【正文】 AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 . 312 3 3 222 (4 3)?13? ∵ F是 BD的中點 ,∠ DAB=90176。. ∴∠ DAH=30176。, ∴∠ ABC=30176。若不是 ,請說明理由 . ? 3 圖 1 圖 2 解析 (1)∵ 點 H是 AC的中點 ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。,∠ BAC=60176。 (2)如圖 2,若 AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下 ,請直接寫出圖 2中四對全等的直角三角形 . ? 解析 (1)證明 :如題圖 1,∵ △ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ DCE=90176。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點 O,點 M,N分別為線段 BO和 CO的中點 .當△ ABC的重心到頂點 A的距離 與底邊長相等時 ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB,∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE,∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點 A的距離與底邊長相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 129.(2022黑龍江哈爾濱 ,24,8分 )已知 :△ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ DCE=90176。,即 ∠ AOB=60176。. ? 證明 ∵ △ ABC和△ ECD都是等邊三角形 , ∴ AC=BC,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=60176。x, ∴ sin 60176。 當?shù)捉?∠ B=∠ ACB=30176。x時 ,如圖 1,作 CD⊥ AB,垂足為 D.∵ sin 30176。 當腰為 6時 ,3+6=96, ∴ 6能組成三角形 , ∴ 該三角形的周長為 =3+6+6=15. 6.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,17,3分 )有一面積為 5? 的等腰三角形 ,它的一個內(nèi)角是 30176。②當 AB=BC時 ,以點 B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 ,均符合題意 。,∠ E=∠ DCF=60176。,∴ △ EAF是等邊三角形 。,∴ △ BCE是等邊 三角形 。 當?shù)妊切蔚难L為 5 cm時 ,三角形的三邊長分別是 5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三邊關(guān) 系 ,此時 ,等腰三角形的周長為 14 cm,故選 C. 3.(2022淄博 ,8,4分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,∠ B=60176。最短 ,確定 CB旋轉(zhuǎn)后的對 應邊的位置 ,作出垂線 ,即可確定點 P39。在 邊 CB旋轉(zhuǎn)后的對應邊上 ,當 CP39。即為所求作的點 . 2222222 22322思路分析 (1)由勾股定理求得 AC,BC,AB的長 ,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出直角三角形 。,即 CP39。,所以 ∠ FP39。CF+∠ P39。. (2)在射線 AC上取格點 F,使 AF=AB=5? ,則點 F為點 B的對應點 ,根據(jù)直線 BC的位置 ,取格 點 M,N,連接 MN交 BC的延長線于點 G,可求得 CG=? +? =? ,連接 GF,CF,易得△ ACB∽ △ GCF,則 GF所在直線即為 BC旋轉(zhuǎn)后對應邊所在直線 . 取格點 D,E,連接 DE交 AB于點 T,則點 T為線段 AB的中點 ,作直線 CT,所以 TC=TA,∠ ACT=∠ CAT, 記直線 CT交 FG于點 P39。,則點 P39。取格點 M,N,連接 MN交 BC延長線于點 G。,并簡要說明點 P39。,當 CP39。B AB?226 12?5.(2022天津 ,18,3分 )如圖 ,在每個小正方形的邊長為 1的網(wǎng)格中 ,△ ABC的頂點 A,B,C均在格點 上 . (1)∠ ACB的大小為 176。 39。=145+3=12,所以 A39。B=16,A39。B39。⊥ AD,垂足為 B39。B,則線段 A39。,使 A39。,∴∠ P=90176。,AB=12,∴ BC=? AB=? 12= A. 121答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。,AB=12,則 BC=? ( ) ? ? ? 3答案 A ∵∠ C=90176。DB=28=16,所以 CD=4,故選 C. 2.(2022廣西百色 ,6,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ C=90176。(所畫圖形不全 等 ) (2)在圖③中 ,以 AB為邊畫一個平行四邊形 ,且另外兩個頂點在格點上 . ? 解析 (1)每畫對一個得 2分 .答案不唯一 ,以下答案供參考 . ? (4分 ) (2)畫對一個即可 .答案不唯一 ,以下答案供參考 . ? (7分 ) 考點二 直角三角形 1.(2022湖北黃岡 ,5,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176?；?90176。. 綜上所述 ,等腰三角形 ABC的頂角度數(shù)為 30176。, ∴∠ BAC=90176。 ② BC為底 ,如圖 3, ∵ AD⊥ BC于點 D,AD=? BC, ∴ AD=BD=CD, ∴∠ B=∠ BAD,∠ C=∠ CAD, ∴∠ BAD+∠ CAD=? 180176。=150176。 如圖 2,當 AD在△ ABC外部時 ,∠ ACB=180176。, 如圖 1,當 AD在△ ABC內(nèi)部時 ,∠ C=30176?；?90176。. ∵ G是 EF的中點 ,∴ EG=? . 1 3 32∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 22DE EG?22 32 2??? ????192思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長 . 疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長 ,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系 ,所以應根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運用勾股 定理求出 DG的長 . 5.(2022黑龍江綏化 ,20,3分 )在等腰△ ABC中 ,AD⊥ BC交直線 BC于點 D,若 AD=? BC,則△ ABC的 頂角的度數(shù)為 . 12答案 30176。30176。,EF=? , ∴∠ DEG=180176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。. 2.(2022浙江臺州 ,8,4分 )如圖 ,已知等腰三角形 ABC,AB=AC,若以點 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 , 交腰 AC于點 E,則下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) ? =EC =BE C.∠ EBC=∠ BAC D.∠ EBC=∠ ABE 答案 C ∵ △ ABC是等腰三角形 , AB=AC,∴∠ ABC=∠ ACB,又 ∵ BC=BE,∴∠ ACB=∠ BEC, ∴∠ BAC=∠ EBC,故選 C. 3.(2022湖北荊門 ,4,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,AD是 ∠ BAC的平分線 ,已知 AB=5,AD=3,則 BC的 長為 ? ( ) ? 答案 C 因為 AB=AC,AD平分 ∠ BAC, 所以 AD⊥ BC,BD=CD, 所以 ∠ ADB=90176。45176。,且點 D是 BC的中點 ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對等角 ,得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。 176。 176。tan∠ DBC=3? =? ,∴ 點 D到 AB 的距離等于 ? . 12 3333思路分析 根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 ,得到點 D到 AB的距離等于 DC,在 Rt △ BDC中 ,利用三角函數(shù)知識可以求出 DC. B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 等腰三角形 1.(2022福建 ,5,4分 )如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為 D,點 E在線段 AD上 ,∠ EBC=45176。,BC=3,∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ CBD=? ∠ ABC=30176。,∠ A=30176。,∠ A=30176。)=32176?！?BED)=? (180176。,E為 AC的中點 , ∴ AE=BE=DE,∴∠ BAE=∠ ABE,∠ DAE=∠ ADE. ∴∠ BED=∠ BAE+∠ ABE+∠ DAE+∠ ADE=2∠ BAD=116176。,E為對角線 AC的中點 ,連接 BE,ED,BD,若 ∠ BAD=58176。. ∴ MN=2AN=2=NC,∴ AC=AN+NC=3, ∴ BC=2AC=6. 4.(2022東營 ,9,3分 )在△ ABC中 ,AB=10,AC=2? ,BC邊上的高 AD=6,則另一邊 BC等于 ? ( ) 10 10 10答案 C 由圖 1可知 ,BD=8,CD=2,則 BC=8+2=10。二是求解最后一題時 ,不會構(gòu)造全等三角形 ,無法切入解題過程 ,導致望題興嘆 ,茫然不 知所措 . 方法規(guī)律 (1)本題是幾何壓軸題 ,考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定、直 角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線性質(zhì)、利用特殊角的三角函數(shù)值 求特殊角的度數(shù)等知識 ,并通過閱讀材料這種課題學習的形式呈現(xiàn) ,較為新穎 . (2)閱讀材料往往會為我們提供一些解題方法或給出解題暗示 ,要求在理解的基礎(chǔ)上進行問題 的解答 ,或在閱讀材料中提供一些操作方法 ,要求同學們?nèi)ツM并探究 ,或提供一個解題過程 , 這種題不僅考查了同學們的閱讀能力 ,而且還綜合考查了同學們的創(chuàng)新意識及轉(zhuǎn)化能力 . 考點二 直角三角形 1.(2022濱州 ,1,3分 )在直角三角形中 ,若勾為 3,股為 4,則弦為 ? ( ) 答案 A 根據(jù)勾股定理直接求得弦為 ? =5. 2234?2.(2022棗莊 ,10,3分 )如圖是由 8個全等的小矩形組成的大正方形 ,線段 AB的端點都在小矩形的 頂點上 ,如果點 P是某個小矩形的頂點 ,連接 PA ,PB,那么使△ ABP為等腰直角三角形的點 P的個 數(shù)是 ? ( ) 答案 B 如圖 ,設(shè)每個小矩形