【正文】 ∵ 0t4,∴ t=5,t=0不合題意 ,舍去 , ∴ 當(dāng) t為 ? 或 ? 或 ? 時(shí) ,△ APQ是等腰三角形 . 9522PE QE?22393455tt? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?218 18 255 tt??52218 18 255 tt??2513218 18 255 tt??401352 2513 4013解題關(guān)鍵 利用含 t的代數(shù)式表示各線段的長是解決本題的關(guān)鍵 ,注意分類討論思想的應(yīng)用 . 。 ② 當(dāng) PQ=AQ,即 ? =t時(shí) ,解得 t2=? ,t3=5。C為菱形時(shí) ,PE垂直平分 QC,即 PE⊥ AC,QE=EC, 易證△ APE∽ △ ABC,∴ ? =? , ∴ AE=? =? =? t+4, ∴ QE=AEAQ=? t+4t=? t+4, 又 QE=? QC=? (4t)=? t+2, ∴ ? t+4=? t+2,解得 t=? , ∵ 0? 4,∴ 當(dāng)四邊形 PQP39。,設(shè) PP39。 (3)當(dāng) t為何值時(shí) ,△ APQ是等腰三角形 ? ? 解析 (1)如圖 ,過點(diǎn) P作 PH⊥ AC于 H, ? ∵∠ ACB=90176。C,當(dāng)四邊形 PQP39。? ∠ BAC. 12評析 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ,等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì) .(1)② 與 (2)中 ,先根據(jù)兩角對應(yīng)相等 ,兩三角形相似求出兩邊對應(yīng)成比例 ,再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例 ,夾 角相等得到另兩個(gè)相似三角形是解題的關(guān)鍵 . 6.(2022湖南衡陽三模 ,26)如圖甲 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176?！?BAC)=90176。,AB=AC,BM=BN, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BNP=? (180176。. (2)∠ ANC=90176。,AB=AC,BM=BN, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BNP=45176。 ? ② 連接 CN,當(dāng) θ≠ 45176。, ∴ AP⊥ BC,BP=CP(等腰三角形三線合一 ), ∴ AP=BP(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ), 又 ∵∠ MBN=90176。時(shí) ,請直接寫出 ∠ ANC與 ∠ BAC之間的數(shù)量關(guān)系 ,不必證明 . ? 解析 (1)① ∵∠ BAC=90176。時(shí) ,① 中的結(jié)論是否發(fā)生變化 ?說明理由 。時(shí) ,∠ ANC的度數(shù)為 。α,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAD=∠ BDA=? ,∠ AEC=∠ CAE=? ,由于 ∠ BAC+∠ DAE=α+β=∠ BAD+∠ CAE= ? =? ,于是得到結(jié)果 . 180 2 ABD??? 180 2 ACE???360 ( )2ABD ACE??? ??1802 α??5.(2022湖南湘西保靖模擬 ,23)已知 ,在△ ABC中 ,AB= A點(diǎn)的直線 a從與邊 AC重合的位置 開始繞點(diǎn) A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 θ,直線 a交 BC邊于點(diǎn) P(點(diǎn) P不與點(diǎn) B、點(diǎn) C重合 ),△ BMN的邊 MN始終在直線 a上 (點(diǎn) M在點(diǎn) N的上方 ),且 BM=BN,連接 CN. (1)當(dāng) ∠ BAC=∠ MBN=90176。,進(jìn)而求出 ∠ CAE+∠ DAC=45176。,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ BAD=∠ BDA, ∠ AEC=∠ CAE,于是得到 ∠ ACD=2∠ CAE,求得 ∠ ADB=∠ ACD+∠ DAC,由于 ∠ BAD+∠ DAC= 90176。,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得 到結(jié)論 。α, ∵ AB=BD, 解題關(guān)鍵 本題考查了等腰三角形的性質(zhì) ,直角三角形的性質(zhì) ,三角形內(nèi)角和定理 ,熟練掌握三 角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 . 思路分析 (1)由等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ ADB=∠ DAB,∠ AEC=∠ CAE,易知 ∠ ABC=∠ ACB= 45176。. 12∴∠ BAD=∠ BDA=? , ∵ AC=CE,∴∠ AEC=∠ CAE=? , ∵∠ BAC+∠ DAE=α+β=∠ BAD+∠ CAE =? =? , ∴ β+? =90176。, ∴∠ CAE+∠ DAC=45176。, ∵ AB=BD,∴∠ BAD=∠ BDA, ∵ CA=CE,∴∠ AEC=∠ CAE, ∴∠ ACD=2∠ CAE,∴∠ ADB=∠ ACD+∠ DAC, ∵∠ BAD+∠ DAC=90176。. (2)∵∠ BAC=90176。, ∴∠ DAE=180176。, ∵∠ ACB=∠ AEC+∠ CAE=2∠ AEC,∠ ABC=∠ ADB+∠ DAB=2∠ ADB,∴∠ AEC=∠ ADB=? 45 176。 (3)如圖 3,設(shè) ∠ BAC=α,∠ DAE=β,請寫出 α,β之間的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)∵ BA=BD,CA=CE, ∴∠ ADB=∠ DAB,∠ AEC=∠ CAE, ∵ AB=AC,∠ BAC=90176。 (2)如圖 2,若 ∠ BAC=90176。, ∴ 在 Rt△ PBQ中 ,BP=2BQ, 即 62t=2t, 解得 t=,經(jīng)檢驗(yàn) ,符合題意 . 當(dāng) PQ⊥ BP時(shí) ,同理可得 BQ=2BP, 即 t=2(62t),解得 t=,經(jīng)檢驗(yàn) ,符合題意 . 綜上可知當(dāng) t為 s或 s時(shí) ,△ PBQ為直角三角形 . 解題關(guān)鍵 本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì) ,利用 t表示出 BP和 BQ,化“動”為“靜”是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022湖南新晃模擬 ,26)△ ABC的邊 BC在直線 l上 ,點(diǎn) D、 E是直線 l上的兩點(diǎn) ,且 BA=BD,CA= CE. (1)如圖 1,若 AB=AC,∠ BAC=90176。, ∴ AC=BC=? a,∴ S△ ABC=? ? a? a=? , 又 ∵ 正八邊形中間是邊長為 a的正方形 , ∴ 陰影部分的面積為 a2+4? a2=2a2,故選 A. ? 22 1222 22 24a14二、填空題 (每小題 4分 ,共 4分 ) 2.(2022湖南邵陽五模 ,15)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,E是 AD邊上的中點(diǎn) .若 ∠ ABE=∠ EBC,AB =2,則平行四邊形 ABCD的周長是 . ? 答案 12 解析 ∵ AD∥ BC,∴∠ AEB=∠ EBC, ∵∠ ABE=∠ EBC,∴∠ ABE=∠ AEB,∴ AB=AE, ∵ E是 AD邊上的中點(diǎn) , ∴ AD=2AB, ∵ AB=2,∴ AD=4, ∴ 平行四邊形 ABCD的周長 =2(4+2)=12. 3.(2022湖南新化模擬 ,25)已知 :如圖所示 ,△ ABC是邊長為 6 cm的等邊三角形 ,動點(diǎn) P、 Q同時(shí)從 A、 B兩點(diǎn)出發(fā) ,分別在 AB、 BC邊上勻速移動 ,它們的速度分別為 vp=2 cm/s,vQ=1 cm/s,當(dāng)點(diǎn) P到 達(dá)點(diǎn) B時(shí) ,P、 Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動 ,設(shè)點(diǎn) P的運(yùn)動時(shí)間為 t s. (1)當(dāng) t何值時(shí) ,△ PBQ為等邊三角形 ? (2)當(dāng) t何值時(shí) ,△ PBQ為直角三角形 ? ? 三、解答題 (共 18分 ) 解析 由題意可知 AP=2t cm,BQ=t cm,則 BP=ABAP=(62t)cm,其中 0t≤ 3. (1)當(dāng)△ PBQ為等邊三角形時(shí) ,有 BP=BQ, 即 62t=t,解得 t=2,經(jīng)檢驗(yàn) ,符合題意 . ∴ 當(dāng) t=2 s時(shí) ,△ PBQ為等邊三角形 . (2)當(dāng) PQ⊥ BQ時(shí) ,△ PBQ為直角三角形 . ∵∠ B=60176。,AD=4, ∴ BD=8, ∴ BC=BD+DC=8+4=12. 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 3分 ) B組 2022— 2022年模擬 , ∴∠ DAC=30176。, ∴∠ B=30176。, ∴ AB=2AC=2? . 1222AD CD? 335.(2022湖南永州模擬 ,15)如圖 ,已知△ ABC中 ,AB=AC,∠ C=30176。,∠ B=90176。, ∴ AD=2DE=2, ∵ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。, ∵ 在△ ADE中 ,∠ AED=90176。,DE⊥ AB,CD=DE=1,∠ BAC=60176。,∠ BAC=60176。OE+DE,∴ 當(dāng) O、 E、 D三點(diǎn)共線時(shí) ,點(diǎn) D到點(diǎn) O的距離最大 ,此時(shí) ,∵ 矩形 ABCD中 ,AB=2, BC=1,∴ OE=AE=? AB=1,DE=? =? =? ,∴ OD的最大值為 ? + A. 1222AD AE? 2211? 2 2解題關(guān)鍵 取 AB的中點(diǎn) E,連接 OE、 DE、 OD,根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng) O、 E、 D三點(diǎn)共線時(shí) ,點(diǎn) D到點(diǎn) O的距離最大 ,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 求出 OE的長 ,再根據(jù)勾股定理求出 DE的長 ,兩者相加即可得解 . 評析 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì) ,三角形的三邊關(guān)系 ,矩形 的性質(zhì) ,勾股定理 ,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出 O、 E、 D三點(diǎn)共線時(shí) ,點(diǎn) D到點(diǎn) O的距離最大 是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022遼寧沈陽一模 ,9)如圖 ,折疊直角三角形 ABC紙片 ,使兩銳角頂點(diǎn) A、 C重合 ,設(shè)折痕為 DE. 若 AB=4,BC=3,則 BD的長是 ? ( ) ? A.? C.? D.? 78 98 23答案 A 由題意知 AD=DC,設(shè) DB=x,則 AD=4x,故 DC=4x, ∵∠ DBC=90176。,故選 B. 2.(2022湖南長沙周南中學(xué)模擬 ,8)如圖 ,∠ MON=90176。,根據(jù)三角 形內(nèi)角和為 180176。 答案 B 直角三角形中 ,兩銳角的度數(shù)和為 90176。 176。 176。, ∴ △ APF是等邊三角形 , ∴ AP=PF=AF. ∵ PE⊥ AC, ∴ AE=EF, ∵ AP=PF,AP=CQ, ∴ PF=CQ, 在△ PFD和△ QCD中 ,? ∴ △ PFD≌ △ QCD, ∴ FD=CD, ∵ AE=EF, ∴ EF+FD=AE+CD, ∴ AE+CD=DE=? AC, ∵ AC=3,∴ DE=? . 故選 B. ,P F D Q C DP D F Q D CP F Q C? ? ???? ? ??? ??12324.(2022湖南婁底新化一模 ,16)已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程 x24x+3=0的 根 ,則該三角形的周長是 . 答案 7 解析 x24x+3=0, 解得 x1=3,x2=1. 當(dāng)三角形的腰為 3,底為 1時(shí) ,三角形的周長為 3+3+1=7。,∠ AFP=∠ ACB=60176。=42176。, ∴∠ DBC=90176。. 在 Rt△ BDC中 , ∠ BDC=90176。)247。,且 AB=AC, ∴∠ ABC=∠ C=(180176。 176。 176。 ⑤ ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c, ∴ (a5)2+(b12)2+(c13)2=0, ∴ a5=0,b12=0,c13=0,即 a=5,b=12,c=13. ∵ 52+122=132,5≠ 12, ∴ △ ABC是直角三角形 ,而不是等腰直角三角形 . ∴ 此命題不正確 . 因此命題正確的有 1個(gè) .故選 A. 評析 此題主要考查三角形內(nèi)角和定理 ,平行四邊形的判定 ,相似三角形的判定 ,等腰三角形的 性質(zhì) ,等腰直角三角形的性質(zhì) ,配方法的應(yīng)用等知識點(diǎn) ,屬于難題 . 2.(2022湖南株洲三模 ,6)等腰三角形頂角是 84176。 ③ 一組對邊平行 ,另一組對邊相等的四邊形也可以是梯形 ,所以此命題不正確 。 ② 高在三角形內(nèi)部時(shí) ,頂角為 30度 ,底角為 75度 。的等腰三角形 ,二是底 角為 40176。 ⑤ 若△ ABC的三邊長 a、 b、 c滿足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,則此三角形為等腰直角三角形 . 答案 A ①以 40176。 ③ 一組對邊平行 ,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 。角為內(nèi)角的兩個(gè)等腰三角形必相似 。(2)作 BC邊上的高線 AE,利用三角形中位線定理 得 BD=? AE,即可得到結(jié)論 . 12A組 2022— 2022年模擬 ② 根據(jù)勾股定理及等量關(guān)系列出等式 ,化簡、整理即可 . 方法總結(jié) 本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法 ,掌握一元二次方程的求根公式、 熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵 . 9.(2022廣西柳州 ,21,6分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D為 AC邊的中點(diǎn) ,且 DB⊥ BC,BC=4,CD=5. (1)求 DB的長 。? a, ∴ 線段 A