【正文】 如圖 ,過點 A作射線 AP,使 AP∥ BD. ? ∵ AP∥ BD, ∴∠ CBF=∠ PAB,∠ ACD=∠ EAP. ∵∠ BAE+∠ PAB+∠ EAP=360176。, ∴∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=360176。. 考點二 等腰三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,△ ADE的頂點 D,E分別在 BC,AC上 ,且 ∠ DAE=90176。,AD= ∠ C+∠ BAC=145176。,則 ∠ EDC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C. ∵∠ B=180176。(∠ C+∠ BAC)=35176。,∴∠ C=35176。. ∵∠ DAE=90176。,AD=AE,∴∠ AED=∠ ADE=45176。, ∴∠ EDC=∠ AED∠ C=45176。35176。=10176。. 故選 D. 2.(2022山東煙臺 ,5,3分 )某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示 ,已知 AB∥ CD,AE與 AB的夾角為 48176。,若 CF與 EF的長度相等 ,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ AB∥ CD,∴∠ DFE=∠ BAF=48176。. ∵ CF=EF,∴∠ C=∠ E. ∵∠ C+∠ E=∠ DFE=48176。,∴∠ C=24176。. 3.(2022山東濱州 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D為 BC上一點 ,且 DA=DC,BD=BA,則 ∠ B的大 小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B 設(shè) ∠ C=x176。,由 DA=DC可得 ∠ DAC=∠ C=x176。, 所以 ∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2x176。, 因為 BD=BA,所以 ∠ BAD=∠ ADB=2x176。, 由 AB=AC可得 ∠ B=∠ C=x176。, 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 , 得 x+x+3x=180,解得 x=36. 所以 ∠ B=36176。. 4.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=36176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) 答案 D 依題意 ,可知題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個等腰三角形 .故選 D. 5.(2022廣東 ,9,3分 )一個等腰三角形的兩邊長分別為 3和 7,則它的周長為 ? ( ) 17 答案 A ∵ 三角形為等腰三角形 ,且三角形任意兩邊之和大于第三邊 ,∴ 三角形的三邊長分 別為 3,7,7,∴ 周長為 A. 6.(2022江蘇揚(yáng)州 ,7,3分 )如圖 ,已知 ∠ AOB=60176。,點 P在邊 OA上 ,OP=12,點 M、 N在邊 OB上 ,PM= PN,若 MN=2,則 OM=? ( ) 答案 C 如圖 ,過點 P作 PH⊥ MN,垂足為 H,因為 PM=PN,MN=2,所以 MH=? MN=1,在 Rt△ POH 中 ,OP=12,∠ POH=60176。,所以 OH=6,所以 OM=OHMH=61= C. ? 12解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形 . 7.(2022吉林 ,14,3分 )我們規(guī)定 :等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ,記作 k=? ,則該等腰三角形的頂角為 度 . 12答案 36 解析 設(shè)等腰三角形的頂角為 x度 ,則一個底角的度數(shù)為 2x度 ,由 x+22x=180?x= 3 6度 . 思路分析 設(shè)出頂角度數(shù) ,根據(jù)“特征值”可知底角度數(shù) ,再由三角形內(nèi)角和定理即可求得 . 8.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點 D,交邊 AC 于點 E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE,∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5= 13. 9.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點 D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。,∴∠ ABC=∠ C=72176。. ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=36176。,∴∠ ABD=∠ A,∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。,∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 10.(2022河南 ,22,10分 ) (1)發(fā)現(xiàn) 如圖 1,點 A為線段 BC外一動點 ,且 BC=a,AB=b. 填空 :當(dāng)點 A位于 時 ,線段 AC的長取得最大值 ,且最大值為 (用含 a,b的式子 表示 ). ? 圖 1 (2)應(yīng)用 點 A為線段 BC外一動點 ,且 BC=3,AB= 2所示 ,分別以 AB,AC為邊 ,作等邊三角形 ABD和等 邊三角形 ACE,連接 CD,BE. ① 請找出圖中與 BE相等的線段 ,并說明理由 。 ② 直接寫出線段 BE長的最大值 . ? 圖 2 (3)拓展 如圖 3,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 A的坐標(biāo)為 (2,0),點 B的坐標(biāo)為 (5,0),點 P為線段 AB外一動點 ,且 PA =2,PM=PB,∠ BPM=90176。.請直接寫出線段 AM長的最大值及此時點 P的坐標(biāo) . ? 解析 (1)CB延長線上 。a+b.? (2分 ) (2)① DC= : ∵ △ ABD和△ ACE為等邊三角形 , ∴ AD=AB,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=60176。. ∴∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC,即 ∠ CAD=∠ EAB.? (5分 ) ∴ △ CAD≌ △ EAB.∴ DC=BE.? (6分 ) ② BE長的最大值是 4.? (8分 ) (3)AM的最大值為 3+2? ,點 P的坐標(biāo)為 (2? ,? ).? (10分 ) 提示 :如圖 a,構(gòu)造△ BNP≌ △ MAP,則 NB= (1)知 ,當(dāng)點 N在 BA的延長線上時 ,NB有最大值 (如 圖 b).易得 AN=2? ,∴ AM=NB=3+2? .過點 P作 PE⊥ x軸于 E,PE=AE=? ,∴ P(2? ,? ). 2 2 22 2 2 2 2解題關(guān)鍵 本題屬類比探究題 ,主要考查三角形的全等 ,等邊三角形的性質(zhì) . 考點三 尺規(guī)作圖 1.(2022廣東深圳 ,8,3分 )如圖 ,已知線段 AB,分別以 A,B為圓心 ,大于 ? AB為半徑作弧 ,連接弧的交 點得到直線 l,在直線 l上取一點 C,使得 ∠ CAB=25176。,延長 AC至 M,則 ∠ BCM的度數(shù)為 ( ) ? 176。 176。 176。 176。 12答案 B ∵ l垂直平分 AB,C在 l上 ,∴ AC=BC, ∴∠ B=∠ CAB=25176。,∴∠ BCM=50176。,故選 B. 思路分析 先根據(jù)直線 l與線段 AB的關(guān)系 ,得出線段 AC與線段 BC的關(guān)系 ,再根據(jù)三角形的外角 與內(nèi)角的關(guān)系 ,求出 ∠ BCM. 2.(2022山西 ,14,3分 )如圖 ,直線 MN∥ PQ,直線 AB分別與 MN,PQ相交于點 A, 按以下步驟作圖 :① 以點 A為圓心 ,以任意長為半徑作弧交 AN于點 C,交 AB于點 D。② 分別以 C,D 為圓心 ,大于 ? CD長為半徑作弧 ,兩弧在 ∠ NAB內(nèi)交于點 E。③ 作射線 AE交 PQ于點 AB=2,∠ ABP=60176。,則線段 AF的長為 . ? 12答案 2? 3解析 過點 B作 BG⊥ AF交 AF于點 G, ? 由尺規(guī)作圖可知 ,AF平分 ∠ NAB,∴∠ NAF=∠ BAF. ∵ MN∥ PQ,∴∠ NAF=∠ BFA,∴∠ BAF=∠ BFA,∴ BA=BF=2.∵ BG⊥ AF,∴ AG=FG,∵∠ ABP=6 0176。,∴∠ BAF=∠ BFA=30176。.在 Rt△ BFG中 ,FG=BFcos∠ BFG=2? =? , ∴ AF=2FG=2? . 32333.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :① 以 A為圓心 ,任意長為 半徑作弧 ,分別交 AB,AD于點 M,N。② 分別以 M,N為圓心 ,以大于 ? MN的長為半徑作弧 ,兩弧相交 于點 P。③ 作射線 AP,交邊 CD于點 Q,若 DQ=2QC,BC=3,則平行四邊形 ABCD的周長為 . ? 12答案 15 解析 由作圖知 AQ平分 ∠ DAB,在 ?ABCD中 ,AB∥ CD,所以 ∠ DAQ=∠ BAQ=∠ DQA,所以 DQ =DA=BC= DQ=2QC,所以 DC= ABCD的周長為 2(+3)=15. 4.(2022江西 ,15,6分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ CD,AB=2CD,E為 AB的中點 .請僅用 ? 分別按下列要求畫圖 (保留畫圖痕跡 ). (1)在圖 1中 ,畫出△ ABD的 BD邊上的中線 。 (2)在圖 2中 ,若 BA=BD,畫出△ ABD的 AD邊上的高 . ? ??????無 刻 度 的 直 尺解析 畫法如圖 . (1)AF即為所求 . (2)BF即為所求 . 思路分析 (1)連接 EC,通過判斷四邊形 BEDC是平行四邊形得出 EC和 BD的交點 F為線段 BD 的中點 ,進(jìn)而畫出所求 。 (2)連接 EC,ED,連接點 A與 EC和 BD的交點 ,利用三角形重心的性質(zhì)及等腰三角形三線合一的知 識畫出△ ABD的 AD邊上的高 . 解題關(guān)鍵 本題考查復(fù)雜作圖 ,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和三角形的重心及 等腰三角形三線合一等性質(zhì)解決問題 . 5.(2022山東青島 ,15,4分 )已知 :四邊形 ABCD. 求作 :點 P,使 ∠ PCB=∠ B,且點 P到邊 AD和 CD的距離相等 . ? 解析 如圖 ,點 P1或點 P2即所求作的點 .(兩種情況只要考慮到一種均得滿分 ) ? 6.(2022廣東 ,19,6分 )如圖 ,已知△ ABC中 ,D為 AB的中點 . (1)請用尺規(guī)作圖法作邊 AC的中點 E,并連接 DE(保留作圖痕跡 ,不要求寫作法 )。 (2)在 (1)的條件下 ,若 DE=4,求 BC的長 . ? 解析 (1)如圖 . ? (2分 ) E點 ,DE即為所求 .? (3分 ) (2)∵ DE是△ ABC的中位線 ,且 DE=4, ∴ BC=2DE=24=8.? (6分 ) 解題關(guān)鍵 本題主要考查平面幾何中尺規(guī)作圖的基本方法 (中點的作法 ),以及三角形中位線 的性質(zhì) . 7.(2022浙江杭州 ,21,10分 )“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形 ,記這些三角形的三 邊分別為 a,b,c,并且這些三角形三邊的長度為大于 1且小于 5的整數(shù)個單位長度 . ? (1) 用記號 (a,b,c)(a≤ b≤ c)表示一個滿足條件的三角形 ,如 (2,3,3)表示邊長分別為 2,3,3個單位 長度的一個三角形 ,請列舉出所有滿足條件的三角形 。 (2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足 abc的三角形 (用給定的單位長度 ,不寫作法 ,保留作圖痕跡 ). 解析 (1)共九種 :(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4). (2)只有 a=2,b=3,c=4的一個三角形 .如圖的△ ABC即為滿足條件的三角形 . ? C組 教師專用題組 考點一 三角形的有關(guān)概念 1.(2022福建 ,3,4分 )下列各組數(shù)中 ,能作為一個三角形三邊邊長的是 ? ( ) ,1,2 ,2,4 ,3,4 ,3,5 答案 C 三角形的三邊邊長要滿足“任意兩邊之和大于第三邊 ,任意兩邊之差小于第三 邊” ,選項 A、 B、 D均不符合 ,故選 C. 2.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,4,3分 )一副直角三角板如圖放置 ,點 C在 FD的延長線上 ,AB∥ CF,∠ F= ∠ ACB=90176。,則 ∠ DBC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB∥ CD, ∴∠ ABD=∠ EDF=45176。, ∴∠ CBD=∠ ABD∠ ABC=45176。30176。=15176。, 故選 B. 3.(2022浙江金華 ,3,3分 )下列各組數(shù)中 ,不可能成為一個三角形三邊長的是 ? ( ) ,3,4 ,7,7 ,6,12 ,8,10 答案 C ∵ 5+612,∴ 5,6,12不可能成為一個三角形的三邊長 ,故選 C. 4.(2022吉林長春 ,5,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點 D在 AB上 ,點 E在 AC上 ,DE∥ ∠ A=6