【文章內容簡介】 =? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。50176。=40176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。=80176。, ∴∠ EMF=180176。∠ CME=100176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。,∠ MEF=30176。,∴ ? =? , 1212MFEF 12又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM,∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。, ? 12 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。30176。)=75176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點 , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補角性質求出 ∠ EMF。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。,下面證 AN∥ EM有兩個思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。角所對直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點 N是 CM的中點 ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進一步即可證明 AN∥ EM。二是連接 AM,計算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點 ,從而 AN⊥ CM,進一步即可證明 AN∥ EM. MFEF 12NFAF 1211.(2022內蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。,D為 AB邊上一點 . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。, ∴∠ EAD=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) C組 教師專用題組 考點一 等腰三角形 1.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標軸上取點 C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點 C的個數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當 AB=AC時 ,以點 A為圓心 ,AB長為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 (點 B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點 C0與 A、 B兩點共線 ,不符合題意 。② 當 AB=BC時 ,以點 B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 ,均符合題意 。③ 當 AC=BC時 ,作 AB的垂直平分線 ,與坐標軸有 兩個交點 ,均符合題意 .所以滿足條件的點 C有 5個 ,故選 A. ? 2.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且△ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過點 P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN,∠ MPN=60176。,則△ PMN為等邊三角形 ,因為滿足 CM=DN的 M,N有無數(shù)個 ,所以滿足題意的三角形 有無數(shù)個 . ? 3.(2022福建龍巖 ,8,4分 )如圖 ,在邊長為 ? 的等邊三角形 ABC中 ,過點 C垂直于 BC的直線交 ∠ ABC的平分線于點 P,則點 P到邊 AB所在直線的距離為 ? ( ) ? A.? B.? C.? 333 323答案 D 由題意可得 ,∠ PBC=30176。,在 Rt△ PBC中 ,PC=BCtan 30176。=1,因為 BP是 ∠ ABC的平分 線 ,所以點 P到直線 AB的距離等于點 P到直線 BC的距離 ,即為 1,故選 D. 4.(2022吉林長春 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,過點 A作 AD∥ ∠ 1=70176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵ AD∥ BC,∴∠ 1=∠ C=70176。.∴∠ B=70176。.∴∠ BAC=40176。.故選 B. 5.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,△ AOB為等腰三角形 ,頂點 A的坐標為 (2,? ),底邊 OB在 x軸上 .將 △ AOB繞點 B按順時針方向旋轉一定角度后得△ A39。O39。B,點 A的對應點 A39。在 x軸上 ,則點 O39。的坐標 為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 0 1 0,33??????1 6 4 5,33??????2 0 4 5,33??????16, 4 33??????答案 C 過 A作 OB邊的垂線 AC,垂足為 C,過 O39。作 BA39。邊的垂線 O39。D,垂足為 D,因為頂點 A 的坐 標為 (2,? ),所以 C點坐標為 (2,0),所以 OC=2,AC=? ,在 Rt△ OAC中 ,根據(jù)勾股定理得 OA=3,所 以 AB=△ AOB為等腰三角形 ,所以 C為 OB的中點 ,所以 B點坐標為 (4,0),故 BO39。=BO= Rt △ O39。BD和 Rt△ O39。A39。D中 ,O39。B2BD2=O39。A39。2A39。 BD=x,則有 42x2=32(3x)2,解得 x=? ,所以 BD=? ,所 以 O39。D=? ,又 OD=4+? =? ,故 O39。點的坐標為 ? ,故選 C. ? 5 583 83453 83203 2 0 4 5,33??????6.(2022浙江紹興 ,13,5分 )由于木質的衣架沒有柔性 ,在掛置衣服的時候不太方便操作 .小敏設 計了一種衣架 ,在使用時能輕易收攏 ,然后套進衣服后松開即可 .如圖 1,衣架桿 OA=OB=18 cm. 若衣架收攏時 ,∠ AOB=60176。,如圖 2,則此時 A,B兩點間的距離是 cm. 答案 18 解析 連接 OA=OB=18 cm,收攏后的 ∠ AOB=60176。,所以△ AOB是正三角形 ,故 AB=18 cm. 7.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點 D,交邊 AC 于點 E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE, ∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. 評析 本題考查了線段垂直平分線的性質定理 ,即線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個 端點的距離相等 . 8.(2022江蘇蘇州 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC= ∠ BPC=? ∠ BAC,則 tan∠ BPC= . ? 12答案 ? 43解析 過 A作等腰△ ABC底邊 BC上的高 AD,垂足為 D,則 AD 平分 ∠ BAC,且 D為 BC的中點 ,所以 BD=4,根據(jù)勾股定理可求出 AD=3,又因為 ∠ BPC=? ∠ BAC,所以 ∠ BPC=∠ BAD,所以 tan∠ BPC =tan∠ BAD=? =? . 12BDAD 439.(2022河南 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點 B、 C為圓心 ,以大于 ? BC的 長為半徑作弧 ,兩弧相交于 M、 N兩點 。② 作直線 MN交 AB于點 D,連接 CD=AC,∠ B=25176。,則 ∠ ACB的度數(shù)為 . ? 12答案 105176。 解析 由題意知 MN垂直平分 BC, ∴ CD=BD, 又 CD=AC,∴ AC=CD=BD, ∴∠ DCB=∠ B=25176。, ∴∠ A=∠ CDA=50176。, ∴∠ ACB=180176?！?A∠ B=105176。. 10(2022北京 ,16,3分 )下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點 P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經(jīng)過點 P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點 A,B。 (2)分別以點 A,B為圓心 ,AP,BP長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 Q。 (3)作直線 PQ就是所求作的垂線 . ? 請回答 :該作圖的依據(jù)是 . 答案 三邊分別相等的兩個三角形全等 。全等三角形的對應角相等 。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。兩點確定一條直線 解析 連接 PA、 QA、 PB、 PA =QA,PB=QB,又 AB=AB, ∴ △ PAB≌ △ QAB(三邊分別相等的兩個三角形全等 ), ∴∠ PAB=∠ QAB(全等三角形的對應角相等 ). 由兩點確定一條直線作直線 PQ. ∵ PA =QA, ∴ AB⊥ PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合 ). 11.(2022賀州 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,分別以 AC、 BC為邊作等邊三角形 ACD和等邊三角形 BCE,連接 AE、 BD交于點 O,則 ∠ AOB的度數(shù)為 . ? 答案 120176。 解析 設 AC與 BD交于點 H. ∵ △ ACD,△ BCE都是等邊三角形 , ∴ CD=CA,CB=CE,∠ ACD=∠ BCE=60176。. ∴∠ ACD+∠ ACB=∠ BCE+∠ ACB, 即 ∠ DCB=∠ ACE. 在△ DCB和△ ACE中 , ? ∴ △ DCB≌ △ ACE(SAS), ∴∠ CDB=∠ CAE. 又 ∵∠ DCH+∠ CHD+∠ CDB=180176。,∠ AOH+∠ OHA+∠ CAE=180176。,∠ CHD=∠ OHA, ∴∠ AOH=∠ DCH=60176。. ∴∠ AOB=180176?！?AOH=120176。. ,C D C AD C B A C EC B C E???? ? ?????思路分析 先證明△ DCB≌ △ ACE,再利用全等三角形的性質得到 ∠ CDB=∠ CAE,再利用對 頂角相等及三角形內角和定理得 ∠ AOD=∠ ACD=60176。,即可求出 ∠ AOB. 主要考點 全等三角形的判定及性質及等邊三角形的性質 . 12.(2022吉林 ,12,3分 )如圖 ,已知線段 AB,分別以點 A和點 B為圓心 ,大于 ? AB的長為半徑作弧 ,兩 弧相交于 C,D兩點 ,作直線 CD交 AB于點 CD上任取一點 F,連接 FA , FA =5,則 FB= . ? 12答案 5 解析 由題意可知 EF垂直平分 AB,所以 FB=FA =5. 13.(2022柳州 ,23,8分 )求證 :等腰三角形的兩個底角相等 . (請根據(jù)下圖用符號表示已知和求證 ,并寫出證明過程 ). 已知 : 求證 : 證明 : ? 解析 已知 :在△ ABC中 ,AB=AC. 求證 :∠ B=∠ C. 證法一 :過點 A作 AD⊥ BC,垂足為 D. ? 則 ∠ ADB=∠ ADC