【正文】 76。 ② DE與 EF相等嗎 ?請說明理由 . (2)類比探究 :如圖 2,△ ABC為等腰直角三角形 ,∠ ACB=90176。,∠ DCE=30176。,AF=DB, ∴∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=90176。,AC=2,點 D在 BC上 ,∠ ADC=2∠ B,AD=? ,則 BC 的長為 ? ( ) ? A.? 1 B.? +1 C.? 1 D.? +1 53 3 5 5答案 D ∵∠ C=90176。,∠ AEP=∠ BDP=90176。,AB=2BC=4,AC=2? , ∵ △ EDC是由△ ABC繞點 C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到的 ,∴ CD=BC=2, 又 ∠ B=60176。,∠ CMB=∠ AMB=30176。 (2)將圖 1中的△ BCE繞點 B旋轉(zhuǎn) ,當(dāng) A,B,E三點在同一直線上時 (如圖 2),求證 :△ ACN為等腰直角 三角形 ?！?CBE=135176。, ∴ △ ACN為等腰直角三角形 . ,A B N EA B C N E CB C E C???? ? ?????10.(2022?？?,23)(1)如圖① ,在正方形 ABCD中 ,△ AEF的頂點 E,F分別在 BC,CD邊上 ,高 AG與正 方形的邊長相等 ,求 ∠ EAF的度數(shù) 。,AB=AD,∴∠ ABD=∠ ADB=45176。, ∴∠ HAN=∠ DAH+∠ DAN=45176。, ∵∠ NBC+∠ ABC=180176。, ∴∠ NEC=135176。, ∴ CE∥ BD,即 CE∥ DG, ∴∠ CEM=∠ GDM,∠ MCE=∠ MGD. ∵ M是 DE的中點 ,∴ DM=EM, ∴ △ ECM≌ △ DGM,∴ CM=MG, ∵ G在 DB的延長線上 , ∴ △ CBG是直角三角形 , ∴ 在 Rt△ CBG中 ,BM=? CG=CM. 129.(2022湖北天門 ,24)如圖 ,已知△ BAD和△ BCE均為等腰直角三角形 ,∠ BAD=∠ BCE=90176。得到△ MNC,連接 BM,則 BM的長是 . ? 2答案 ? +1 3解析 如圖 ,設(shè) AC與 BM相交于點 D,連接 AM,由題意知△ ABC為等腰直角三角形 ,所以 ∠ BAC= ∠ BCA=45176。,∠ A=30176。, ∴∠ DCE=∠ DCA, ∴ 在△ ECD與△ ACD中 ,? ∴ △ DCE≌ △ DCA(SAS), ∴ ED=AD=6. 在 Rt△ BDE中 ,BE=8,ED=6, ∴ BD=? =? =2? . ,D C D CD C E D C AC E C A???? ? ??? ??22BE DE? 2286? 75.(2022湖北武漢 ,15)如圖 ,點 A的坐標(biāo)為 (0,1),點 B是 x軸正半軸上的一個動點 ,以 AB為邊作等腰 直角三角形 ABC,使 ∠ BAC=90176。, ∴∠ DCE=∠ FCE, 在△ DCE和△ FCE中 ,? ∴ △ DCE≌ △ FCE(SAS), ,A C B CA C F B C DC F C D???? ? ??? ??,C D C FD C E F C EC E C E???? ? ??? ??∴ DE=EF,在 Rt△ AEF中 ,AE2+AF2=EF2, 又 ∵ AF=DB,∴ AE2+DB2=DE2. B組 2022— 2022年模擬 , ∵∠ DCF=90176。, ∴∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=120176。,∠ DCF=60176。,∴ AE=2ED, ∵ AE=6 cm,∴ ED=3 cm, ∵∠ ACB=90176。,∴ AE=BM, ∵ DA=DE,∴∠ DAE=∠ DEA, ∴∠ BAC+∠ DAB=∠ C+∠ EDM,∴∠ DAB=∠ EDM, 由 EM∥ AB,可知 ∠ ABD=∠ EMD, 在△ ABD和△ DME中 , ? ∴ △ ABD≌ △ DME, ∴ DB=EM=CM,又 AE=BM, ∴ DB+AE=CM+BM=BC=AB. 題圖③中 ,結(jié)論 :BDAE=AB. 證明 :作 EM∥ AB交 CB的延長線于 M,如圖 , ? ∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ ABC=∠ C=∠ BAC=60176。, 又 ∵ BD=CE,∴ BD=CE=BF, ∴ △ BDF是等邊三角形 . (提示 :證明 AF=AE,∠ FAE=60176?；?45176。, ∴∠ BCE=∠ BCA+∠ ACE=176。, ∴∠ DBC=90176。 176。. 于是在四邊形 OCRD中 , ∠ OCR=∠ ODR=90176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。,繼續(xù)用同樣的方法作 Rt△ HIC,∠ HCI=90176。. 由 BM=AM,可得 ∠ BMC=2∠ BAC=60176。+∠ QAC=45176。)=75176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。,M為斜邊 BD的中點 , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。,39。.又 ∠ DAD39?！?AD,且使 AD39。, 因為 ∠ BOP=∠ AOC=60176。,則當(dāng)△ PAB為直角三角形時 ,AP的長為 . ? 答案 2或 2? 或 2? 3 7解析 由題意知 ,滿足條件的點 P有三個位置 .如圖① ,∠ APB=90176。tan 60176。EC=∠ ACE=∠ A39。,∴ A 39。,∠ EA39。=? CM, ∴ ? =? =? ,故選 D. 231216 1333MOMF 13332.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點 M與點 C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點 ,∴ MC=? AB=AM= D. 123.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,∠ MAN=90176。PE=PF。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點 D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。=126176。36176。=15176。,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,∠ ACE=? ∠ BAC,CE交 AB于點 E,交 AD于點 F,若 BC=2,則 EF的長為 . ? 12答案 ? 1 3解析 在 DF上取點 G,使 DG=DC,連接 CG. ? ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=15176。,∠ BDN+∠ FDE+∠ ADM=180176。A39。B,點 A的對應(yīng)點 A39。 176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。,若 AE=EG=2? 厘米 ,則△ ABC的邊 BC的長為 厘米 . ? 3答案 (6+4? ) 3解析 過 E作 EH⊥ AG于 H. ∵∠ AGE=30176。,AD⊥ BC,∴∠ BAE=30176。, 連接 AE、 BD交于點 DC交于點 M,BD與 AC交于點 N. (1)如圖 1,求證 :AE=BD。=150176。60176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 , ∴ 180176。,故選 C. 3.(2022天津 ,9,3分 )如圖 ,將△ ABC繞點 B順時針旋轉(zhuǎn) 60176。. 2.(2022吉林 ,5,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,以點 B為圓心 ,以 BA長為半徑畫弧交邊 BC于點 D,連接 AD. 若 ∠ B=40176。 176。 答案 A 由等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點 D,可得 ∠ ACB=60176。 176。,AB=BD, ∴ △ ABD是等邊三角形 ,∴∠ DAB=60176。,∴ 頂角為 80176。. ∵ G是 EF的中點 ,∴ EG=? . 12332∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 22DE EG? 22 32 2??? ????1927.(2022湖北黃岡 ,12,3分 )已知 :如圖 ,在正方形 ABCD的外側(cè) ,作等邊三角形 ADE,則 ∠ BED= 176。2=15176。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點 O,點 M,N分別為線段 BO和 CO的中點 .當(dāng)△ ABC的重心到頂點 A的距離 與底邊長相等時 ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰三角形 ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB, ∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE, ∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點 A的距離與底邊長相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 121.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=8,∠ ABC=60176。, ∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF, ∴ AC=AG. ∵∠ 5+∠ 6=90176。,AB=6,D是 AB的中點 ,則 CD= . ? 答案 3 解析 依題意可知 CD是直角三角形 ABC斜邊上的中線 ,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半”可得 CD=? AB=3. 126.(2022遼寧沈陽 ,16,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??考點一 等腰三角形 教師專用題組 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點 P在線段 AB外 ,且 PA = :點 P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結(jié)論時 ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ? ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C P作 PC⊥ AB于點 C且 AC=BC AB中點 C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C,還是取 AB中點 C,連接 PC或過點 P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論 ,選項 A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,6,3分 )若等腰三角形的周長為 10 cm,其中一邊長為 2 cm,則該等腰三角形 的底邊長為 ? ( ) cm cm cm cm 答案 A 當(dāng)腰長為 2 cm時 ,底邊長為 6 cm,但是 2+2=46,即兩邊之和小于第三邊 ,不合題意 。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵ AD∥ BC,∴∠ 1=∠ C=70176。作 BA39。A39。BD. ∵ AD∶ AB=1∶ 3, ∴ BD=? AB=4, ∴ DN,∠ DCG=45176。=60176。54176。)247。, ∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。,∠ CAE=∠ ECA=60176。B所在直線 于點 F,連接 A39。EF為鈍角三角 形 ,不符合 。② 當(dāng)點 A39。E.∵ A39。在直線 DE上方時 ,∠ EA39。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA=OB=2,又 ∠ AOC=∠ BOP=60176。=2? . 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長為 2或 2? 或 2? . 323322AB BP? 224 (2 3)? 28 73 76.(2022貴州貴陽 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,如圖 . 由已知條件可得 ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAD39。=? = ? =4? ,易知 ∠ D39。)DC DD? 9 32? 41418.(202