【正文】 ? (7分 ) ② 若 PD=PC,此時(shí) PN是線段 DC的垂直平分線 , 所以 t3=6,即 t=9, GNAD NCDCDNAD DC DNDC?3333CPAC NCDC CPAC DC DNDC?33 33所以當(dāng) t=9時(shí) ,△ CPD是等腰三角形 。cos 60176。,∠ ABC=60176。cos 60176。,∠ ABC=60176。,BC=16 cm,AD是斜邊 BC 上的高 ,垂足為 D,BE=1 cm,點(diǎn) M從點(diǎn) B出發(fā)沿 BC方向以 1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng) ,點(diǎn) N從點(diǎn) E出發(fā) ,與點(diǎn) M同時(shí)同方向以相同的速度運(yùn)動(dòng) .以 MN為邊在 BC的上方作正方形 M到達(dá)點(diǎn) D時(shí)停止 運(yùn)動(dòng) ,點(diǎn) N到達(dá)點(diǎn) C時(shí)停止運(yùn)動(dòng) .設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s). (1)當(dāng) t為何值時(shí) ,點(diǎn) G剛好落在線段 AD上 ? (2)設(shè)正方形 MNGH與 Rt△ ABC重疊部分的圖形的面積為 ,求 出 S關(guān)于 t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量 t的取值范圍 。sin B=2? ? =2. ∴ BC=2AC=4. 在 Rt△ ACE和 Rt△ AHC中 ,tan∠ CAE=? =? =? . ∴ CE=? AC=1. ∴ BE=BCCE=3. ACBC CHAH22AC BC? 5ACAB 555 5555CEAC CHAH 121211.(2022湖南郴州 ,25,10分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。. 又 ∵∠ DCB+∠ ACH=90176。 (2)如果 CD=? ,求 BE的長 . 5解析 (1)∵ 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 10.(2022上海 ,22,10分 )如圖 ,已知在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. 1212∴∠ FGC=30176。, 點(diǎn) G為 AB的中點(diǎn) ,∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176?！?DAG=90176。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。. ∴∠ DAE=60176。,∠ DAH=30176。,∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。,∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。,∠ BAC=60176。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是不是等邊三角形 ?若是 ,請證明 。.點(diǎn) E是 ∠ BAC角平分線上一 點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AE的垂線 ,過點(diǎn) A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) D,連接 DB,點(diǎn) F是 BD的中點(diǎn) .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? ,求 AB,BD的長 。. ∵ AC=AD=2, ∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 121222BM MN? 29.(2022重慶 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長 . 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點(diǎn) ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。, ∴∠ CAD=∠ BAC∠ BAD=16176。, ∴∠ BAC=53176。 (2)連接 AD,若 ∠ B=37176。B39。B39。C B39。B39。C=∠ A,且 ∠ A=∠ BQC, 解 Rt△ PBC,Rt△ BQC,求出 PB=? ,BQ=2,進(jìn)而得出 PQ=PB+BQ=? 。的中點(diǎn) ,可得 ∠ A39。(2)根據(jù) M為 A39。,所以 ∠ ACA39。BC,得 ∠ A39。Q)min=3? . 12 32123 3 3思路分析 (1)在 Rt△ ABC中 ,由勾股定理得 BC=? ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)知 A39。, ∴ CG=? PQ. 當(dāng) CG最小時(shí) ,PQ最小 ,∴ CG⊥ PQ,即 CG與 CB重合時(shí) ,CG最小 , ∴ CGmin=? ,PQmin=2? ,∴ (S△ PCQ)min=3,(S四邊形 PA39。B39。=S△ PCQ? , 7 22AB AC? 339。Q=S△ PCQS△ A39。CM, ∴ tan∠ PCB=tan∠ A=? ,∴ PB=? BC=? , ∵ tan∠ BQC=tan∠ PCB=? ,∴ BQ=BC? =? ? =2, ∴ PQ=PB+BQ=? . (3)∵ S四邊形 PA39。C, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠ MA39。=MC, ∴∠ A39。,∴ MA39。CB39。B39。=60176。CB=30176。, ∴ cos∠ A39。,m∥ AC,∴∠ A39。C=2, ∵∠ ACB=90176。Q的最小面積 。Q的面積是否存在 最小值 .若存在 ,求出四邊形 PA 39。的延長線上時(shí) ,試探究四邊形 PA 39。 (3)在旋轉(zhuǎn)過程中 ,當(dāng)點(diǎn) P,Q分別在 CA39。B39。B39。的度數(shù) 。分別交直線 m于 點(diǎn) P,Q. (1)如圖 1,當(dāng) P與 A39。),射線 CA39。C(點(diǎn) A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為 A39。,AB=? ,AC=2,過點(diǎn) B作直線 m∥ AC,將△ ABC繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ A39。BD=? ? t8? =8t cm2, S2=PD,AB=AC=16 cm,AD為 BC邊上的高 ,動(dòng) 點(diǎn) P從點(diǎn) A出發(fā) ,沿 A→ D方向以 ? cm/s的速度向點(diǎn) D運(yùn)動(dòng) .設(shè)△ ABP的面積為 S1,矩形 PDFE的面 積為 S2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒 (0t8),則 t= 時(shí) ,S1=2S2. ? 2答案 6 解析 由題意可知 Rt△ ADC和 Rt△ EFC都是等腰直角三角形 ,AD=DC=BD=8? AP= ? t cm,所以 DP=EF=FC=(8? ? t)cm,DF=? t cm。.將△ ABC繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn) ,使點(diǎn) B落在原 △ ABC的點(diǎn) C處 ,此時(shí)點(diǎn) C落在點(diǎn) D處 .延長線段 AD,交原△ ABC的邊 BC的延長線于點(diǎn) E,那么線 段 DE的長等于 . 答案 4? 4 3解析 如圖 ,作 BF⊥ AE交 AE于點(diǎn) F,在 Rt△ ABF中 ,∠ BAF=60176。與點(diǎn) A重合 , ? 此時(shí) BM=B39。MC=90176。C=x, 在 Rt△ MB39。. 設(shè) BM=x,則 B39。時(shí) ,∠ B39。. (1)當(dāng) ∠ MB39。C為直角三角 形 ,則 BM的長為 . 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,BC=? +1,點(diǎn) M,N分別是邊 BC,AB上 的動(dòng)點(diǎn) ,沿 MN所在的直線折疊 ∠ B,使點(diǎn) B的對應(yīng)點(diǎn) B39。β, ∴∠ FRM=∠ ABC,∴ RM∥ BC, ∴∠ CBD=∠ RMB, ∵∠ CAD=∠ CBD=β, ∴∠ RMB=∠ CAD.? (9分 ) 又 ∠ RBM=∠ ACD,∴ △ RMB∽ △ DAC, ∴ ? =? =? =? ,∴ FBFM=BR=? CD. ∴ 2MH=FM+? CD.? (10分 ) BRCDBMAC BMAB 34 3434評析 本題是一道綜合題 ,主要考查了等腰三角形的判定 ,三角形全等的判定及三角形相似的 判定等知識 ,所探究的線段之間的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜 ,綜合性較強(qiáng) ,屬難題 . 1.(2022福建 ,15,4分 )把兩個(gè)同樣大小的含 45176。,? (8分 ) ∵ H為 BF中點(diǎn) ,∴ BF=2MH, 34在 FB上截取 FR=FM,連接 RM, ? 圖 2 ∴∠ FRM=∠ FMR=90176。β, ∵ GN=GD, ∴∠ GND=∠ GDN=90176?！?BAC∠ ACB=90176。α=90176。MC,∴ CM=? . 在 Rt△ AMC中 ,AM=? =? .∴ t=AD=2AM=? . 綜上所述 ,當(dāng) t=5或 6或 ? 時(shí) ,△ DMN為等腰三角形 .? (13分 ) 12 12 24522AC CM?185 36536511.(2022黑龍江哈爾濱 ,28,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC、 BD相交于點(diǎn) E,且 AC⊥ BD,∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ BAD=3∠ CBD. (1)求證 :△ ABC為等腰三角形 。, ∴∠ B=∠ BCD,∴ BD=CD=AD, 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =10, ∴ t=AD=? AB=5.? (11分 ) iii)當(dāng) DN=MN=3時(shí) ,AC=DC,連接 MC,則 CM⊥ AB. AMAC ACAB 6AM 610185 36536512 12 1222AC BC?12? ∵ S△ ACB=? BC,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。,∴ S?AFGE=AE (2)求點(diǎn) D由點(diǎn) A向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng)的過程中 ,線段 MN所掃過區(qū)域的面積 ?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 10.(2022福建龍巖 ,24,13分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. ∴∠ CBE=90176。,∠ F=30176。,∠ EDC=60176?！?EDC=30176。. ∵ EF⊥ DE, ∴∠ DEF=90176。 (2)若 CD=2,求 DF的長 . 解析 (1)∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ B=60176。, ∴∠ BDE=90176。.而 ∠ CAN+∠ EAD+∠ DAM=180176?！唷?BDF=60176。α。. (2)α或 180176。=90176。,∠ ADB=∠ DBC, ∴∠ ADB=∠ NAC, ∵∠ ADB+∠ EDA=∠ NAC+∠ EAD=180176。 (2)當(dāng) ∠ ACB=α,其他條件不變時(shí) ,∠ BDE的度數(shù)是 。時(shí) : ① 求證 :△ BCM≌ △ ACN?！?ACB≤ 90176。 ②△ PFB以點(diǎn) P為旋轉(zhuǎn)中心 ,順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120176。. ∵ AE=AB,AP=AP,∠ AEP=∠ ABP=90176。, ∴∠ AEP=180176。, ∴∠ AEB=∠ CEB, 3ADDE 3∴ EB平分 ∠ AEC. (3)△ PFB能由都經(jīng)過 P點(diǎn)的兩次變換與△ PAE組成一個(gè)等腰三角形 ,理由如下 : 如題圖③ ,∵ BP=2CP,AD=BC=? ,∴ BP=? . 由題意可知 ,∠ C=∠ PBF=90176。60176。. 由作圖可知 EA=EB,∴ △ EAB是等邊三角形 , ∴∠ AEB=60176。60176。, ∴∠ EAB=60176。 (3)如圖③ ,在 (2)的條件下 ,連接 EP并延長交 AB的延長線于點(diǎn) F,連接 ,△ PFB能 否由都經(jīng)過 P點(diǎn)的兩次變換與△ PAE組成一個(gè)等腰三角形 ?如果能 ,說明理由 ,并寫出兩種方法 (指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角或平移方向和平移距離 )。,故選 B. 6.(2022貴州貴陽 ,24,12分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=2,AD=? ,P是 BC邊上的一點(diǎn) ,且 BP=2CP. (1)用尺規(guī)在圖①中作出 CD邊上的中點(diǎn) E,連接 AE,BE(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 答案 B 因?yàn)?AB=AD,所以 ∠ B=∠ ADB=80176。 176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。.∴∠ BAC=40176。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵ AD∥ BC,∴∠ 1=∠ C=70176。 176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。∠ DAC=55176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點(diǎn) ,∴∠ CAD=∠ BAD=35176。 176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。,∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC.∵∠ ADB是△ ADC的外角 , ∴∠ C=? ∠ ADB=35176。 176。 176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 考點(diǎn)一 等腰三角形 C組 教師專用題組 答案 D 依題意 ,可知題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個(gè)等腰三角形 .故選 D. 2.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AD=DC,∠ B=70176。角所對直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點(diǎn) N是 CM的中點(diǎn) ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點(diǎn) , ∴ AN⊥