【文章內(nèi)容簡介】 =? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。50176。=40176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。=80176。, ∴∠ EMF=180176?！?CME=100176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。,∠ MEF=30176。,∴ ? =? , 1212MFEF 12又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM,∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。, ? 12 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。30176。)=75176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點(diǎn) , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出 ∠ EMF。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。,下面證 AN∥ EM有兩個(gè)思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。角所對直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點(diǎn) N是 CM的中點(diǎn) ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM。二是連接 AM,計(jì)算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點(diǎn) ,從而 AN⊥ CM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM. MFEF 12NFAF 1211.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。,D為 AB邊上一點(diǎn) . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。, ∴∠ EAD=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 等腰三角形 1.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標(biāo)系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn) C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點(diǎn) C的個(gè)數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當(dāng) AB=AC時(shí) ,以點(diǎn) A為圓心 ,AB長為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) (點(diǎn) B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點(diǎn) C0與 A、 B兩點(diǎn)共線 ,不符合題意 。② 當(dāng) AB=BC時(shí) ,以點(diǎn) B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) ,均符合題意 。③ 當(dāng) AC=BC時(shí) ,作 AB的垂直平分線 ,與坐標(biāo)軸有 兩個(gè)交點(diǎn) ,均符合題意 .所以滿足條件的點(diǎn) C有 5個(gè) ,故選 A. ? 2.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且△ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過點(diǎn) P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN,∠ MPN=60176。,則△ PMN為等邊三角形 ,因?yàn)闈M足 CM=DN的 M,N有無數(shù)個(gè) ,所以滿足題意的三角形 有無數(shù)個(gè) . ? 3.(2022福建龍巖 ,8,4分 )如圖 ,在邊長為 ? 的等邊三角形 ABC中 ,過點(diǎn) C垂直于 BC的直線交 ∠ ABC的平分線于點(diǎn) P,則點(diǎn) P到邊 AB所在直線的距離為 ? ( ) ? A.? B.? C.? 333 323答案 D 由題意可得 ,∠ PBC=30176。,在 Rt△ PBC中 ,PC=BCtan 30176。=1,因?yàn)?BP是 ∠ ABC的平分 線 ,所以點(diǎn) P到直線 AB的距離等于點(diǎn) P到直線 BC的距離 ,即為 1,故選 D. 4.(2022吉林長春 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,過點(diǎn) A作 AD∥ ∠ 1=70176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵ AD∥ BC,∴∠ 1=∠ C=70176。.∴∠ B=70176。.∴∠ BAC=40176。.故選 B. 5.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,△ AOB為等腰三角形 ,頂點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,? ),底邊 OB在 x軸上 .將 △ AOB繞點(diǎn) B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△ A39。O39。B,點(diǎn) A的對應(yīng)點(diǎn) A39。在 x軸上 ,則點(diǎn) O39。的坐標(biāo) 為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 0 1 0,33??????1 6 4 5,33??????2 0 4 5,33??????16, 4 33??????答案 C 過 A作 OB邊的垂線 AC,垂足為 C,過 O39。作 BA39。邊的垂線 O39。D,垂足為 D,因?yàn)轫旤c(diǎn) A 的坐 標(biāo)為 (2,? ),所以 C點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,0),所以 OC=2,AC=? ,在 Rt△ OAC中 ,根據(jù)勾股定理得 OA=3,所 以 AB=△ AOB為等腰三角形 ,所以 C為 OB的中點(diǎn) ,所以 B點(diǎn)坐標(biāo)為 (4,0),故 BO39。=BO= Rt △ O39。BD和 Rt△ O39。A39。D中 ,O39。B2BD2=O39。A39。2A39。 BD=x,則有 42x2=32(3x)2,解得 x=? ,所以 BD=? ,所 以 O39。D=? ,又 OD=4+? =? ,故 O39。點(diǎn)的坐標(biāo)為 ? ,故選 C. ? 5 583 83453 83203 2 0 4 5,33??????6.(2022浙江紹興 ,13,5分 )由于木質(zhì)的衣架沒有柔性 ,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作 .小敏設(shè) 計(jì)了一種衣架 ,在使用時(shí)能輕易收攏 ,然后套進(jìn)衣服后松開即可 .如圖 1,衣架桿 OA=OB=18 cm. 若衣架收攏時(shí) ,∠ AOB=60176。,如圖 2,則此時(shí) A,B兩點(diǎn)間的距離是 cm. 答案 18 解析 連接 OA=OB=18 cm,收攏后的 ∠ AOB=60176。,所以△ AOB是正三角形 ,故 AB=18 cm. 7.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點(diǎn) D,交邊 AC 于點(diǎn) E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE, ∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. 評析 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理 ,即線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè) 端點(diǎn)的距離相等 . 8.(2022江蘇蘇州 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC= ∠ BPC=? ∠ BAC,則 tan∠ BPC= . ? 12答案 ? 43解析 過 A作等腰△ ABC底邊 BC上的高 AD,垂足為 D,則 AD 平分 ∠ BAC,且 D為 BC的中點(diǎn) ,所以 BD=4,根據(jù)勾股定理可求出 AD=3,又因?yàn)?∠ BPC=? ∠ BAC,所以 ∠ BPC=∠ BAD,所以 tan∠ BPC =tan∠ BAD=? =? . 12BDAD 439.(2022河南 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點(diǎn) B、 C為圓心 ,以大于 ? BC的 長為半徑作弧 ,兩弧相交于 M、 N兩點(diǎn) 。② 作直線 MN交 AB于點(diǎn) D,連接 CD=AC,∠ B=25176。,則 ∠ ACB的度數(shù)為 . ? 12答案 105176。 解析 由題意知 MN垂直平分 BC, ∴ CD=BD, 又 CD=AC,∴ AC=CD=BD, ∴∠ DCB=∠ B=25176。, ∴∠ A=∠ CDA=50176。, ∴∠ ACB=180176。∠ A∠ B=105176。. 10(2022北京 ,16,3分 )下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點(diǎn) P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經(jīng)過點(diǎn) P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點(diǎn) A,B。 (2)分別以點(diǎn) A,B為圓心 ,AP,BP長為半徑作弧 ,兩弧相交于點(diǎn) Q。 (3)作直線 PQ就是所求作的垂線 . ? 請回答 :該作圖的依據(jù)是 . 答案 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 。全等三角形的對應(yīng)角相等 。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。兩點(diǎn)確定一條直線 解析 連接 PA、 QA、 PB、 PA =QA,PB=QB,又 AB=AB, ∴ △ PAB≌ △ QAB(三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 ), ∴∠ PAB=∠ QAB(全等三角形的對應(yīng)角相等 ). 由兩點(diǎn)確定一條直線作直線 PQ. ∵ PA =QA, ∴ AB⊥ PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合 ). 11.(2022賀州 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,分別以 AC、 BC為邊作等邊三角形 ACD和等邊三角形 BCE,連接 AE、 BD交于點(diǎn) O,則 ∠ AOB的度數(shù)為 . ? 答案 120176。 解析 設(shè) AC與 BD交于點(diǎn) H. ∵ △ ACD,△ BCE都是等邊三角形 , ∴ CD=CA,CB=CE,∠ ACD=∠ BCE=60176。. ∴∠ ACD+∠ ACB=∠ BCE+∠ ACB, 即 ∠ DCB=∠ ACE. 在△ DCB和△ ACE中 , ? ∴ △ DCB≌ △ ACE(SAS), ∴∠ CDB=∠ CAE. 又 ∵∠ DCH+∠ CHD+∠ CDB=180176。,∠ AOH+∠ OHA+∠ CAE=180176。,∠ CHD=∠ OHA, ∴∠ AOH=∠ DCH=60176。. ∴∠ AOB=180176。∠ AOH=120176。. ,C D C AD C B A C EC B C E???? ? ?????思路分析 先證明△ DCB≌ △ ACE,再利用全等三角形的性質(zhì)得到 ∠ CDB=∠ CAE,再利用對 頂角相等及三角形內(nèi)角和定理得 ∠ AOD=∠ ACD=60176。,即可求出 ∠ AOB. 主要考點(diǎn) 全等三角形的判定及性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì) . 12.(2022吉林 ,12,3分 )如圖 ,已知線段 AB,分別以點(diǎn) A和點(diǎn) B為圓心 ,大于 ? AB的長為半徑作弧 ,兩 弧相交于 C,D兩點(diǎn) ,作直線 CD交 AB于點(diǎn) CD上任取一點(diǎn) F,連接 FA , FA =5,則 FB= . ? 12答案 5 解析 由題意可知 EF垂直平分 AB,所以 FB=FA =5. 13.(2022柳州 ,23,8分 )求證 :等腰三角形的兩個(gè)底角相等 . (請根據(jù)下圖用符號表示已知和求證 ,并寫出證明過程 ). 已知 : 求證 : 證明 : ? 解析 已知 :在△ ABC中 ,AB=AC. 求證 :∠ B=∠ C. 證法一 :過點(diǎn) A作 AD⊥ BC,垂足為 D. ? 則 ∠ ADB=∠ ADC