即 ∠ APB=90176。 圖 2 如圖 3所示 ,當(dāng)點(diǎn) B與點(diǎn) M重合時(shí) ,過 P作 PD⊥ x軸于 D,作 PE⊥ y軸于 E,連接 AP,OP, 212 22圖 3 由△ AEP≌ △ BDP,可得 AE=BD, 設(shè) AE=BD=x(x0),則 OE=1+x,OD=2x, 易知四邊形 ODPE是正方形 , ∴ OD=OE,即 2x=1+x, 解得 x=? , ∴ OD=2? =? , 在等腰直角三角形 OPD中 ,OP=? OD=? ? , 1212 322322∴ 當(dāng)點(diǎn) B從點(diǎn) O沿 x軸正半軸移動(dòng)到點(diǎn) M時(shí) ,點(diǎn) P移動(dòng)的距離為 ? ? ? =? . 322 2226.(2022遼寧撫順 ,16)如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,BC=△ ABC繞點(diǎn) C按順時(shí)針方 向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ EDC,點(diǎn) D在 AB邊上 ,DE交 AC于點(diǎn) F,則圖中陰影部分的面積為 . ? 答案 ? 32解析 ∵ △ ABC是直角三角形 ,∠ ACB=90176。,BC=2, ∴∠ B=60176。,∴ △ BCD是等邊三角形 ,∴∠ BCD=60176。,∴∠ DFC=90176。,AB=BC=? .將△ ABC繞點(diǎn) C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 6 0176。.易知△ AMC是等邊三角形 ,所以 CM=AM,易證△ BMC≌ △ BMA,所以 ∠ CBM=∠ ABM=45176。,所以 ∠ CDM=∠ CDB=90176。sin 45176。,C在 AB上 ,連接 DE,M是 DE的中點(diǎn) ,求證 :MC=MB. ? 三、解答題 (共 29分 ) 證明 延長(zhǎng) CM、 DB,設(shè)交點(diǎn)為 G, ? ∵ △ ABD和△ ACE都是直角三角形 ,且 ∠ ACE=∠ ABD=90176。,點(diǎn) M 為 DE的中點(diǎn) ,過點(diǎn) E與 AD平行的直線交射線 AM于點(diǎn) N. (1)當(dāng) A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí) (如圖 1),求證 :M為 AN的中點(diǎn) 。 (3)將圖 1中的△ BCE繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)到圖 3的位置 ,此時(shí) A,B,M三點(diǎn)在同一直線上 ,(2)中的結(jié)論是否 仍然成立 ?若成立 ,試證明該結(jié)論 。. ∵ AD∥ NE, ∴∠ DAE+∠ NEA=180176。, ∴∠ NEA=90176。. ∵ A,B,E三點(diǎn)在同一直線上 , ∴∠ ABC=180176。, ∴∠ ABC=∠ NEC. 由 (1)知△ ADM≌ △ NEM, ∴ AD=NE. ∵ AD=AB, ∴ AB=NE. 在△ ABC和△ NEC中 , ? ∴ △ ABC≌ △ NEC, ,A B N EA B C N E CB C E C???? ? ?????∴ AC=NC,∠ ACB=∠ NCE, ∴∠ ACN=∠ BCE=90176。, ∴∠ NBC+∠ NEC=360176。=180176。, ∴∠ ABC=∠ NEC, 在△ ABC和△ NEC中 , ? ∴ △ ABC≌ △ NEC, ∴ AC=NC,∠ ACB=∠ NCE. ∴∠ ACN=∠ BCE=90176。 ? 圖① (2)如圖② ,在 Rt△ ABD中 ,∠ BAD=90176。.將△ ABM繞點(diǎn) A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90176。. (2)MN2=ND2+ : 由題意得 ∠ BAM=∠ DAH,∠ B=∠ ADH,∠ BAM+∠ DAN=45176。, ∴∠ HAN=∠ MAN. 又 ∵ AM=AH,AN=AN,∴ △ AMN≌ △ AHN,∴ MN=HN. ∵∠ BAD=90176。, ∴∠ HDN=∠ HDA+∠ ADB=90176