【正文】 ,AD=AD, ∴ △ ADE≌ △ ADF(SAS). ∴∠ E=∠ F.∴∠ E=∠ EAB=∠ F=∠ FAC. ∴∠ ABC=∠ ACB. ∴ AB=AC.∴ △ ABC是等腰三角形 . 解題關(guān)鍵 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì) ,等腰三角形的判定等知識(shí) ,添加構(gòu)造全等三 角形的輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 . 。如果不正確 ,請(qǐng)舉反例說(shuō)明 . ? 解析 小莉說(shuō)法正確 . 證明 :如圖 ,延長(zhǎng) CB至 E,使 AB=EB,延長(zhǎng) BC至 F,使 AC=FC,連接 AE,AF. 則 ∠ E=∠ EAB,∠ F=∠ FAC. ∵ AB+BD=AC+CD, ∴ DE=DF. ∵ AD⊥ BC, ∴∠ ADE=∠ ADF=90176。=? 176。2n176。,∵ AD=DB,∴∠ ABD=? n176。, ∴∠ DBC=180176。,則 ∠ ABC= 度 .(用含 n的 代數(shù)式表示 ) ? 答案 ? 31802 n???????解析 ∵∠ C=n176。 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為 2∶ 1,也考查了直角三角形斜邊上的中線 的性質(zhì) . B組 2022— 2022年模擬 , ∵ AC=6,BC=8,∴ AB=10, 當(dāng) DE⊥ BC時(shí) ,DE=? AC=3,此時(shí) DE取得最小值 。AH, ∴ OB=? ,∴ BE=2OB=? . 在 Rt△ BCE中 ,EC=? =? =? .故選 D. 12 126013 1202222BC BE? 22 1202213??? ????11913解題關(guān)鍵 本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí) ,解題的關(guān) 鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高 ,屬于中考?？碱}型 . 2.(2022南通通州一模 ,16)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。AC, ∴ AH=? . ∵ AE=AB,BO=EO, ∴ AD垂直平分線段 BE. ∵ DE=DB=DC,∴ △ BCE是直角三角形 , 225 12?12 126013∵ ? AD,AB=5,AC=12,點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,將△ ABD 沿 AD翻折得到△ AED,連接 CE,則線段 CE的長(zhǎng)等于 ? ( ) ? A.? C.? D.? 1 3 22 12022 11913答案 D 如圖 ,連接 BE交 AD于 O,作 AH⊥ BC于 H. ? 在 Rt△ ABC中 ,∵ AC=12,AB=5, ∴ BC=? =13. ∵ CD=DB,∴ AD=DC=DB=, ∵ ? BC, 2∴ BE=? =? =? =? , ∴ AB=AE+BE=? +? . (2)設(shè) DE=x,則 AE=x,BE=? =? =? =? x, ∴ BD=? =? =2x, 由 (1)可知 ,在 Rt△ BDF中 ,∠ DBF=30176。30176。, ∴∠ ABD=∠ ABC∠ CBF∠ DBF=105176。,∠ BFC=90176。,∴∠ EDA=45176。. ∵∠ A=45176。=60176。, ∴∠ BDF=∠ ADC∠ ADB=165176。105176。45176。, ∴∠ ADC=360176。 (2)若 AB+CD=2? +2,求 AB的長(zhǎng) . ? 3解析 (1)過(guò)點(diǎn) D作 DE⊥ AB于點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn) B作 BF⊥ CD于點(diǎn) F, ? ∵∠ A=∠ C=45176。,∠ ADB=∠ ABC=105176。 (2)如圖 2,△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑的☉ O交 BC于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) D作☉ O的切線交 AB延長(zhǎng)線于 點(diǎn) E,交 AC于點(diǎn) ? =? ,判斷△ AEF是不是“勻稱三角形” .請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 3abc??BECF53解析 (1)作圖 . 作法一 : ? ? (3分 ) (2)△ AEF是“勻稱三角形” . 理由如下 :連接 AD、 OD, ? ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴ AD⊥ BC. 作法二 : ∵ AB=AC, ∴ D是 BC的中點(diǎn) .? (4分 ) ∴ OD∥ AC. ∵ DF切☉ O于 D點(diǎn) , ∴ OD⊥ DF. ∴ EF⊥ AF.? (5分 ) 過(guò)點(diǎn) B作 BG⊥ EF于點(diǎn) G,易證 Rt△ BDG≌ Rt△ CDF, ∴ BG=CF, ∵ ? =? ,∴ ? =? .? (6分 ) ∵ BG∥ AF(或 Rt△ BEG∽ Rt△ AEF), ∴ ? =? =? . 在 Rt△ AEF中 ,設(shè) AE=5k(k0),AF=3k,由勾股定理得 EF=4k, ∴ ? =? =4k=EF. BECF53BEBG 53BEBG AEAF 533AF EF AE?? 3453k k k?? ∴ △ AEF是“勻稱三角形” .? (7分 ) 解題關(guān)鍵 本題是一道閱讀理解類型的作圖題 ,考查的知識(shí)點(diǎn)有三角形全等、勾股定理以及 尺規(guī)作圖等 .解決本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線 ,找出全等和相似三角形 ,從而根據(jù)題目中的定 義解決問(wèn)題 . A組 2022— 2022年模擬 ,BC=3,∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ CBD=? ∠ ABC=30176。,∠ A=30176。,∠ A=30176。,由 BC=4,求得 BD=2? ,進(jìn)而求得 AB=3,由 E是 BC的中點(diǎn) ,得 ED=BE,進(jìn)而可得 DE∥ AB,所以△ AFB∽ △ EFD,進(jìn)而求出 DF的長(zhǎng) . 3解題關(guān)鍵 本題考查了含 30176。cos 30176。cos 30176。,∴∠ 1=∠ 2=30176。,E為 BC 的中點(diǎn) ,AE與 BD相交于點(diǎn) BC=4,∠ CBD=30176。PE=PF。∠ C, ∠ CAD=90176。. 此時(shí) P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 , 所以 AB=2PE=2? PQ=? PQ,則 ? =? .? (14分 ) 1222 2 ABPQ29.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD.∵ BE⊥ AC, ∴∠ BEC=∠ ADC=90176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 . 由于△ ARB∽ △ PEQ,所以 ∠ ARB=90176。. ∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。,∠ MON=150176。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點(diǎn) C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點(diǎn) , ∴ DE?? OC,CE?? OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 ,∴∠ PCO=∠ QDO=90176。 (2)延長(zhǎng) PC,QD交于點(diǎn) R. ① 如圖 2,若 ∠ MON=150176。 (2)過(guò)點(diǎn) C作 CG⊥ AD于點(diǎn) F,交 AE于點(diǎn) AF=4,求 BC的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :∵ AD平分 ∠ CAE,∴∠ DAE=? ∠ CAE, ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ ACB, ∵∠ CAE=∠ B+∠ ACB,∴∠ B=? ∠ CAE, ∴∠ B=∠ DAE,∴ AD∥ BC. (2)∵ AD平分 ∠ CAE,∴∠ CAF=∠ GAF, ∵ CG⊥ AD,∴∠ AFC=∠ AFG=90176。,∴∠ BDE=90176。.而 ∠ CAN+∠ EAD+∠ DAM=180176。∴∠ BDF=60176。α。. (2)α或 180176。=90176。,∠ ADB=∠ DBC, ∴∠ ADB=∠ NAC, ∵∠ ADB+∠ EDA=∠ NAC+∠ EAD=180176。 (2)當(dāng) ∠ ACB=α,其他條件不變時(shí) ,∠ BDE的度數(shù)是 。時(shí) : ① 求證 :△ BCM≌ △ ACN。∠ ACB≤ 90176。,所以△ AOB是正三角形 ,故 AB=18 cm. 5.(2022福建龍巖 ,16,3分 )我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點(diǎn)構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點(diǎn) 叫做這個(gè)四邊形的腰點(diǎn) (如矩形的對(duì)角線交點(diǎn)是矩形的一個(gè)腰點(diǎn) ),則正方形的腰點(diǎn)共有 個(gè) . 答案 9 解析 如圖 ,(1)連接兩條對(duì)角線 ,對(duì)角線的交點(diǎn)是正方形的一個(gè)腰點(diǎn) 。=2? =? (cm), ∴ BC=2BD=2? cm. 12 1232334.(2022浙江紹興 ,13,5分 )由于木質(zhì)的衣架沒有柔性 ,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作 .小敏設(shè) 計(jì)了一種衣架 ,在使用時(shí)能輕易收攏 ,然后套進(jìn)衣服后松開即可 .如圖 1,衣架桿 OA=OB=18 cm. 若衣架收攏時(shí) ,∠ AOB=60176。,腰長(zhǎng)為 2 cm,則它的底邊長(zhǎng)為 cm. 答案 2? 3解析 過(guò)點(diǎn) A作 AD⊥ BC于點(diǎn) D, ? ∵ AB=AC,∴∠ BAD=? ∠ BAC=60176。,又 ∵∠ BDG=∠ CDH,∴ △ BDG ∽ △ CDH,∴ ? =? =? =? , ∵ BC=? ,∴ CD=? ? ,又 DH=? GH=? ? HE=? ,由勾股定理得 ,DH2+CH2=CD2,即 ? +(? x)2 3322xBDCD BGCH DGDH 12723723 23 12 3x23x??????3=? ,解得 x=1, ∴ DH=? . 22 73??????13疑難突破 此類題型中 ,可根據(jù)等邊三角形、 60176。, ∵ CH⊥ AD,∴∠ CHE=90176。,∴∠ ABH=∠ CBE,∴ △ ABH≌ △ CBE,∴∠ BEC= ∠ BHA=120176。,∴ △ BHE是等邊三角形 ,∴ BH=BE=HE,∠ BEH=60176。,∠ AHC=90176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且△ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過(guò)點(diǎn) P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN,∠ MPN=60176。,∴∠ FGC=∠ EAC.∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) 1212∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。,∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD,∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點(diǎn) G,連接 FG, 2. 121212 圖 2 ∵ F是 BD的中點(diǎn) ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176。,∴∠ ADE=30176。,∴ DH=? AD. ∵ AE平分 ∠ BAC,∴∠ CAE=? ∠ BAC=30176。. ∵∠ DHA=90176。,∴ BD2=AD2+AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 1. 圖 1 31233222 (4 3)? 13∵ F是 BD的中點(diǎn) ,∠ DAB=90176。. ∴∠ DAH=30176。,∴∠ ABC=30176。若不是 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 1 3 ? 圖 2 解析 (1)∵ 點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。,∠ BAC=60176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。. 由 BM=AM,可得 ∠ BMC=2∠ BAC=60176。,M為 AC的中點(diǎn) , ∴ BM=? AC. ∵ N為 CD的中點(diǎn) , ∴ MN=? AD. ∵ AC