【正文】 , ∴∠ HAN=∠ MAN. 又 ∵ AM=AH,AN=AN,∴ △ AMN≌ △ AHN,∴ MN=HN. ∵∠ BAD=90176。, ∴∠ ABC=∠ NEC, 在△ ABC和△ NEC中 , ? ∴ △ ABC≌ △ NEC, ∴ AC=NC,∠ ACB=∠ NCE. ∴∠ ACN=∠ BCE=90176。. ∵ A,B,E三點在同一直線上 , ∴∠ ABC=180176。,點 M 為 DE的中點 ,過點 E與 AD平行的直線交射線 AM于點 N. (1)當(dāng) A,B,C三點在同一直線上時 (如圖 1),求證 :M為 AN的中點 。.易知△ AMC是等邊三角形 ,所以 CM=AM,易證△ BMC≌ △ BMA,所以 ∠ CBM=∠ ABM=45176。,BC=2, ∴∠ B=60176。,取 BC的中點 B從點 O沿 x軸正半軸移動到點 M(2,0)時 ,點 P 移動的距離為 . ? 答案 ? 2解析 如圖 1所示 ,過 P作 PD⊥ x軸于 D,作 PE⊥ y軸于 E,則 ∠ DPE=90176。提升題組 (時間 :40分鐘 分值 :50分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 1.(2022天津河?xùn)|一模 ,11)如圖 ,在底邊 BC為 2? ,腰 AB為 2的等腰三角形 ABC中 ,DE垂直平分 AB,交 AB于點 D,交 BC于點 E,則△ ACE的周長為 ? ( ) ? +? +2? ? 33 3 3答案 B ∵ DE垂直平分 AB, ∴ BE=AE, ∴ AE+CE=BC=2? , ∴ △ ACE的周長 =AC+AE+CE=AC+BC=2+2? , 故選 B. 332.(2022遼寧大連 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴∠ ACB=∠ DCF,∴∠ ACF=∠ BCD, 在△ ACF和△ BCD中 ,? ∴ △ ACF≌ △ BCD(SAS), ∴∠ CAF=∠ B=45176。. ② DE= : ∵∠ DCF=60176。且 CF= CD. ① 求 ∠ EAF的度數(shù) 。,BE平分 ∠ ABC, ∴ ED=CE=3 cm. 故選 C. 3.(2022上海靜安 ,18)一張直角三角形紙片 ABC,∠ ACB=90176。,AB=BC=AC, ,A B D E M DD A B E D MA D D E? ? ???? ? ?????∴∠ CEM=∠ CAB=60176。,從而得出△ AFE是等邊三角形 .) ② 四邊形 CDFE是平行四邊形 .理由如下 : ∵∠ FDB=∠ ABC=60176?；?176。 ? 圖 1 當(dāng) E在 AB的延長線上時 ,如圖 2,易知 ∠ EAC=45176。48176。 答案 A 如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,BD是邊 AC上的高 . ? ∵∠ A=84176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD. ∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 ,∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。.若 AC=a,求 CI的長 . ? 解析 ∵ Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。+∠ PAC=∠ AMQ, 22∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點 , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 129.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。50176。,B A C AB A D C A DA D A D???? ? ?????22( 39。=90176。=AD,連接 CD39。, 所以 BP=OB,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因為 ∠ AOC=60176。=4? 。CE,∴ A39。B∥ ABA39。F∠ CA39。,點 C在邊 AM上 ,AC=4,點 B為邊 AN上一動點 ,連接 BC,△ A39。BE=CF. 1.(2022四川綿陽 ,11,3分 )如圖 ,直角△ ABC中 ,∠ B=30176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。, 此時 ,底角 =(180176。=54176。,∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, ∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA), 121212180 2 BAC???∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。, ∵ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。,∠ B=∠ FDE,∴∠ BND=∠ ADM, 又 ∵∠ B=∠ A,∴ △ BDN∽ △ AMD, ∴ ? =? , ∴ DND中 ,O39。在 x軸上 ,則點 O39。 176。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD,∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。,AE=EG=2? , ∴ EH=? ,GH=EGcos 30176。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE,又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 212223 832思路分析 首先利用 AC的長及 ∠ C的正弦求出 AD的長 ,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角 形中 30度角的性質(zhì)確定 DE和 AE的數(shù)量關(guān)系 ,最后求出 AE的長 . 2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)如圖 2,若 AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下 ,請直接寫出圖 2中四對全等的直角三角形 . ? 圖 1 圖 2 ? 解析 (1)證明 :∵ △ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 , ∠ ACB=∠ DCE=90176。,AB=AE, ∴∠ AEB=∠ ABE=(180176。30176。50176。得△ DBE,點 C的對應(yīng)點 E恰好落在 AB的 延長線上 ,連接 ? ( ) ? A.∠ ABD=∠ E B.∠ CBE=∠ C ∥ BC =BC 答案 C ∵ △ ABC繞點 B順時針旋轉(zhuǎn) 60176。,∠ C=36176。 176。 176。,則 ∠ DAC的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。得到△ DBE, ∴∠ ABD=∠ CBE=60176。2=80176。=90176?！?BAE)247。,∴ AC=BC,DC=EC, ∠ ACB+∠ ACD=∠ DCE+∠ ACD,即 ∠ BCD=∠ ACE, ∴ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD. (2)△ ACB≌ △ DCE,△ AON≌ △ DOM, △ AOB≌ △ DOE,△ NCB≌ △ MCE. 9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點 E,交 CB于點 AC=3,AB=5,則 CE的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 43 53 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點 G, ? ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。=3, ∴ AG=6, ∴ GC=AG=6,易知 BE=AE=EG=2? , ∴ BC=BE+EG+GC=(6+4? )厘米 . 33335.(2022福建 ,13,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴∠ EAD=90176。 176。的坐標(biāo) 為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 0 1 0,33??????1 6 4 5,33??????2 0 4 5,33??????16, 4 33??????答案 C 過 A作 OB邊的垂線 AC,垂足為 C,過 O39。B2BD2=O39。AM=MD. ∵∠ ACE=? ∠ BAC,∴∠ ACE=∠ CAD,∴ AF=CF. ∵∠ ACE=? ∠ BAC=15176。15176。, 此時 ,底角 =(180176。126176。. ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=36176。,點 O是△ ABC的重心 ,連接 CO并延長交 AB于點 E,過點 E作 EF⊥ AB交 BC于點 F,連接 AF交 CE于點 M,則 ? 的值為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? MOMF12 54 23 33考點二 直角三角形 答案 D ∵ 在 Rt△ ABC中 ,點 O是△ ABC的重心 , ∴ OC=? CE,CE=AE=EB, ∴∠ B=∠ BCE=30176。BC 與△ ABC關(guān)于 BC所在直線對稱 .點 D,E分別為 AC,BC的中點 ,連接 DE并延長交 A39。F,∴ △ A39。C為正方形 ,∴ AB=AC=4。C=A39。③ 當(dāng)點 A39。,所以△ POA為等邊三角形 ,所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。tan 60176。,DD39。,由勾股定理得 DD39。)AD AD? 32 222( 39。=40176。,∠ MEF=30176。,P是線段 BC上一動點 (與點 B,C不重合 ), 連接 AP,延長 BC至點 Q,使得 CQ=CP,過點 Q作 QH⊥ AP于點 H,延長 QH交 AB于點 M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。, ∴∠ MQN=∠ PAC,∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 210.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。,∠ ACB=90176。, ∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE=∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)① 證明 :如圖 ,連接 OR. ? ∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , 12 12∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。, ∴∠ MON=135176。,且 AB=AC, ∴∠ ABC=∠ C=(180176。=42176。, ∴∠ ACE=176。. 4.(2022黑龍江哈爾濱南崗 ,19)若一個等腰三角形的兩條邊的長度之比為 3∶ 2,則這個等腰三 角形底角的正切值為 . 答案 2? 或 ? 273解析 如圖 ,作 AD⊥ BC于點 D, 則 BD=CD=? BC, ? ① 若 AB∶ BC=3∶ 2,則 設(shè) AB=3x(x0),則 BC=2x, ∴ BD=x, ∴ AD=? =?=2 ? x, 則 tan B=? =? =2? 。,∴ FD∥ EC. 又 ∵ FD=FB=EC, ∴ 四邊形 CDFE是平行四邊形 . 6.(2022黑龍江龍東 ,26)在△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=60176。,∠ CME=∠ CBA=60176。,AB=24,tan B=? ,將它沿 EF折疊 ,使 直角頂點 C與斜邊 AB的中點 D重合 ,那么折痕 EF的長為 . ? 23答案 13 解析 連接 CD,交 EF于點 O, ? ∵ CD是斜邊 AB上的中線 , ∴ DC=DB=? AB=12,∴∠ DCB=∠ B, 由題意得 ,EF是 CD的垂直平分線 , ∴∠ OEC+∠ OCE=901